收藏小學數(shù)學205道經(jīng)典題型(名校內(nèi)部老師講義)

happymanlla 2023-08-01 發(fā)布于山東

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30類題型

1 歸一問題

【理解含義】

在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。這類應用題叫做歸一問題。

【數(shù)量關(guān)系】

總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量

1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量

另一總量÷（總量÷份數(shù)）＝所求份數(shù)

【解題思路和方法】

先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。

【例題1】已知一張桌子的價錢是一把椅子的10倍，又知一張桌子比一把椅子多288元，一張桌子和一把椅子各多少元？

圖解

【解題】

由已知條件可知，一張桌子比一把椅子多的288元，正好是一把椅子價錢的（10-1）倍，由此可求得一把椅子的價錢。再根據(jù)椅子的價錢，就可求得一張桌子的價錢。

（1）一把椅子的價錢？

288÷（10-1）=32（元）

（2）一張桌子的價錢？

32×10=320（元）

答：一張桌子320元，一把椅子32元

【例題2】買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？

【解題】

（1）買1支鉛筆多少錢？

0.6÷5＝0.12（元）

（2）買16支鉛筆需要多少錢？

0.12×16＝1.92（元）

（3）列成綜合算式

0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）

答：需要1.92元。

【例題3】 3臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機6 天耕地多少公頃？

【解題】

（1）1臺拖拉機1天耕地多少公頃？

90÷3÷3＝10（公頃）

（2）5臺拖拉機6天耕地多少公頃？

10×5×6＝300（公頃）

列成綜合算式

90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公頃）

答：5臺拖拉機6 天耕地300公頃。

【例題4】 5輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次？

【解題】

（1）1輛汽車1次能運多少噸鋼材？

100÷5÷4＝5（噸）

（2）7輛汽車1次能運多少噸鋼材？

5×7＝35（噸）

（3）105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？

105÷35＝3（次）

列成綜合算式

105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）

答：需要運3次。

2 歸總問題

【理解含義】

解題時，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等。

【數(shù)量關(guān)系】

1份數(shù)量×份數(shù)＝總量

總量÷1份數(shù)量＝份數(shù)

總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量

【解題思路和方法】

先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。

【例題5】工廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？

【解題】

（1）這批布總共有多少米？

3.2×791＝2531.2（米）

（2）現(xiàn)在可以做多少套？

2531.2÷2.8＝904（套）

列成綜合算式

3.2×791÷2.8＝904（套）

答：現(xiàn)在可以做904套。

【例題6】小強每天讀24頁書，12天讀完了。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完？

【解題】

（1）這本書總共多少頁？

24×12＝288（頁）

（2）小明幾天可以讀完？

288÷36＝8（天）

列成綜合算式

24×12÷36＝8（天）

答：小明8天可以讀完。

【例題7】食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？

【解題】

（1）這批蔬菜共有多少千克？

50×30＝1500（千克）

（2）這批蔬菜可以吃多少天？

1500÷（50＋10）＝25（天）

列成綜合算式

50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）

答：這批蔬菜可以吃25天。

3 和差問題

和差

【理解含義】

已知兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)量各是多少，這類應用題叫和差問題。

【數(shù)量關(guān)系】

大數(shù)＝（和＋差）÷ 2

小數(shù)＝（和－差）÷ 2

【解題思路和方法】

簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。

【例題8】甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？

【解題】

甲班人數(shù)＝（98＋6）÷2＝52（人）

乙班人數(shù)＝（98－6）÷2＝46（人）

答：甲班有52人，乙班有46人。

【例題9】長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。

【解題】

長＝（18＋2）÷2＝10（厘米）

寬＝（18－2）÷2＝8（厘米）

長方形的面積＝10×8＝80（平方厘米）

答：長方形的面積為80平方厘米。

【例題10】有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

【解題】

甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知

甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）

丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）

乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）

答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。

【例題11】甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？

【解題】

“從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐”，這說明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是（14×2＋3），

甲與乙的和是97，因此甲車筐數(shù)＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）

乙車筐數(shù)＝97－64＝33（筐）

答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。

4 和倍問題

【理解含義】

已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做和倍問題。

【數(shù)量關(guān)系】

總和 ÷（幾倍＋1）＝較小的數(shù)

總和－較小的數(shù) ＝較大的數(shù)

較小的數(shù) ×幾倍＝較大的數(shù)

【解題思路和方法】

簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

【例題12】果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？

【解題】

（1）杏樹有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵）

（2）桃樹有多少棵？ 62×3＝186（棵）

答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。

【例題13】東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？

【解題】

（1）西庫存糧數(shù)＝480÷（1.4＋1）＝200（噸）

（2）東庫存糧數(shù)＝480－200＝280（噸）

答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。

【例題14】甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？

【解題】

每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當于每天從甲站開往乙站（28－24）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當作1倍量，這時乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)（52＋32）就相當于（2＋1）倍，

那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為

（52＋32）÷（2＋1）＝28（輛）

所求天數(shù)為（52－28）÷（28－24）＝6（天）

答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。

【例題15】甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？

【解題】

乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1倍量。

因為乙比甲的2倍少4，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍；

又因為丙比甲的3倍多6，所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍；

這時（170＋4－6）就相當于（1＋2＋3）倍。那么，

甲數(shù)＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28

乙數(shù)＝28×2－4＝52

丙數(shù)＝28×3＋6＝90

答：甲數(shù)是28，乙數(shù)是52，丙數(shù)是90。

5 差倍問題

【理解含義】

已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做差倍問題。

【數(shù)量關(guān)系】

兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）＝較小的數(shù)

較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)

【解題思路和方法】

簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

【例題16】果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？

【解題】

（1）杏樹有多少棵？ 124÷（3－1）＝62（棵）

（2）桃樹有多少棵？ 62×3＝186（棵）

答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。

【例題17】爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？

【解題】

（1）兒子年齡＝27÷（4－1）＝9（歲）

（2）爸爸年齡＝9×4＝36（歲）

答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。

【例題18】商場改革經(jīng)營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？

【解題】

如果把上月盈利作為1倍量，則（30－12）萬元就相當于上月盈利的（2－1）倍，因此

上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（萬元）

本月盈利＝18＋30＝48（萬元）

答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。

【例題19】糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？

【解題】

由于每天運出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差（138－94）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相當于（3－1）倍，因此

剩下的小麥數(shù)量＝（138－94）÷（3－1）＝22（噸）

運出的小麥數(shù)量＝94－22＝72（噸）

運糧的天數(shù)＝72÷9＝8（天）

答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。

6 倍比問題

【理解含義】

有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應用題叫做倍比問題。

【數(shù)量關(guān)系】

總量÷一個數(shù)量＝倍數(shù)

