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邁克爾·科斯特利茨(Michael Kosterlitz，1943年6月22日－)，美籍英裔物理學(xué)家，2016年與戴維·索利斯（David James Thouless，1934年9月21日－2019年4月6日）以及鄧肯·霍爾丹（Frederick Duncan Michael Haldane，1951年9月14日－）因“在物質(zhì)的拓?fù)湎嘧兒屯負(fù)湎囝I(lǐng)域的理論性發(fā)現(xiàn)”共同獲得2016年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。圖片：Nick Dentamaro / Brown University 平凡無奇的液體，當(dāng)溫度降低到某一溫度之下后，基本性質(zhì)會(huì)突然改變，沒有了黏性，可以一直流動(dòng)，甚至向上爬出容器口。這是為什么？ 2016年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主邁克爾·科斯特利茨(Michael Kosterlitz)受Frontiers for Young Minds期刊網(wǎng)站邀請(qǐng)，撰文解釋了這一現(xiàn)象。
我們的世界充滿著謎題，從身邊司空見慣的現(xiàn)象，比如風(fēng)吹樹枝，到只有在特定條件下才會(huì)發(fā)生的罕見且神秘的現(xiàn)象，比如超流體，即極低溫度下一些液體可以永無止盡地流動(dòng)，而物理學(xué)是破解自然界謎題的最佳工具之一。超流體就是我在我的物理學(xué)之旅中遇到的一種非常特殊的現(xiàn)象。平凡無奇的液體，當(dāng)溫度降低到某一溫度之下后，基本性質(zhì)會(huì)突然改變，沒有了黏性，可以一直流動(dòng)，甚至向上爬出容器口，即變成了超流體。在這篇文章中，我將帶你走近超流體的迷人世界，展示它們的一些有趣的行為，并解釋其與使我獲得2016年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的發(fā)現(xiàn)有何聯(lián)系。拓?fù)鋵W(xué)：形狀的數(shù)學(xué)語言
拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支領(lǐng)域，研究物體的形狀，并根據(jù)形狀將物體分類。關(guān)于形狀的一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)是洞的數(shù)目。例如，球沒有洞，而甜甜圈有一個(gè)洞(圖1A)。因此，球和甜甜圈在拓?fù)鋵W(xué)上屬于不同類別，意思是，你把球平滑地變形，不可能變成甜甜圈，要把球變成甜甜圈，必須在球上戳一個(gè)洞，這就需要撕裂材料，就不叫平滑地變形了。 在拓?fù)鋵W(xué)中，你可以隨心所欲地揉捏材料，但你不能戳洞，也不能把不同部分粘在一起。因此，你可以把一個(gè)球揉成一個(gè)碗，因?yàn)樗鼈兊耐負(fù)浣Y(jié)構(gòu)是相同的。這波操作很滑稽，背后的思想頗有用。圖1 拓?fù)浜托螤?/span> (A)球沒有洞，而甜甜圈有一個(gè)洞——因此，它們?cè)谕負(fù)鋵W(xué)上屬于不同類別。(B)甜甜圈和咖啡杯都有一個(gè)洞，因此在拓?fù)渖鲜堑葍r(jià)的。這意味著我們可以以一種平滑的方式，不撕裂材料也不將洞粘上——拓?fù)渥冃沃薪惯@兩種情況，從一種形狀轉(zhuǎn)變成另一種形狀。發(fā)生在物理學(xué)中的類似現(xiàn)象，就可以考慮拓?fù)涞乃枷耄液苡杏谩?/span>拓?fù)鋵W(xué)上如何看待甜甜圈和帶把手的咖啡杯？