【問(wèn)題】北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)P32第2題：

已知：如圖1，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上.

解答:某數(shù)學(xué)興趣小組在小明同學(xué)提出了如下的解題方法：

如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，作FH⊥AE于點(diǎn)H，作FM⊥BC于點(diǎn)M，由角平分線的性質(zhì)定理可得FG=FM，FH=FM

∴FG=FH

∵FG⊥AD，FH⊥AE，

∴F在∠DAE的平分線上

【探究】(1)小方在研究小明的解題過(guò)程中，還發(fā)現(xiàn)圖2中BG、BC和CH三條線段存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出它們的數(shù)量關(guān)系：____________

(2) 小明也發(fā)現(xiàn)∠BFC和∠GFH之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出它們的數(shù)量關(guān)系：____

(3) 如圖3，邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊CD、BC上的點(diǎn)，且DE=1，連接AE、AF、EF，若∠EAF=45°，求BF的長(zhǎng).

【拓展】如圖4，△ABC中，AB=AC=5，BC=4，△DEF中，∠EDF=∠B，將△DEF在頂點(diǎn)D在放BC邊的中點(diǎn)處，邊DF交線段AB于點(diǎn)G，邊DE交線段AC于點(diǎn)H，連接GH，現(xiàn)將△DEF繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△AGH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若不變，求出△AGH的周長(zhǎng)，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)BC=BG+CH(提示：易證△FBG≌△FBM，△FCM≌△FCH得BG=BM，CH=CM)

(2)∠BFC=∠GFH

(3)在CB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)G使BG=DE,易知△BAG≌△ADE，AG=AE，∠DAE=∠BAG；而∠BAF+∠DAE=45，得∠BAG+∠BAF=45，即∠GAF=45，故△AFE≌△AFG，FG=FE，即有EF=BF+DE

由已知∠B=∠C=∠HDG，∠BDG+∠CDH=∠CDH+∠CHD得∠BDG=∠CHD得△BDG~△CHD得而BD=CD得，∠HDG=∠B，故△BDG~△DHG，得∠BDG=∠GHD，又∠BDG=∠CHD，DH平分∠CHG；同理可得DG平分∠BGH；

作DM、DN、DO分別垂直于AB、GH、AC于點(diǎn)M、N、O，易知DM=DN=NO可得△DGM≌△DGN，△DHN≌△DHO，GN=GM，NH=OH得AG+GH+AH=AM+AO=2AM；而由射影定理可知AD²=AMAB得AM=，故△AGH的周長(zhǎng)不變?yōu)?/span>

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