另一個數(shù)量×倍數(shù)＝另一總量

【解題思路和方法】

先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。

【例題20】 100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？

【解題】

（1）3700千克是100千克的多少倍？

3700÷100＝37（倍）

（2）可以榨油多少千克？

40×37＝1480（千克）

列成綜合算式

40×（3700÷100）＝1480（千克）

答：可以榨油1480千克。

【例題21】今年植樹節(jié)這天，某小學300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？

【解題】

（1）48000名是300名的多少倍？

48000÷300＝160（倍）

（2）共植樹多少棵？

400×160＝64000（棵）

列成綜合算式

400×（48000÷300）＝64000（棵）

答：全縣48000名師生共植樹64000棵。

【例題】鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？

【解題22】

（1）800畝是4畝的幾倍？

800÷4＝200（倍）

（2）800畝收入多少元？

11111×200＝2222200（元）

（3）16000畝是800畝的幾倍？

16000÷800＝20（倍）

（4）16000畝收入多少元？

2222200×20＝44444000（元）

答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，

全縣16000畝果園共收入44444000元。

7 相遇問題

【理解含義】

兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。

【數(shù)量關(guān)系】

相遇時間＝總路程÷（甲速＋乙速）

總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間

【解題思路和方法】

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。

【例題23】甲乙兩輛客車上午8時同時從兩個車站出發(fā)，相向而行，經(jīng)過一段時間，兩車同時到達一條河的兩岸。由于河上的橋正在維修，車輛禁止通行，兩車需交換乘客，然后按原路返回各自出發(fā)的車站，到站時已是下午2點。甲車每小時行40千米，乙車每小時行 45千米，兩地相距多少千米？（交換乘客的時間略去不計）

【解題思路】

根據(jù)已知兩車上午8時從兩站出發(fā)，下午2點返回原車站，可求出兩車所行駛的時間。根據(jù)兩車的速度和行駛的時間可求兩車行駛的總路程。

【解題】

下午2點是14時。

往返用的時間：14-8=6（時）

兩地間路程：（40+45）×6÷2=85×6÷2=255（千米）

答：兩地相距255千米。

【例題24】南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經(jīng)過幾小時兩船相遇？

【解題】

392÷（28＋21）＝8（小時）

答：經(jīng)過8小時兩船相遇。

【例題25】小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時間？

【解題】

“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。

因此總路程為400×2

相遇時間＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）

答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時間。

【例題26】甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。

【解題】

“兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，

相遇時間＝（3×2）÷（15－13）＝3（小時）

兩地距離＝（15＋13）×3＝84（千米）

答：兩地距離是84千米。

8 追及問題

【理解含義】

兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題。

【數(shù)量關(guān)系】

追及時間＝追及路程÷（快速－慢速）

追及路程＝（快速－慢速）×追及時間

【解題思路和方法】

簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

【例題27】學校組織兩個課外興趣小組去郊外活動。第一小組每小時走4.5千米，第二小組每小時行3.5千米。兩組同時出發(fā)1小時后，第一小組停下來參觀一個果園，用了1小時，再去追第二小組。多長時間能追上第二小組？

【解題思路】

第一小組停下來參觀果園時間，第二小組多行了[3.5-（4.5-3.5）]?千米，也就是第一組要追趕的路程。又知第一組每小時比第二組快（?4.5-3.5）千米，由此便可求出追趕的時間。

【解題】

第一組追趕第二組的路程：

3.5-（4.5-?3.5）=3.5-1=2.5（千米）

第一組追趕第二組所用時間：

2.5÷（4.5-3.5）=2.5÷1=2.5（小時）

答：第一組2.5小時能追上第二小組。

【例題28】好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？

【解題】

（1）劣馬先走12天能走多少千米？

75×12＝900（千米）

（2）好馬幾天追上劣馬？

900÷（120－75）＝20（天）

列成綜合算式

75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）

答：好馬20天能追上劣馬。

【例題29】小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

【解題】

小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是

（500－200）÷［40×（500÷200）］＝300÷100＝3（米）

答：小亮的速度是每秒3米。

【例題30】我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？

【解題】

敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（22－16）小時，這段時間敵人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知

追及時間＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）＝220÷20＝11（小時）

答：解放軍在11小時后可以追上敵人。

【例題31】一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。

【解題】

這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，

這個時間為

16×2÷（48－40）＝4（小時）

所以兩站間的距離為

（48＋40）×4＝352（千米）

列成綜合算式

（48＋40）×［16×2÷（48－40）］＝88×4＝352（千米）

答：甲乙兩站的距離是352千米。

【例題32】兄妹二人同時由家上學，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學校有多遠？

【解題】

要求距離，速度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時間。從題中可知，在相同時間（從出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比妹妹多走（180×2）米，這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走（90－60）米，

那么，二人從家出走到相遇所用時間為

180×2÷（90－60）＝12（分鐘）

家離學校的距離為

90×12－180＝900（米）

答：家離學校有900米遠。

【例題33】孫亮打算上課前5分鐘到學校，他以每小時4千米的速度從家步行去學校，當他走了1千米時，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進，到學校恰好準時上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學校。求孫亮跑步的速度。

【解題】手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（10－5）分鐘，后段路程跑步恰準時到學校，說明后段路程跑比走少用了（10－5）分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分鐘。所以

步行1千米所用時間為

1÷［9－（10－5）］＝0.25（小時）＝15（分鐘）

跑步1千米所用時間為

15－［9－（10－5）］＝11（分鐘）

跑步速度為每小時

1÷11／60＝5.5（千米）

答：孫亮跑步速度為每小時 5.5千米。

9 植樹問題

【理解含義】

按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。

【數(shù)量關(guān)系】

線形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距＋1

環(huán)形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距

方形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距－4

三角形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距－3

面積植樹棵數(shù)＝面積÷（棵距×行距）

【解題思路和方法】

先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。

【例題34】一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？

【解題】

136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）

答：一共要栽69棵垂柳。

【例題35】一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？

【解題】

400÷4＝100（棵）

答：一共能栽100棵白楊樹。

【例題36】一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？

【解題】

220×4÷8－4＝110－4＝106（個）

答：一共可以安裝106個照明燈。

【例題37】給一個面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？

【解題】

96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（塊）

答：至少需要400塊地板磚。

【例題38】一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？

【解題】

（1）橋的一邊有多少個電桿？

500÷50＋1＝11（個）

（2）橋的兩邊有多少個電桿？

11×2＝22（個）

（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？

22×2＝44（盞）

答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。

10 年齡問題

【理解含義】

這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化。

【數(shù)量關(guān)系】

年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。

【解題思路和方法】

可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。

【例題39】爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？

【解題】

35÷5＝7（倍）

（35+1）÷（5+1）＝6（倍）

答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，

明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。

【例題40】母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？

【解題】

（1）母親比女兒的年齡大多少歲？

37－7＝30（歲）

（2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？

30÷（4－1）－7＝3（年）

列成綜合算式

（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）

答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。

【例題41】 3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？

【解題】

今年父子的年齡和應該比3年前增加（3×2）歲，

今年二人的年齡和為 49＋3×2＝55（歲）

把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當于（4＋1）倍，因此，今年兒子年齡為 55÷（4＋1）＝11（歲）