它們乍看起來大不一樣，但如果你仔細(xì)觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們都有一個(gè)洞。從拓?fù)鋵W(xué)的角度來看，這意味著甜甜圈和咖啡杯是等價(jià)的。用專業(yè)術(shù)語來說，它們具有拓?fù)涞葍r(jià)性。因此，您可以以平滑和連續(xù)的方式將它們相互轉(zhuǎn)換(圖1B)。因此，在這種情況下，洞的數(shù)目可稱為拓?fù)洳蛔兞俊谖矬w變形過程中保持不變的量，或者說相對(duì)于甜甜圈和咖啡杯保持不變，即使這些物體經(jīng)歷了改變外觀的操作。拓?fù)鋵W(xué)語言還可用于描述某些材料的性質(zhì)，這樣的材料因此稱為拓?fù)洳牧?。在下一?jié)中，我們將簡(jiǎn)要介紹拓?fù)鋵W(xué)如何幫助我們識(shí)別材料之間的差異，以及如何幫助我們解釋某些不同尋常的和令人興奮的現(xiàn)象，比如貌似不受重力影響的流體。如前文所述，拓?fù)鋵W(xué)是描述材料之間某些差異的一種方便方法。我們都很熟悉的一類材料叫做絕緣體。絕緣體是一種不易導(dǎo)電的材料，如橡膠或塑料。材料導(dǎo)電還是不導(dǎo)電由材料的能量特性決定。材料中的電子的能量不是任意值都可以的，這些離散的特定能量稱為能級(jí)，材料中許許多多的能級(jí)密集排列在一起，構(gòu)成能帶。材料很多性質(zhì)通常取決于能帶結(jié)構(gòu)。電子依次充滿能量較低的能帶，而將高能量的能帶空著，空能帶與被占能帶之間的能量差叫做“能隙”，對(duì)于絕緣體來說，能隙非常大，電子沒有足夠的能量跑到空置的高能帶。對(duì)于導(dǎo)體來說，空能帶與被占能帶是連在一起的，沒有能隙，電子不需要額外能量就能跑到空能帶上，還能“跑來跑去”，材料加上電壓，電子就一起從電壓低的地方向電壓高的地方跑，形成電流。
絕緣體系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu)可以根據(jù)拓?fù)洳蛔兞窟M(jìn)行分類，拓?fù)洳蛔兞考丛谙到y(tǒng)狀態(tài)改變時(shí)也能保持不變的性質(zhì)。這意味著我們可以根據(jù)絕緣體電子一定能量下對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)的拓?fù)湫再|(zhì)來給絕緣體命名和分類。在過去15年左右的時(shí)間里，有一類特殊的絕緣體——可以使用拓?fù)洳蛔兞窟M(jìn)行分類和描述，因此稱為拓?fù)浣^緣體——引起了人們的極大興趣。這種材料內(nèi)部絕緣，表面導(dǎo)電。[1]拓?fù)浣^緣體同時(shí)具有導(dǎo)電和絕緣的性質(zhì)，是怎么做到的呢？在這些材料的中間部分，即所謂的本體，電子做圓周運(yùn)動(dòng)，圓周半徑很小，且離得很近，電子不能四處移動(dòng)(圖2C)。因此，拓?fù)洳牧媳倔w部分是絕緣的，就像塑料或橡膠一樣(圖2A)。但是，在拓?fù)洳牧系谋砻?，電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)很特殊，可以沿邊緣移動(dòng)(圖2C)。這意味著拓?fù)浣^緣體的表面是導(dǎo)電的，就像金屬一樣(圖2B)。你可能會(huì)想，“好吧，這很酷，有什么用嗎？”直到今天，這個(gè)問題還在困擾著許多物理學(xué)家和計(jì)算機(jī)工程師。讓我們一窺可能的答案。圖2 絕緣體和導(dǎo)體
(A) 橡膠是絕緣體，不容易導(dǎo)電。(B) 金屬是導(dǎo)體，容易導(dǎo)電。(C) 拓?fù)浣^緣體具有特別的導(dǎo)電性質(zhì)，在內(nèi)部，電子做圓周運(yùn)動(dòng)（“局域化的”），行為類似絕緣體，在表面，電子可以自由移動(dòng)，表現(xiàn)得像導(dǎo)體（沿邊緣“巡游”）。
