(2023廣東省中考)

綜合探究

如圖，在矩形ABCD中(AB>AD)，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)⊙O，點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為A′，連接AA′交BD于點(diǎn)E，連接CA′

(1) 求證：AA′⊥CA′；

(2) 以點(diǎn)⊙O為圓心，OE為半徑作圓.

如圖2，⊙O與CD相切，求證：AA′=

CA′

如圖3，⊙O與CA′相切，AD=1，求⊙O的面積.

解：(1)連接OA，易知OA′=OA，同時(shí)OA=OC，故OA′=OA=OC，故AA′⊥A′C

(2)作OF⊥AB于點(diǎn)F，易知OF=OE，故AO平分∠EAF，同時(shí)OA=OB，故∠OAB=∠OBA，同時(shí)∠AEO=90°，故∠OEA=∠OAB=∠OBA=30°，故AA′=

CA′

(3)設(shè)OE=r，則OM=A′M=EA′=EA=r得OA=

，故BD=

，由△DAE~△DBA得DA2=DE·DB得

得

,得

(2023廣東省中考)

綜合應(yīng)用

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，如圖2，將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為ɑ(0<ɑ<45°)，AB交直線y=x于點(diǎn)E，BC交y軸于點(diǎn)F.

(1) 當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠COF為多少度時(shí)，OE=OF；(直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過程)

(2)若點(diǎn)A(4,3)，求FC的長.

(3)如圖3，對(duì)角線AC交y軸于點(diǎn)M，交直線y=x于點(diǎn)N，連接FN，將△OFN與△OCF的面積分別記為S1與S2，設(shè)S=S1-S2，AN=n，求S關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式.

解：(1)22.5°

(1) 如圖所示，易知△OCF~△OGA，OC=OA=5，得CF=

(2) 連接NB，過點(diǎn)N作GH||AB，易知∠EOF=45°得O、C、F、N共圓，得∠OFN=45°，△OFN為等腰直角三角形；由對(duì)稱性易知NB=NO，故NF=NB，得BG=FG，得BG=AH=NH

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