今年父親年齡為 11×4＝44（歲）

答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。

【例題42】甲對乙說：“當我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才4歲”。乙對甲說：“當我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將61歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？

【解題】

這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析：

表中兩個“□”表示同一個數(shù)，兩個“△”表示同一個數(shù)。

因為兩個人的年齡差總相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差數(shù)列，所以，61應該比4大3個年齡差，

因此二人年齡差為

（61－4）÷3＝19（歲）

甲今年的歲數(shù)為

△＝61－19＝42（歲）

乙今年的歲數(shù)為

□＝42－19＝23（歲）

答：甲今年的歲數(shù)是42歲，乙今年的歲數(shù)是23歲。

11 行船問題

【理解含義】

行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。

【數(shù)量關(guān)系】

（順水速度＋逆水速度）÷2＝船速

（順水速度－逆水速度）÷2＝水速

順水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2

逆水速＝船速×2－順水速＝順水速－水速×2

【解題思路和方法】

大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

【例題43】一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？

【解題】

由條件知，順水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速為每小時15千米，所以：

船速為每小時 320÷8－15＝25（千米）

船的逆水速為 25－15＝10（千米）

船逆水行這段路程的時間為 320÷10＝32（小時）

答：這只船逆水行這段路程需用32小時。

【例題44】甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？

【解題】

由題意得甲船速＋水速＝360÷10＝36

甲船速－水速＝360÷18＝20

可見（36－20）相當于水速的2倍，

所以，水速為每小時（36－20）÷2＝8（千米）

又因為，乙船速－水速＝360÷15，

所以，乙船速為 360÷15＋8＝32（千米）

乙船順水速為 32＋8＝40（千米）

所以，乙船順水航行360千米需要360÷40＝9（小時）

答：乙船返回原地需要9小時。

【例題45】一架飛機飛行在兩個城市之間，飛機的速度是每小時576千米，風速為每小時24千米，飛機逆風飛行3小時到達，順風飛回需要幾小時？

【解題】

這道題可以按照流水問題來解答。

（1）兩城相距多少千米？（576－24）×3＝1656（千米）

（2）順風飛回需要多少小時？1656÷（576＋24）＝2.76（小時）

列成綜合算式［（576－24）×3］÷（576＋24）＝2.76（小時）

答：飛機順風飛回需要2.76小時。

12 列車問題

【理解含義】

這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。

【數(shù)量關(guān)系】

火車過橋：過橋時間＝（車長＋橋長）÷車速

火車追及：追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速－乙車速）

火車相遇：相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速＋乙車速）

【解題思路和方法】

大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

【例題46】一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？

【解題】

火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。

（1）火車3分鐘行多少米？

900×3＝2700（米）

（2）這列火車長多少米？

2700－2400＝300（米）

列成綜合算式

900×3－2400＝300（米）

答：這列火車長300米。

【例題47】一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？

【解題】

火車過橋所用的時間是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米，這段路程就是（200米＋橋長），所以，橋長為

8×125－200＝800（米）

答：大橋的長度是800米。

【例題48】一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？

【解題】

從追上到追過，快車比慢車要多行（225＋140）米，而快車比慢車每秒多行（22－17）米，因此，所求的時間為

（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）

答：需要73秒。

【例題49】一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？

【解題】

如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當于火車相遇問題。

150÷（22＋3）＝6（秒）

答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。

【例題50】一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？

【解題】

車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不同，是因為隧道比大橋長?？芍疖囋冢?8－58）秒的時間內(nèi)行駛了（2000－1250）米的路程，因此，火車的車速為每秒

（2000－1250）÷（88－58）＝25（米）

進而可知，車長和橋長的和為（25×58）米，

因此，車長為 25×58－1250＝200（米）

答：這列火車的車速是每秒25米，車身長200米。

13 時鐘問題

【理解含義】

就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。

【數(shù)量關(guān)系】

分針的速度是時針的12倍，

二者的速度差為11/12。

通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。

【解題思路和方法】

變通為“追及問題”后可以直接利用公式。

【例題51】從時針指向4點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？

【解題】

鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時針多走（1－1/12）＝11/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以

分針追上時針的時間為 20÷（1－1/12）≈ 22（分）

答：再經(jīng)過22分鐘時針正好與分針重合。

【例題52】四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？

【解題】

鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（5×4）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×4－15）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×4＋15）格。再根據(jù)1分鐘分針比時針多走（1－1/12）格就可以求出二針成直角的時間。

（5×4－15）÷（1－1/12）≈ 6（分）

（5×4＋15）÷（1－1/12）≈ 38（分）

答：4點06分及4點38分時兩針成直角。

【例題53】六點與七點之間什么時候時針與分針重合？

【解題】

六點整的時候，分針在時針后（5×6）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。

（5×6）÷（1－1/12）≈ 33（分）

答：6點33分的時候分針與時針重合。

14 盈虧問題

【理解含義】

根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應用題叫做盈虧問題。

【數(shù)量關(guān)系】

一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：

參加分配總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差

如果兩次都盈或都虧，則有：

參加分配總?cè)藬?shù)＝（大盈－小盈）÷分配差

參加分配總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分配差

【解題思路和方法】

大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

【例題54】給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？

【解題】按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系：

（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）

（2）有多少個蘋果？ 3×12＋11＝47（個）

答：有小朋友12人，有47個蘋果。

【例題55】修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？

【解題】

題中原定完成任務的天數(shù)，就相當于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系，可以得知

原定完成任務的天數(shù)為（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）

這條路全長為 300×（22＋4）＝7800（米）

答：這條路全長7800米。

【例題60】學校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？

【解題】

本題中的車輛數(shù)就相當于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，于是就有

（1）有多少車？（30－0）÷（45－40）＝6（輛）

（2）有多少人？ 40×6＋30＝270（人）

答：有6 輛車，有270人。

15 工程問題

【理解含義】

工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。

【數(shù)量關(guān)系】

解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。

工作量＝工作效率×工作時間

工作時間＝工作量÷工作效率

工作時間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

【解題思路和方法】

變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。

【例題61】一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？

【解題】

題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天完成這項工程的 1/10；乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/10＋1/15）。