拓?fù)浣^緣體表面的導(dǎo)體狀態(tài)非常穩(wěn)定，經(jīng)得住材料的缺陷和擾動(dòng)。之所以具有韌性適應(yīng)力和穩(wěn)定性（可總稱為健壯性，或魯棒性），一個(gè)主要原因是，其特性往往依賴于整個(gè)系統(tǒng)，而不僅僅是系統(tǒng)的一小部分或特定位置的幾個(gè)原子。你可以把它看作是材料整體的集體現(xiàn)象。這意味著即使存在一些小的東西，比如材料中的局部缺陷，它仍然不會(huì)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)產(chǎn)生顯著影響，因此不會(huì)改變系統(tǒng)的拓?fù)鋺B(tài)[2]。 拓?fù)浣^緣體的健壯性使其可用于制造更好的計(jì)算機(jī)，因?yàn)樗阅芊€(wěn)定，而穩(wěn)定是計(jì)算元件(即計(jì)算機(jī)中執(zhí)行計(jì)算的元件)最基本的要求，因?yàn)槲覀兿Ｍ@些元件每次運(yùn)行能給出一樣的結(jié)果，并且盡可能少出錯(cuò)。因此，拓?fù)浣^緣體未來在改進(jìn)計(jì)算元件方面具有巨大的潛力。然而，實(shí)現(xiàn)這一具體技術(shù)應(yīng)用的過程，存在重大的技術(shù)挑戰(zhàn)，所以計(jì)算機(jī)真的用上拓?fù)浣^緣體，我們還有很長的路要走，但在未來可能會(huì)實(shí)現(xiàn)。現(xiàn)在，我將帶你進(jìn)一步深入拓?fù)洳牧系拿匀耸澜?，并向你展示我?duì)物理學(xué)中最奇特的現(xiàn)象之一——超流的解釋。
你知道嗎？有些液體可以克服重力，爬上玻璃器壁。這樣的流體被稱為超流體，這是流體在極低的溫度下表現(xiàn)出的非常奇怪的行為。 氦在常溫常壓下是氣體，很多會(huì)飛的氣球里就是充的氦氣（也有很多氣球充的是氫氣，不過氫氣不安全，易爆炸）。人吸入氦氣，嗓音會(huì)變得奇怪，像唐老鴨。氦有兩種同位素，即氦-4和氦-3。溫度非常低時(shí)，氣體氦會(huì)變成液體氦，溫度繼續(xù)降低到2.17 K(?270.98 °C)時(shí)，正常的液體氦-4就會(huì)變成超流氦-4。（氦-3在更低的溫度下也會(huì)表現(xiàn)出超流現(xiàn)象。）超流氦一旦開始流動(dòng)，就不會(huì)再停下來了。把超流氦放在敞口容器里，哪怕受到一點(diǎn)點(diǎn)擾動(dòng)而動(dòng)起來，它會(huì)沿著器壁爬上去，流到容器之外。這是我們?cè)谌粘Ｉ钪胁粫?huì)遇到的怪異的物理現(xiàn)象，引起科學(xué)家的極大興趣。1972年，三位物理學(xué)家發(fā)表了一項(xiàng)絕妙的實(shí)驗(yàn)[3]。他們將一個(gè)石英晶體置于氦氣中，通過調(diào)節(jié)氣體的壓強(qiáng)，改變吸附在石英晶體表面的氦的總量，從而形成了一層氦薄膜，只有兩到三個(gè)原子厚。石英晶體的固有振動(dòng)頻率與振動(dòng)晶體的總質(zhì)量有關(guān)，質(zhì)量越大，振動(dòng)頻率越小。當(dāng)一層薄薄的氦原子粘在晶體表面時(shí)，一個(gè)自然的想法是，這些原子會(huì)隨著晶體表面一起運(yùn)動(dòng)，它們唯一的效應(yīng)就是增加振動(dòng)物體的質(zhì)量，將略微降低其固有振動(dòng)頻率。用一個(gè)振動(dòng)帶動(dòng)一個(gè)物體振動(dòng)，當(dāng)外界的振動(dòng)的頻率與物體固有頻率相等時(shí)，振動(dòng)最強(qiáng)烈，這叫共振。物理學(xué)家對(duì)吸附有氦薄膜的石英晶體做共振實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)氣壓比較低、氦吸附量比較小時(shí)，共振頻率隨吸附量的增大而減小，與預(yù)期一樣。然而，隨著氣壓和氦吸附量的增加，共振頻率開始偏離預(yù)期，不再下降，而是升高(圖3A)，好像氦薄膜不再隨著晶體運(yùn)動(dòng)了。圖3 超流氦實(shí)驗(yàn)。
