【問題初探】

(1) 如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為AB邊一點(diǎn)，以BD為腰向下作等腰Rt△BDE，∠DBE=90°，連接CD、CE，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，連接AF，猜想并證明線段AF與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系. 

【深入探究】

(2) 在(1)的條件下，如圖2，將等腰Rt△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

【拓展遷移】

(3) 如圖3，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，在Rt△BDE中，∠DBE=90°，∠BDE=∠BAC，連接CD、CE，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，連接AF，Rt△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過程中，①線段AF與CE的數(shù)量關(guān)系為______; ②若BC=4，BD=2，當(dāng)點(diǎn)F在等腰△ABC內(nèi)部且∠BCF度數(shù)最大時(shí)，線段AF的長(zhǎng)度為______

解：(1)方法一：易知△BCD≌△BCE，得CD=CE，∠BCD=∠BCE，設(shè)∠FAC=ɑ，則∠ACF=ɑ，∠BCD=∠BCE=45°-ɑ，得∠FAC+∠ACG=90°，故AF⊥CE; 而F為CD的中點(diǎn)，AF=CD,而CE=CD，故AF=CE

方法二：取BC的中點(diǎn)G，連接AG、FG，易知GF=BD，而BE=BD，故GF=BE；AG=BC

∠FGC=∠DBC，故∠AGF=∠CBE得△AGF~△CBE，AF=CE；同時(shí)∠GAF=∠BCE，∠GAF+∠CAF+∠ACG=90°，得∠FAC+∠ACG+∠BCE=90°，即AF⊥CE；

方法三：作CG⊥BE于點(diǎn)G得△CAD≌△CGE；

方法四：設(shè)BC與DE的交點(diǎn)為G，連接AG、FG，易得△ABG~△CBE

點(diǎn)評(píng)：此題難度不大，但是第一問的解法直接影響第二問的解答；類比探究的方法基本相同，而第一問的解法若在第二問中無法解答，明顯第二問就成為攔路虎了，一題多解顯得非常重要了.

(2)方法一(相似)：取BC的中點(diǎn)G,連接AG、FG，AG=BC；而GF=BD，而BD=BE得GF=BE，∠CGF=∠CBD得∠AGF=∠CBE；故△AGF~△CBE故AF=CE；同時(shí)∠GAF=∠BCE；∠GAF+∠CAF+∠ACG=90°，得∠FAC+∠ACG+∠BCE=90°，即AF⊥CE；

方法二(相似)：取DE的中點(diǎn)G，連接AG、BG、FG，易知GF=EC，而BC：AB=BE：BG=；∠ABC=∠GBE=45°，故∠ABG=∠CBE，故ABG~CBE得∠AGB=∠BEC，EC=AG，故AG=GF；同時(shí)∠AGF=∠DGF-∠AGD=∠DEC-∠AGD=∠BEC-45°-∠AGD=∠BGA-45°-∠AGD=90°+∠AGD-45°-∠AGD=45°，即∠AGF=45°，故AGF為等腰直角三角形(此處結(jié)論還需更詳細(xì)的說明)，AF=GF，故AF=EC；同時(shí)∠HAF=∠BCE；∠HAF+∠CAF+∠ACH=90°，得∠FAC+∠ACH+∠BCE=90°，即AF⊥CE；

方法三(全等)：延長(zhǎng)CA至G，使AG=AC，連接BG、DG，易知△BCG為等腰直角三角形，△BDG≌△BEC，得DG=EC，AG=DG，故AF=EC；同理可證AF⊥CE

點(diǎn)評(píng)：此問的突破點(diǎn)還在于中點(diǎn)相關(guān)的輔助線，一般能聯(lián)想到的是找特殊圖形的中點(diǎn)，例如等腰三角形的中點(diǎn)；或者構(gòu)造中位線；

(3)AF=EC，有以下三種方法可解答；具體解答步驟，同學(xué)們可參考第(2)問；

②易知點(diǎn)D在以B為圓心，2為半徑的圓上，當(dāng)CD與圓相切時(shí)，BCF張角最大；此時(shí)CD=14，作EH⊥CD于點(diǎn)H，CH=8，EH=2

得CE=2，故AF=