由此可以列出算式： 1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）

答：兩隊合做需要6天完成。

【例題62】一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？

【解題】

設(shè)總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成（1/6－1/8），二人合做時每小時完成（1/6＋1/8）。因為二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小時，這個時間內(nèi)，甲比乙多做24個零件，所以

（1）每小時甲比乙多做多少零件？

24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（個）

（2）這批零件共有多少個？

7÷（1/6－1/8）＝168（個）

答：這批零件共有168個。

解二上面這道題還可以用另一種方法計算：

兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比為 1/6∶1/8＝4∶3

由此可知，甲比乙多完成總工作量的 4－3 / 4＋3 ＝1/7

所以，這批零件共有 24÷1/7＝168（個）

【例題63】一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成。現(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？

【解題】

必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是

60÷12＝5 60÷10＝6 60÷15＝4

因此余下的工作量由乙丙合做還需要

（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小時）

答：還需要5小時才能完成。

【例題64】一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池；當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？

【解題】

注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。

要2小時內(nèi)將水池注滿，即要使2小時內(nèi)的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。

我們設(shè)每個同樣的進水管每小時注水量為1，則4個進水管5小時注水量為（1×4×5），2個進水管15小時注水量為（1×2×15），從而可知

每小時的排水量為（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1

即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知

一池水的總工作量為 1×4×5－1×5＝15

又因為在2小時內(nèi)，每個進水管的注水量為 1×2，所以，2小時內(nèi)注滿一池水至少需要多少個進水管？

（15＋1×2）÷（1×2）

＝8.5≈9（個）

答：至少需要9個進水管。

16 正反比例問題

【理解含義】

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。

【數(shù)量關(guān)系】

判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應用題的關(guān)鍵。許多典型應用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。

【解題思路和方法】

解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應用比和比例的性質(zhì)去解應用題。

正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。

【例題65】修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？

【解題】

由條件知，公路總長不變。

原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12

現(xiàn)已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12

比較以上兩式可知，把總長度當作12份，則300米相當于（4－3）份，從而知公路總長為 300÷（4－3）×12＝3600（米）

答：這條公路總長3600米。

【例題66】小王做4道應用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應用題？

【解題】

做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關(guān)系

設(shè)91分鐘可以做X應用題則有 28∶4＝91∶X

28X＝91×4 X＝91×4÷28 X＝13

答：91分鐘可以做13道應用題。

【例題67】孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？

【解題】

書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系

設(shè)X天可以看完，就有 24∶36＝X∶15

36X＝24×15 X＝10

答：10天就可以看完。

【例題68】一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。

【解題】

由面積÷寬＝長可知，當長一定時，面積與寬成正比，所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因為第一行三個小矩形的寬相等，第二行三個小矩形的寬也相等。因此，

A∶36＝20∶16 25∶B＝20∶16

解這兩個比例，得 A＝45 B＝20

所以，大矩形面積為 45＋36＋25＋20＋20＋16＝162

答：大矩形的面積是162

17 按比例分配問題

【理解含義】

所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。

【數(shù)量關(guān)系】

從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。總份數(shù)＝比的前后項之和

【解題思路和方法】

先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。

例1 學校把植樹560棵的任務按人數(shù)分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？

【解題69】

總份數(shù)為 47＋48＋45＝140

一班植樹 560×47/140＝188（棵）

二班植樹 560×48/140＝192（棵）

三班植樹 560×45/140＝180（棵）

答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。

【例題70】用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米？

【解題】

3＋4＋5＝12 60×3/12＝15（厘米）

60×4/12＝20（厘米）

60×5/12＝25（厘米）

答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。

【例題71】從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。

【分析】

遇到此類問題，一半都是先找到份數(shù)的最小公倍數(shù)，然后按照公倍數(shù)重新按照劃分占比，本題中的最小公倍數(shù)是18，那么老大的二分之一就是占9分，老二的三分之一就是占6分，三兒子的九分之一就是占2分，共計17分。

【解題】

如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到

1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2

9＋6＋2＝17 17×9/17＝9

17×6/17＝6 17×2/17＝2

答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。

【例題72】某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？

【解題】

80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）

答：三個車間一共820人。

18 百分數(shù)問題

【理解含義】

百分數(shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分數(shù)是一種特殊的分數(shù)。分數(shù)常?？梢酝ǚ?、約分，而百分數(shù)則無需；分數(shù)既可以表示“率”，也可以表示 “量”，而百分數(shù)只能表示“率”；分數(shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分數(shù)的分子可以是小數(shù)；百分數(shù)有一個專門的記號“%”。

在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。

【數(shù)量關(guān)系】

掌握“百分數(shù)”、“標準量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系：

百分數(shù)＝比較量÷標準量

標準量＝比較量÷百分數(shù)

【解題思路和方法】

一般有三種基本類型：

（1）求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；

（2）已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少；

（3）已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。

【例題73】倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？

【解題】

（1）用去的占 720÷（720＋6480）＝10%

（2）剩下的占 6480÷（720＋6480）＝90%

答：用去了10%，剩下90%。

【例題74】紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？

【解題】

本題中女職工人數(shù)為標準量，男職工比女職工少的人數(shù)是比較量

所以（525－420）÷525＝0.2＝20%

或者 1－420÷525＝0.2＝20%

答：男職工人數(shù)比女職工少20%。

【例題75】紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？

【解題】

本題中以男職工人數(shù)為標準量，女職工比男職工多的人數(shù)為比較量，因此

（525－420）÷420＝0.25＝25%

或者 525÷420－1＝0.25＝25%

答：女職工人數(shù)比男職工多25%。

【例題76】紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？

【解題】

（1）男職工占 420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%

（2）女職工占 525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%

答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%，女職工占55.6%。

【拓展】

百分數(shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應用很廣泛，常見的百分率有：

增長率＝增長數(shù)÷原來基數(shù)×100%

合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100%

出勤率＝實際出勤人數(shù)÷應出勤人數(shù)×100%

出勤率＝實際出勤天數(shù)÷應出勤天數(shù)×100%

缺席率＝缺席人數(shù)÷實有總?cè)藬?shù)×100%

發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)÷試驗種子總數(shù)×100%

成活率＝成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100%

出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%

出油率＝油的重量÷油料重量×100%

廢品率＝廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100%

命中率＝命中次數(shù)÷總次數(shù)×100%

烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

及格率＝及格人數(shù)÷參加考試人數(shù)×100%

19 “牛吃草”問題

關(guān)于這個問題可以參考我的另一篇文章，有專門講解"牛吃草"的解題思路。

【理解含義】

“牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。

【數(shù)量關(guān)系】

草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)

