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史寧中教授認(rèn)為歸納推理是一種根據(jù)“事實(shí)”進(jìn)行的推理，這一過程中的概念或法則不需要嚴(yán)格的規(guī)定或定義，有助于探索數(shù)學(xué)的新思路；而演繹推理是基于“理念”進(jìn)行推理，推理過程中所運(yùn)用到的概念、法則則必須是明確的，由演繹推理得到的結(jié)論是正確的結(jié)論。將兩者相融合，即歸納推理提供思路，隨后以演繹推理嚴(yán)密的邏輯性驗(yàn)證其正確性，共同完成數(shù)學(xué)問題的推理過程。 
解法分析：本題的第(1)問借助圖中的“雙垂直模型”，可以證明兩組三角形全等，先證明BF=DP，在證明BF=2BE，繼而得證。
解法分析：本題的第(1)問一旦求出，后面的特殊情況參照第(1)問的分析和解答過程即可解決。本題的第(2)問還是在等腰直角三角形的背景下，但是改變了點(diǎn)P的特殊位置，為了證明結(jié)論可以構(gòu)造第(1)問的圖形，即過點(diǎn)P作平行線，此時(shí)△BEC和△EFC、△AMC和△ABF的全等仍然存在，只是需要借助構(gòu)造的A型圖形進(jìn)行比例線段的轉(zhuǎn)化。(即轉(zhuǎn)化DE和DP)
解法分析：本題的第(3)問則在②的基礎(chǔ)上更加一般化，但是問題解決的路徑還是不變的，就是由△AMC和△ABF全等變?yōu)榱讼嗨啤?/span> 總結(jié)：此題是一道以“雙垂直”模型為背景的幾何壓軸題，由第(1)問的條件、結(jié)論特殊化到條件、結(jié)論一般化，學(xué)生通過將第(1)問中問題解決的方法延續(xù)到了第(3)問中，從發(fā)現(xiàn)全等三角形到構(gòu)造相似三角形，其中滲透著歸納推理的思想，對(duì)于學(xué)生高階思維的培養(yǎng)起著潛移默化的作用。.
解法分析：本題的第(1)問是等邊三角形背景下的特殊情況?？梢越柚c(diǎn)D為中點(diǎn)作平行線，也可以直接通過解三角形求得比值。方法1：借助等邊三角形的性質(zhì)解三角形求比值。
方法2：過點(diǎn)D作AB平行線構(gòu)造A型基本圖形，構(gòu)造全等三角形，2次利用A型基本圖形求線段比值。
解法分析：本題的第(2)問延用第(1)問的思路，仍舊可以通過過點(diǎn)D作AB的平行線構(gòu)造A型基本圖形，與第(1)問的證明過程如出一轍。
解法分析：本題的第(3)問在(2)的基礎(chǔ)上更加一般化，但是問題解決的方法和思路還是不變的。此時(shí)問題的突破口在于找到AB和DH間的數(shù)量關(guān)系，即找到EH和BE間的數(shù)量關(guān)系。
總結(jié)：此題是一道以三角形為背景的綜合性試題，具有很強(qiáng)的探究性，對(duì)學(xué)生的歸納推理能力和運(yùn)算能力的要求都比較高。三道小題以“A”型基本圖形為基礎(chǔ)，拾級(jí)而上，從特殊到一般，融合了全等與相似知識(shí)，要求學(xué)生利用幾何推理論證和代數(shù)思維求線段的比值.特別是第(3)小題的拓展研究，是在一個(gè)抽象程度更高的背景下進(jìn)行研究的。雖然此時(shí)全等和相似的對(duì)象變化了，但是問題的本質(zhì)沒有改變，解題方法沒有改變，對(duì)學(xué)生代數(shù)思維的素養(yǎng)要求上升到了一個(gè)更高的層次。
利用角平分線的“對(duì)稱性”進(jìn)行輔助線的添加：即通過“截取”或者“延長(zhǎng)”的方式構(gòu)造全等三角形，證明線段間的和差關(guān)系。 解法分析：第(1)小題中，第①問是一種特殊情況，由△ABC是等邊三角形，很容易得到結(jié)論；第②問是一種變式，結(jié)論仍然成立。論證的總體思路是“截長(zhǎng)”。利用角平分線的對(duì)稱性，構(gòu)造兩組全等三角形：△OCD和△OCG和△BOG和△BOE。
解法分析：對(duì)于第(2)小題，首先類比猜想結(jié)論為AC=AD+BC.思路是以AC為底，在AC上方，也構(gòu)造如上題所示的圖形.通過過點(diǎn)B作AC的對(duì)稱點(diǎn)E，化歸證明滿足第(1)小題第②問的條件，利用上述的結(jié)論進(jìn)行歸納推理，從而得證。
總結(jié)：此題要探究含60°角的三角形的內(nèi)向具有的性質(zhì)，先從等邊三角形出發(fā)，通過變式得到一般的結(jié)論，然后遷移到圓的特點(diǎn)背景中.通過添加輔助線構(gòu)造滿足條件的三角形，應(yīng)用探究歸納得到的規(guī)律解決問題.像這樣以圖形的規(guī)律為焦點(diǎn)，通過特殊情況感知規(guī)律、通過變式猜想規(guī)律、通過論證證明規(guī)律、通過遷移應(yīng)用瑰麗，整個(gè)過程滲透了歸納推理的思想。
如圖所示是典型的“十字形”模型，基本特征是在正方形中構(gòu)成了一個(gè)互相垂直的“十字形”，由此產(chǎn)生了兩組相等的銳角以及一組全等的三角形。解法分析：本題的前兩問依托“十字型”模型，通過平移EG、FH構(gòu)造全等三角形或相似三角形構(gòu)造線段的比；本題的第(3)問雖是一個(gè)普通的四邊形，但是通過過點(diǎn)C作AB的垂線構(gòu)造相似三角形，又和問題(2)比較類似，從而順利解決問題。
總結(jié)：此題是一道以四邊形為載體命制的綜合題，考察了圖形的平移運(yùn)動(dòng)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)。此題以問題為導(dǎo)向，考察學(xué)生積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)的能力.學(xué)生可以通過觀察、發(fā)現(xiàn)及證明，運(yùn)用所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本證明方法開展對(duì)圖形的探究。
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