(A)低溫下，石英晶體吸附數(shù)層氦薄膜后，實(shí)測(cè)振動(dòng)頻率偏離預(yù)期值。縱坐標(biāo)吸附信號(hào)為振動(dòng)頻率的變化量，即無氦薄膜時(shí)的頻率減去有氦薄膜時(shí)的頻率，橫坐標(biāo)質(zhì)量表示吸附在晶體表面的氦的量。石英晶體吸附上正常態(tài)的氦，質(zhì)量增加，振動(dòng)頻率降低。但如果部分氦變成超流體，這部分氦不會(huì)增加石英晶體的質(zhì)量，因此振動(dòng)頻率的減小量比正常氦要小(改編自Chester et al.[3])。(B)實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)版[4]，可以進(jìn)行頻率更低的振動(dòng)，將一層聚酯塑料薄膜包在扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的石英棒上，He-4氣體吸附在塑料薄膜上，測(cè)量共振頻率和耗散。這個(gè)實(shí)驗(yàn)與前一個(gè)實(shí)驗(yàn)的原理相同，但測(cè)量結(jié)果更準(zhǔn)確和細(xì)致。幾年后，這個(gè)實(shí)驗(yàn)有了更復(fù)雜的版本。棒狀石英晶體外面又包了一圈塑料膜，(圖3B)，然后使其振動(dòng)起來，物理學(xué)家測(cè)量其頻率。增大振動(dòng)棒周圍氦氣的壓強(qiáng)，再次測(cè)量了石英棒的振動(dòng)頻率。當(dāng)氦原子與有吸附性的塑料表面相遇時(shí)，通常會(huì)吸附(鎖定)在塑料上，在棒周圍形成一層薄膜，并增加其質(zhì)量。結(jié)果，振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率有輕微的降低，與預(yù)期一致，因?yàn)橘|(zhì)量越大，振動(dòng)頻率越低。這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果最簡(jiǎn)單的解釋是，部分氦薄膜變成超流體后，它就不再粘在振動(dòng)物體上了。正常氦和超流氦之間的區(qū)別在于它們的流動(dòng)方式。正常氦會(huì)附著在它流過的任何東西上，這是由于一種叫做耗散的特性造成的。然而，超流氦自由流動(dòng)，沒有耗散，與其說是流動(dòng)，不如說是在“飛行”，只是飛得太低，盤旋在它所流經(jīng)的物體之上。這是一個(gè)開創(chuàng)性的實(shí)驗(yàn)，表明氦薄膜在低溫下會(huì)變成超流體。問題是，當(dāng)時(shí)還沒有理論可以解釋薄膜氦中這種行為的變化，即從正常液體到超流液體的轉(zhuǎn)變，這是一種相變，相變即系統(tǒng)的兩種狀態(tài)之間的突然切換，系統(tǒng)的性質(zhì)隨之發(fā)生變化。例如，液態(tài)水轉(zhuǎn)變?yōu)楣虘B(tài)冰。當(dāng)時(shí)的一個(gè)普適理論甚至預(yù)測(cè)，在那樣的實(shí)驗(yàn)條件下，這樣的相變不應(yīng)該發(fā)生，二維薄膜中不可能變成超流體。事實(shí)上，這個(gè)實(shí)驗(yàn)與一個(gè)廣被接受的原則相悖，這個(gè)原則與任何系統(tǒng)的低溫相的本質(zhì)相關(guān)。