【解題思路和方法】

解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長量。

【例題77】一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？

【解題】

草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5 天內(nèi)的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：

（1）求草每天的生長量

因為，一方面20天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長量，所以

1×10×20＝原有草量＋20天內(nèi)生長量

同理 1×15×10＝原有草量＋10天內(nèi)生長量

由此可知（20－10）天內(nèi)草的生長量為

1×10×20－1×15×10＝50

因此，草每天的生長量為 50÷（20－10）＝5

（2）求原有草量

原有草量＝10天內(nèi)總草量－10內(nèi)生長量＝1×15×10－5×10＝100

（3）求5 天內(nèi)草總量

5 天內(nèi)草總量＝原有草量＋5天內(nèi)生長量＝100＋5×5＝125

（4）求多少頭牛5 天吃完草

因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。

因此5天吃完草需要牛的頭數(shù) 125÷5＝25（頭）

答：需要5頭牛5天可以把草吃完。

【例題78】一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？

【解題】

這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)（相當于“牛數(shù)”），求時間。設(shè)每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：

（1）求每小時進水量

因為，3小時內(nèi)的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時進水量

10小時內(nèi)的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時進水量

所以，（10－3）小時內(nèi)的進水量為 1×5×10－1×12×3＝14

因此，每小時的進水量為 14÷（10－3）＝2

（2）求淘水前原有水量

原有水量＝1×12×3－3小時進水量＝36－2×3＝30

（3）求17人幾小時淘完

17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時間是

30÷（17－2）＝2（小時）

答：17人2小時可以淘完水。

20 雞兔同籠問題

【理解含義】

這是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。

【數(shù)量關(guān)系】

第一雞兔同籠問題：

假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)＝（實際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）

假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)）÷（4－2）

第二雞兔同籠問題：

假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2）

假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）

【解題思路和方法】

解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè)，再置換，使問題得到解決。

【例題79】長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？

雞兔同籠

【解題】

假設(shè)35只全為兔，則

雞數(shù)＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）

兔數(shù)＝35－23＝12（只）

也可以先假設(shè)35只全為雞，則

兔數(shù)＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）

雞數(shù)＝35－12＝23（只）

答：有雞23只，有兔12只。

【例題80】 2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？

【解題】

此題實際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題?！懊慨€菠菜施肥（1÷2）千克”與“每只雞有兩個腳”相對應，“每畝白菜施肥（3÷5）千克”與“每只兔有4只腳”相對應，“16畝”與“雞兔總數(shù)”相對應，“9千克”與“雞兔總腳數(shù)”相對應。假設(shè)16畝全都是菠菜，則有

白菜畝數(shù)＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（畝）

答：白菜地有10畝。

【例題81】李老師用69元給學校買作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本 3 .20元，日記本每本0.70元。問作業(yè)本和日記本各買了多少本？

【解題】

此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設(shè)45本全都是日記本，則有

作業(yè)本數(shù)＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）

日記本數(shù)＝45－15＝30（本）

答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。

【例題82】（第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？

【解題】

假設(shè)100只全都是雞，則有

兔數(shù)＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）

雞數(shù)＝100－20＝80（只）

答：有雞80只，有兔20只。

【例題83】有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？

【解題】

假設(shè)全為大和尚，則共吃饃（3×100）個，比實際多吃（3×100－100）個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數(shù)100不變的情況下，以“小”換“大”，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃（3－1/3）個。因此，共有小和尚

（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）

共有大和尚 100－75＝25（人）

答：共有大和尚25人，有小和尚75人。

21 方陣問題

【理解含義】

將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問題就叫做方陣問題。

【數(shù)量關(guān)系】

（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：

四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）×4

每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1

（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：

實心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)

空心方陣：總?cè)藬?shù)＝（外邊人數(shù)）?－（內(nèi)邊人數(shù)）?

內(nèi)邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)×2

（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：

總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4

【解題思路和方法】

方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據(jù)具體情況確定。

【例題84】在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人？

【解題】

22×22＝484（人）

答：參加體操表演的同學一共有484人。

【例題】有一個3層方陣，最外邊一層每邊有10人，求全方陣的人數(shù)。

【解題】

最外層每邊10人,共有36人；

第二層每邊8人,共有28人；

第三層每邊6人,共有20人；

全陣有36+28+20=84人.

答：全方陣84人。

【例題85】有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層人數(shù)是52人，最內(nèi)層人數(shù)是28人，這隊學生共多少人？

【解題】

（1）中空方陣外層每邊人數(shù)＝52÷4＋1＝14（人）

（2）中空方陣內(nèi)層每邊人數(shù)＝28÷4－1＝6（人）

（3）中空方陣的總?cè)藬?shù)＝14×14－6×6＝160（人）

答：這隊學生共160人。

【例題86】一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個？

擺棋子

【分析】

（1）、沒有增加邊之前剩下4個棋子，增加后缺少9個，也就是將原先剩下的4個放到新的邊框中后還缺少9個就能填滿，也就是黃色新增邊框需要13個棋子就能填滿。

（2），因為是正方形，根據(jù)（1）可知，沒變應該是7個，應為頂角公用一個剛好13個。

【解題】

（1）縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)＝4＋9＝13（只）

（2）縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)＝（13＋1）÷2＝7（只）

（3）原有棋子數(shù)＝7×7－9＝40（只）

答：棋子有40只。

【例題87】有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？

【解題】

第一種方法： 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）

第二種方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）

答：這個三角形樹林一共有15棵樹。

22 商品利潤問題

【理解含義】

這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營中經(jīng)常遇到的問題，包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題。

【數(shù)量關(guān)系】

利潤＝售價－進貨價

利潤率＝（售價－進貨價）÷進貨價×100%

售價＝進貨價×（1＋利潤率）

虧損＝進貨價－售價

虧損率＝（進貨價－售價）÷進貨價×100%

【解題思路和方法】

簡單的題目可以直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

【例題88】某商品的平均價格在一月份上調(diào)了10%，到二月份又下調(diào)了10%，這種商品從原價到二月份的價格變動情況如何？

【解題】

設(shè)這種商品的原價為1，則一月份售價為（1＋10%），二月份的售價為（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售價比原價下降了

