021 不同正多邊形的組合密鋪

1、不同正多邊形的組合方法

雖然全等正多邊形拼接形成的密鋪圖形的類型不多，但是幾種邊長相等邊數(shù)不等的正多邊形的組合而構(gòu)成密鋪圖形的機(jī)會就大大增多了。不同的正多邊形組合密鋪有好多種組合方法，根據(jù)枚舉法能找到這些方法。

枚舉法是比較有效的一種歸納方法，該方法將問題的所有可能的答案一一列舉，然后根據(jù)條件判斷此答案是否合適，合適就保留，不合適就丟棄。這種方法適合上機(jī)編程實(shí)現(xiàn)。

在使用正十二多邊形以下（含正十二多邊形）的不同邊數(shù)的正多邊形密鋪中，已經(jīng)知道總共有十二種組合結(jié)構(gòu)能夠密鋪，其中包括了上節(jié)介紹的全等正三角形、全等正四邊形、全等正六邊形三種密鋪的結(jié)構(gòu)。

密鋪圖形（3，3，3，3，3，3）

密鋪圖形（4，4，4，4）

密鋪圖形（6，6，6）

    除了上述三種情況外，剩下的九種情況展示如下：

①四個正三角形和一個正六邊形（3，3，3，3，6）。

②三個正三角形和兩個正方形（3，3，3，4，4）。  

③兩個正三角形和兩個六邊形（3，3，6，6）。

④兩個正三角形、一個正方形和一個正十二邊形（3，3，4，12）。

⑤一個正三角形，兩個正方形和一個正六邊形（3，4，4，6）。

⑥一個正方形、一個正六邊形和一個正十二邊形（4，6，12）。

⑦一個正方形、兩個正八邊形（4，8，8）。

⑧一個正五邊形和兩個正十邊形（*5，10，10）。

⑨一個正三角形和兩個十二邊形（3，12，12）。

2、九種結(jié)構(gòu)的密鋪圖形

（1）四個正三角形和一個正六邊形

 密鋪圖形（3，3，3，3，6）

 （2)三個正三角形和兩個正四邊形

密鋪圖形（3，3，3，4，4）

密鋪圖形（3，3，3，4，4）

（3）兩個正三角形和兩個正六邊形

密鋪圖形（3，3，6，6）

密鋪圖形（3，3，6，6）

（4）兩個正三角形、一個正四邊形和一個正十二邊形

密鋪圖形（3，3，4，12）

（5）一個正三角形、兩個正四邊形和一個正六邊形

密鋪圖形（3，4，4，6）+（3，3，3，4，4）

（6）一個正四邊形、一個正六邊形和一個正十二邊形

密鋪圖形（4，6，12）

（7）一個正四邊形和兩個正八邊形

密鋪圖形（4，8，8）

密鋪圖形（4，8，8）

實(shí)際密鋪的瓷磚地板

（8）一個正五邊形和兩個正十邊形

圖形（*5，10，10）

 為什么5前面打個星號，是有原因的。雖然上圖中正五邊形能環(huán)繞正十邊形并外接5個正十邊形。但外圈出現(xiàn)了5個較大的缺口，而且不能用別的正多邊形補(bǔ)上繼續(xù)鋪開，這不符合上一節(jié)關(guān)于密鋪的第③個條件，所以還不能算是密鋪圖形。

圖形（*5，10，10）

上圖中，雖然正五邊形能環(huán)繞著兩個正十邊形，但環(huán)繞層中間上、下出現(xiàn)36度的缺口不能用別的正多邊形補(bǔ)上，所以暫時還不是密鋪圖形。

（9）一個正三角形和兩個正十二邊形

密鋪圖形（3，12，12）

3、密鋪與鑲嵌

在目前的有關(guān)資料看到，密鋪和鑲嵌這兩者的定義是一樣的，使用起來比較混亂。顧名思義看兩者還是有點(diǎn)差異的。密鋪就是在平面上靠緊鋪開，但鑲嵌除了靠緊外還可能有一個嵌入的動作。

鑲嵌圖形

上圖中，參與密鋪的圖形是一個由曲線構(gòu)成的有凸有凹的圖形，你想用簡單的靠緊鋪開的方法恐怕不能達(dá)到密鋪的目的，你必須有個將凸起嵌入凹槽里往下按的動作。這樣的鋪設(shè)方法與其叫密鋪還不如叫鑲嵌更合適，因而得到的圖形就叫做鑲嵌圖形了。見下圖，在正五邊形之間嵌入四角星就構(gòu)成鑲嵌圖形了。

鑲嵌圖形

有關(guān)密鋪和鑲嵌，這里下一個新的定義：由簡單的凸多邊形參與拼接的、且靠緊就能達(dá)到鋪開的、沒空隙不覆蓋的就叫做密鋪；由復(fù)雜的圖案或有凹多邊形參與的、可能要有嵌入動作的，且達(dá)到無縫連接的密鋪就叫做鑲嵌。

下節(jié)將介紹其它多邊形密鋪與鑲嵌的問題。