公理,是指依據(jù)人類理性的不證自明的基本事實(shí),經(jīng)過人類長期反復(fù)實(shí)踐的考驗(yàn),不需要再加證明的基本命題.

      在數(shù)學(xué)中,公理都是用來推導(dǎo)其他命題的起點(diǎn).和定理不同,一個(gè)公理不能被其他公理推導(dǎo)出來,否則它就不是起點(diǎn)本身,而是能夠從起點(diǎn)得出的某種結(jié)果——可以干脆被歸為定理了.經(jīng)由可靠的論證由前提(原有的知識(shí))導(dǎo)至結(jié)論(新的知識(shí))的邏輯演繹方法,是由古希臘人發(fā)展出來的,并已成為了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心原則. 公理不證自明,而所有其他的斷言(若談?wù)摰氖菙?shù)學(xué)，則為定理)則都必須借助這些基本假設(shè)才能被證明.

      歐幾里德《幾何原本》中就規(guī)定了五條公理和五條公設(shè)(以現(xiàn)代觀點(diǎn)來看，公設(shè)也是公理),平面幾何中的一切定理都可由這些公理和公設(shè)推導(dǎo)而得.在數(shù)學(xué)中,所有的定理都必須給予嚴(yán)格的證明,但公理卻是無需證明的.因?yàn)閿?shù)學(xué)公理是在基本事實(shí)或自由構(gòu)造的基礎(chǔ)上為了研究方便人為設(shè)定的.有些是一般性的東西,人類仍無法用現(xiàn)有理論推導(dǎo).

      浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)教材對(duì)“基本事實(shí)”是這樣描述的:

“本書挑選一部分人們經(jīng)過長期實(shí)踐后公認(rèn)為正確的命題,作為判斷其他命題的依據(jù),這些命題稱為基本事實(shí)”.

      進(jìn)一步說明“基本事實(shí)”是“無需證明的真命題,并作為證明其他結(jié)論的依據(jù)”.如此說來,“基本事實(shí)”應(yīng)該等同于“公理”. 那為什么不直接將“基本事實(shí)”稱為公理呢?比較發(fā)現(xiàn):在《課標(biāo)2011年版》的9個(gè)基本事實(shí)中,只有“兩點(diǎn)確定一條直線”、“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”屬于歐幾里得幾何體系中的公 理,其他7個(gè)“基本事實(shí)”沒有列入公理范圍. 用“基本事實(shí)”這個(gè)名稱可以避免與傳統(tǒng)的“公理”、“定理”混淆. 

      從教育形態(tài)來看,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)“從不嚴(yán)格到嚴(yán)格”、從直觀到抽象、從歸納到演繹的過程.有些命題的正確性顯而易見,有些命題以學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知難以證明,因此教材循序漸進(jìn),暫時(shí)先作為“基本事實(shí)”,這樣尊重學(xué)生認(rèn)知,先通過操作與直觀感知,讓學(xué)生了解其合理性,承認(rèn)其正確性,并作為證明其他命題的依據(jù),等學(xué)生知 識(shí)積累和思維能力達(dá)到一定程度,再引導(dǎo)他們深入探究,并加以證明.

      根據(jù)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)，不再使用“公理”這一詞，改為9個(gè)基本事實(shí):

1、兩點(diǎn)確定一條直線.
2、兩點(diǎn)之間，線段最短.
3、過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.
4、兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等，那么這兩條直線平行.
5、過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行.
6、兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(SAS).
7、兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(ASA).
8、三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(SSS).
9、兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

內(nèi)容來源

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)
[2]百度百科:公理
[3]"增減"有乾坤"變化"寓哲理——對(duì)"公理"、"定理"和課程標(biāo)準(zhǔn)"基本事實(shí)"關(guān)系及變化的思考
作者：錢德春
刊名：中學(xué)數(shù)學(xué)雜志