1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%

答：二月份比原價下降了1%。

【例題89】某服裝店因搬遷，店內(nèi)商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去52元，已知衣服原來按期望盈利30%定價，那么該店是虧本還是盈利？虧（盈）率是多少？

【解題】

要知虧還是盈，得知實際售價52元比成本少多少或多多少元，進而需知成本。因為52元是原價的80%，所以原價為（52÷80%）元；又因為原價是按期望盈利30%定的，所以成本為 52÷80%÷（1＋30%）＝50（元）

可以看出該店是盈利的，盈利率為（52－50）÷50＝4%

答：該店是盈利的，盈利率是4%。

【例題90】成本0.25元的作業(yè)本1200冊，按期望獲得40%的利潤定價出售，當銷售出80%后，剩下的作業(yè)本打折扣，結(jié)果獲得的利潤是預定的86%。問剩下的作業(yè)本出售時按定價打了多少折扣？

【解題】

問題是要計算剩下的作業(yè)本每冊實際售價是原定價的百分之幾。從題意可知，每冊的原定價是0.25×（1＋40%），所以關(guān)鍵是求出剩下的每冊的實際售價，為此要知道剩下的每冊盈利多少元。剩下的作業(yè)本售出后的盈利額等于實際總盈利與先售出的80%的盈利額之差，即

0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元）

剩下的作業(yè)本每冊盈利 7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）

又可知（0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80%

答：剩下的作業(yè)本是按原定價的八折出售的。

【例題91】某種商品，甲店的進貨價比乙店的進貨價便宜10%，甲店按30%的利潤定價，乙店按20%的利潤定價，結(jié)果乙店的定價比甲店的定價貴6元，求乙店的定價。

【解題】

設(shè)乙店的進貨價為1，則甲店的進貨價為 1－10%＝0.9

甲店定價為 0.9×（1＋30%）＝1.17

乙店定價為 1×（1＋20%）＝1.20

由此可得乙店進貨價為 6÷（1.20－1.17）＝200（元）

乙店定價為 200×1.2＝240（元）

答：乙店的定價是240元。

23 存款利率問題

【理解含義】

把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個因素有關(guān)。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分數(shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分數(shù)。

【數(shù)量關(guān)系】

年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）數(shù)×100%

利息＝本金×存款年（月）數(shù)×年（月）利率

本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）數(shù)］

【解題思路和方法】

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。

【例題92】小明存入銀行1200元，月利率0.8%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長。

【解題】

因為存款期內(nèi)的總利息是（1488－1200）元，

所以總利率為（1488－1200）÷1200 又因為已知月利率，

所以存款月數(shù)為（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）

答：小明的存款期是30月即兩年半。

【例題93】銀行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同時各存入1萬元，甲先存二年期，到期后連本帶利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同時取出，那么，誰的收益多？多多少元？

【解題】

甲的總利息

［10000×7.92%×2＋［10000×（1＋7.92%×2）］×8.28%×3

＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47（元）

乙的總利息

10000×9%×5＝4500（元）

4500－4461.47＝38.53（元）

答：乙的收益較多，乙比甲多38.53元。

24 溶液濃度問題

【理解含義】

在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會遇到溶液濃度問題。這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質(zhì)、溶液、濃度這幾個量的關(guān)系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分數(shù)叫濃度，也叫百分比濃度。

【數(shù)量關(guān)系】

溶液＝溶劑＋溶質(zhì)

濃度＝溶質(zhì)÷溶液×100%

【解題思路和方法】

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。

【例題94】王老師有16%的糖水50克，（1）要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它變成30%的糖水，需加糖多少克？

【解題】

（1）需要加水多少克？ 50×16%÷10%－50＝30（克）

（2）需要加糖多少克？ 50×（1－16%）÷（1－30%）－50

＝10（克）

答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。

【例題95】要把30%的糖水與15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？

【解題】

假設(shè)全用30%的糖水溶液，那么含糖量就會多出

600×（30%－25%）＝30（克）

這是因為30%的糖水多用了。于是，我們設(shè)想在保證總重量600克不變的情況下，用15% 的溶液來“換掉”一部分30%的溶液。這樣，每“換掉”100克，就會減少糖 100×（30%－15%）＝15（克）所以需要“換掉”30%的溶液（即“換上”15%的溶液） 100×（30÷15）＝200（克）

由此可知，需要15%的溶液200克。

需要30%的溶液 600－200＝400（克）

答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。

【例題96】甲容器有濃度為12%的鹽水500克，乙容器有500克水。把甲中鹽水的一半倒入乙中，混合后再把乙中現(xiàn)有鹽水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分鹽水倒入乙中，使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。求最后乙中鹽水的百分比濃度。

【解題】

由條件知，倒了三次后，甲乙兩容器中溶液重量相等，各為500克，因此，只要算出乙容器中最后的含鹽量，便會知所求的濃度。下面列表推算：

由以上推算可知，

乙容器中最后鹽水的百分比濃度為 24÷500＝4.8%

答：乙容器中最后的百分比濃度是4.8%。

25 構(gòu)圖布數(shù)問題

【理解含義】

這是一種數(shù)學游戲，也是現(xiàn)實生活中常用的數(shù)學問題。所謂“構(gòu)圖”，就是設(shè)計出一種圖形；所謂“布數(shù)”，就是把一定的數(shù)字填入圖中?！皹?gòu)圖布數(shù)”問題的關(guān)鍵是要符合所給的條件。

【數(shù)量關(guān)系】

根據(jù)不同題目的要求而定。

【解題思路和方法】

通常多從三角形、正方形、圓形和五角星等圖形方面考慮。按照題意來構(gòu)圖布數(shù)，符合題目所給的條件。

【例題97】十棵樹苗子，要栽五行子，每行四棵子，請你想法子。

【解題】

符合題目要求的圖形應是一個五角星。

4×5÷2＝10

因為五角星的5條邊交叉重復，應減去一半。

【例題98】九棵樹苗子，要栽十行子，每行三棵子，請你想法子。

【解題】

符合題目要求的圖形是兩個倒立交叉的等腰三角形，

一個三角形的頂點在另一個三角形底邊的中線上。

【例題99】九棵樹苗子，要栽三行子，每行四棵子，請你想法子。

【解題】

符合題目要求的圖形是一個三角形，每邊栽4棵樹，三個頂點上重復應減去，正好9棵。 4×3－3＝9

【例題100】把12拆成1到7這七個數(shù)中三個不同數(shù)的和，有幾種寫法？請設(shè)計一種圖形，填入這七個數(shù)，每個數(shù)只填一處，且每條線上三個數(shù)的和都等于12。

在這五個算式中，4出現(xiàn)三次，其余的1、2、3、5、6、7各出現(xiàn)兩次，因此，4應位于三條線的交點處，其余數(shù)都位于兩條線的交點處。據(jù)此，我們可以設(shè)計出以下三種圖形：

幻方

【解題】

共有五種寫法，即

12＝1＋4＋7

12＝1＋5＋6

12＝2＋3＋7

12＝2＋4＋6

12＝3＋4＋5

26 幻方問題

【理解含義】

把n×n個自然數(shù)排在正方形的格子中，使各行、各列以及對角線上的各數(shù)之和都相等，這樣的圖叫做幻方。最簡單的幻方是三級幻方。

【數(shù)量關(guān)系】

每行、每列、每條對角線上各數(shù)的和都相等，這個“和”叫做“幻和”。

三級幻方的幻和＝45÷3＝15

五級幻方的幻和＝325÷5＝65

【解題思路和方法】

首先要確定每行、每列以及每條對角線上各數(shù)的和（即幻和），其次是確定正中間方格的數(shù)，然后再確定其它方格中的數(shù)。

(1)、a+b+c+d+e+f+g+h+i=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

(2)、根據(jù)圖形可得，每一行或者每一列是總數(shù)的1/3，即45/3=15

(3)、九個數(shù)在這八條線上反復出現(xiàn)構(gòu)成幻和時，每個數(shù)用到的次數(shù)不全相同，最中心的那個數(shù)要用到四次（即出現(xiàn)在中行、中列、和兩條對角線這四條線上），四角的四個數(shù)各用到三次，其余的四個數(shù)各用到兩次?？磥恚玫剿拇蔚摹爸行臄?shù)”地位重要，宜優(yōu)先考慮。

(4)、設(shè)“中心數(shù)”為e，因為Χ出現(xiàn)在四條線上，而每條線上三個數(shù)之和等于15，所以（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）e＝15×4

即 45＋3e＝60 所以中心數(shù)e＝5

【例題101】把1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)填入九個方格中，使每行、每列、每條對角線上三個數(shù)的和相等。

【解題】

幻和的3倍正好等于這九個數(shù)的和，所以幻和為

（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15

接著用奇偶分析法尋找其余四個偶數(shù)的位置，它們分別在四個角，再確定其余四個奇數(shù)的位置，它們分別在中行、中列，進一步嘗試，容易得到正確的結(jié)果。

【例題102】把2，3，4，5，6，7，8，9，10這九個數(shù)填到九個方格中，使每行、每列、以及對角線上的各數(shù)之和都相等。

【解題】

只有三行，三行用完了所給的9個數(shù)，所以每行三數(shù)之和為

（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18

假設(shè)符合要求的數(shù)都已經(jīng)填好，那么三行、三列、兩條對角線共8行上的三個數(shù)之和都等于18，我們看18能寫成哪三個數(shù)之和：

最大數(shù)是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3

最大數(shù)是9： 18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4

最大數(shù)是8： 18＝8＋7＋3＝8＋6＋4

最大數(shù)是7： 18＝7＋6＋5 剛好寫成8個算式。

首先確定正中間方格的數(shù)。第二橫行、第二豎行、兩個斜行都用到正中間方格的數(shù)，共用了四次。觀察上述8個算式，只有6被用了4次，所以正中間方格中應填6。

然后確定四個角的數(shù)。四個角的數(shù)都用了三次，而上述8個算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3應填在四個角上。但還應兼顧兩條對角線上三個數(shù)的和都為18。

最后確定其它方格中的數(shù)。如圖。

27 抽屜原則問題

【理解含義】

把3只蘋果放進兩個抽屜中，會出現(xiàn)哪些結(jié)果呢？要么把2只蘋果放進一個抽屜，剩下的一個放進另一個抽屜；要么把3只蘋果都放進同一個抽屜中。這兩種情況可用一句話表示：一定有一個抽屜中放了2只或2只以上的蘋果。這就是數(shù)學中的抽屜原則問題。

【數(shù)量關(guān)系】

基本的抽屜原則是：如果把n＋1個物體（也叫元素）放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中放著2個或更多的物體（元素）。

抽屜原則可以推廣為：如果有m個抽屜，有k×m＋r（0＜r≤m）個元素那么至少有一個抽屜中要放（k＋1）個或更多的元素。

通俗地說，如果元素的個數(shù)是抽屜個數(shù)的k倍多一些，那么至少有一個抽屜要放（k＋1）個或更多的元素。

【解題思路和方法】

（1）改造抽屜，指出元素；

（2）把元素放入（或取出）抽屜；

（3）說明理由，得出結(jié)論。

【例題103】育才小學有367個1999年出生的學生，那么其中至少有幾個學生的生日是同

一天的？

【解題】

由于1999年是潤年，全年共有366天，可以看作366個“抽屜”，把367個1999年出生的學生看作367個“元素”。367個“元素”放進366個“抽屜”中，至少有一個“抽屜”中放有2個或更多的“元素”。

這說明至少有2個學生的生日是同一天的。

【例題104】據(jù)說人的頭發(fā)不超過20萬跟，如果陜西省有3645萬人，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，你知道陜西省至少有多少人頭發(fā)根數(shù)一樣多嗎？

【解題】

人的頭發(fā)不超過20萬根，可看作20萬個“抽屜”，3645萬人可看作3645萬個“元素”，把3645萬個“元素”放到20萬個“抽屜”中，得到

3645÷20＝182……5 根據(jù)抽屜原則的推廣規(guī)律，可知k＋1＝183

答：陜西省至少有183人的頭發(fā)根數(shù)一樣多。

【例題105】一個袋子里有一些球，這些球僅只有顏色不同。其中紅球10個，白球9個，黃球8個，藍球2個。某人閉著眼睛從中取出若干個，試問他至少要取多少個球，才能保證至少有4個球顏色相同？

【解題】

把四種顏色的球的總數(shù)（3＋3＋3＋2）＝11 看作11個“抽屜”，那么，至少要?。?1＋1）個球才能保證至少有4個球的顏色相同。

答；他至少要取12個球才能保證至少有4個球的顏色相同。

28 公約公倍問題

【理解含義】

需要用公約數(shù)、公倍數(shù)來解答的應用題叫做公約數(shù)、公倍數(shù)問題。

【數(shù)量關(guān)系】

絕大多數(shù)要用最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)來解答。

【解題思路和方法】

先確定題目中要用最大公約數(shù)或者最小公倍數(shù)，再求出答案。最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的求法，最常用的是“短除法”。

【例題106】一張硬紙板長60厘米，寬56厘米，現(xiàn)在需要把它剪成若干個大小相同的最大的正方形，不許有剩余。問正方形的邊長是多少？

【解題】

硬紙板的長和寬的最大公約數(shù)就是所求的邊長。

60和56的最大公約數(shù)是4。

答：正方形的邊長是4厘米。

【例題107】甲、乙、丙三輛汽車在環(huán)形馬路上同向行駛，甲車行一周要36分鐘，乙車行一周要30分鐘，丙車行一周要48分鐘，三輛汽車同時從同一個起點出發(fā)，問至少要多少時間這三輛汽車才能同時又在起點相遇？

【解題】

要求多少時間才能在同一起點相遇，這個時間必定同時是36、30、48的倍數(shù)。因為問至少要多少時間，所以應是36、30、48的最小公倍數(shù)。 36、30、48的最小公倍數(shù)是720。

答：至少要720分鐘（即12小時）這三輛汽車才能同時又在起點相遇。

【例題108】一個四邊形廣場，邊長分別為60米，72米，96米，84米，現(xiàn)要在四角和四邊植樹，若四邊上每兩棵樹間距相等，至少要植多少棵樹？

【解題】

相鄰兩樹的間距應是60、72、96、84的公約數(shù)，要使植樹的棵數(shù)盡量少，須使相鄰兩樹的間距盡量大，那么這個相等的間距應是60、72、96、84這幾個數(shù)的最大公約數(shù)12。

所以，至少應植樹（60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）

答：至少要植26棵樹。

【例題109】一盒圍棋子，4個4個地數(shù)多1個，5個5個地數(shù)多1個，6個6個地數(shù)還多1個。又知棋子總數(shù)在150到200之間，求棋子總數(shù)。

【解題】

如果從總數(shù)中取出1個，余下的總數(shù)便是4、5、6的公倍數(shù)。因為4、5、6的最小公倍數(shù)是60，又知棋子總數(shù)在150到200之間，所以這個總數(shù)為

60×3＋1＝181（個）

答：棋子的總數(shù)是181個。

29 最值問題

【理解含義】

科學的發(fā)展觀認為，國民經(jīng)濟的發(fā)展既要講求效率，又要節(jié)約能源，要少花錢多辦事，辦好事，以最小的代價取得最大的效益。這類應用題叫做最值問題。

【數(shù)量關(guān)系】

一般是求最大值或最小值。

【解題思路和方法】

按照題目的要求，求出最大值或最小值。

【例題200】在火爐上烤餅，餅的兩面都要烤，每烤一面需要3分鐘，爐上只能同時放兩塊餅，現(xiàn)在需要烤三塊餅，最少需要多少分鐘？

【解題】

先將兩塊餅同時放上烤，3分鐘后都熟了一面，這時將第一塊餅取出，放入第三塊餅，翻過第二塊餅。再過3分鐘取出熟了的第二塊餅，翻過第三塊餅，又放入第一塊餅烤另一面，再烤3分鐘即可。這樣做，用的時間最少，為9分鐘。

答：最少需要9分鐘。

【例題201】在一條公路上有五個卸煤場，每相鄰兩個之間的距離都是10千米，已知1號煤場存煤100噸，2號煤場存煤200噸，5號煤場存煤400噸，其余兩個煤場是空的?，F(xiàn)在要把所有的煤集中到一個煤場里，每噸煤運1千米花費1元，集中到幾號煤場花費最少？

【解題】

我們采用嘗試比較的方法來解答。

集中到1號場總費用為 1×200×10＋1×400×40＝18000（元）

集中到2號場總費用為 1×100×10＋1×400×30＝13000（元）

集中到3號場總費用為 1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元）

集中到4號場總費用為 1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元）

集中到5號場總費用為 1×100×40＋1×200×30＝10000（元）

經(jīng)過比較，顯然，集中到5號煤場費用最少。

答：集中到5號煤場費用最少。

【例題202】北京和上海同時制成計算機若干臺，北京可調(diào)運外地10臺，上?？烧{(diào)運外地4臺?，F(xiàn)決定給重慶調(diào)運8臺，給武漢調(diào)運6臺，

若每臺運費如右表，問如何調(diào)運才使運費最??？

【解題】

北京調(diào)運到重慶的運費最高，因此，北京

往重慶應盡量少調(diào)運。這樣，把上海的4臺全都調(diào)

往重慶，再從北京調(diào)往重慶4臺，調(diào)往武漢6臺，運費就會最少，其數(shù)額為

500×4＋800×4＋400×6＝7600（元）

答：上海調(diào)往重慶4臺，北京調(diào)往武漢6臺，調(diào)往重慶4臺，這樣運費最少。

30 列方程問題

【理解含義】

把應用題中的未知數(shù)用字母Χ代替，根據(jù)等量關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式——方程，通過解這個方程而得到應用題的答案，這個過程，就叫做列方程解應用題。

【數(shù)量關(guān)系】

方程的等號兩邊數(shù)量相等。

【解題思路和方法】

可以概括為“審、設(shè)、列、解、驗、答”六字法。

（1）審：認真審題，弄清應用題中的已知量和未知量各是什么，問題中的等量關(guān)系是什么。

（2）設(shè)：把應用題中的未知數(shù)設(shè)為Χ。

（3）列；根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)和題目中的已知條件，按照等量關(guān)系列出方程。

（4）解；求出所列方程的解。

（5）驗：檢驗方程的解是否正確，是否符合題意。

（6）答：回答題目所問，也就是寫出答問的話。

同學們在列方程解應用題時，一般只寫出四項內(nèi)容，即設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、答語。設(shè)未知數(shù)時要在Χ后面寫上單位名稱，在方程中已知數(shù)和未知數(shù)都不帶單位名稱，求出的Χ值也不帶單位名稱，在答語中要寫出單位名稱。檢驗的過程不必寫出，但必須檢驗。

【例題203】甲乙兩班共90人，甲班比乙班人數(shù)的2倍少30人，求兩班各有多少人？

【解題】

第一種方法：設(shè)乙班有Χ人，則甲班有（90－Χ）人。

找等量關(guān)系：甲班人數(shù)＝乙班人數(shù)×2－30人。

列方程： 90－Χ＝2Χ－30

解方程得 Χ＝40 從而知 90－Χ＝50

第二種方法：設(shè)乙班有Χ人，則甲班有（2Χ－30）人。

列方程（2Χ－30）＋Χ＝90

解方程得 Χ＝40 從而得知 2Χ－30＝50

答：甲班有50人，乙班有40人。

【例題204】雞兔35只，共有94只腳，問有多少兔？多少雞？

【解題】