有一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定理表明，二維系統(tǒng)的低溫相在任何溫度下都不可能長程有序，即原子或分子不能在很遠(yuǎn)的距離內(nèi)都有規(guī)律地排列，這意味著在二維氦薄膜中不可能出現(xiàn)超流態(tài)。現(xiàn)在，實(shí)驗(yàn)和嚴(yán)格的理論有嚴(yán)重沖突，理論暗示薄膜中不可以出現(xiàn)超流態(tài)，而實(shí)驗(yàn)觀察卻恰恰相反。顯然，實(shí)驗(yàn)和理論，二者必有其一是錯(cuò)誤的或被錯(cuò)誤解釋的，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)清楚地表明，He-4薄膜可以發(fā)生相變，變成超流體。這就是我當(dāng)時(shí)的導(dǎo)師戴維·索利斯教授和我進(jìn)入這個(gè)領(lǐng)域的原因：我們要提出一種新理論，解釋氦薄膜在超流體和正常流體之間的相變，解決實(shí)驗(yàn)和理論之間的矛盾。
正如我前文所說，液氦有兩個(gè)相，正常相和超流相。正常流體在流動(dòng)時(shí)會(huì)伴隨耗散，這意味著它會(huì)與所流經(jīng)的表面相互作用，與之交換能量，并粘在上面。處于超流相的液氦自由流動(dòng)，沒有耗散，好像盤旋于它流經(jīng)的表面上一樣。為了理解正常氦和超流氦之間的相變，我們必須弄清楚耗散的機(jī)制。 后來發(fā)現(xiàn)，答案在一種特殊的結(jié)構(gòu)——渦旋(圖4)。由于量子力學(xué)上的原因，超流體中可以激發(fā)出一種渦旋，它是唯一能夠平息流動(dòng)的超流體的激發(fā)，這也能解釋，為什么石英振動(dòng)棒包不包聚酯塑料薄膜，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和理論解釋都是一樣的。聚酯塑料薄膜的唯一作用是它與渦旋之間的摩擦，但它對(duì)超流體沒有影響。為了簡(jiǎn)單起見，你可以把渦旋想象成打轉(zhuǎn)的流體，就像浴缸的塞子拔出來時(shí)流入下水口的水一樣。要理解這些事情，你必須學(xué)習(xí)很多物理知識(shí)，現(xiàn)在你只需要記住，這些超流體中的渦旋是唯一需要考慮的激發(fā)。在二維空間中，低溫下，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的渦旋與逆時(shí)針轉(zhuǎn)的渦旋結(jié)成對(duì)，當(dāng)溫度比較高時(shí)，成對(duì)的渦旋解體，變成兩個(gè)自由的渦旋，擴(kuò)散到流體的邊緣。這些渦旋以中性對(duì)形式形成，在極低溫度下，一個(gè)渦旋逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，另一個(gè)渦旋順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，但在較高溫度下，這些渦旋解綁定為兩個(gè)自由渦旋，漂移到流體邊緣，在那里消失不見，從而略微降低了超流體流動(dòng)的均勻性(圖4B)。這是在正常體流動(dòng)中進(jìn)行能量耗散的方式。由于液氦流動(dòng)的兩種狀態(tài)可以定義為兩種拓?fù)鋺B(tài)，液氦也被認(rèn)為是一種拓?fù)洳牧稀芟裎覀冎坝懻撨^的拓?fù)浣^緣體。圖4 液氦中的相變機(jī)制
(A)在超流氦中沒有渦旋，所以流體自由流動(dòng)，沒有耗散。(B)在正常氦中，成對(duì)的漩渦出現(xiàn)(上)并漂移到流體相對(duì)的兩個(gè)邊緣，在那里它們消失并釋放能量(下)。這一過程產(chǎn)生了耗散，并減慢流速，導(dǎo)致更多耗散。我們發(fā)現(xiàn)超流體系統(tǒng)的基本物理涉及渦旋的相互作用后，我們建立了一個(gè)數(shù)學(xué)模型來解釋液氦的相變，以及類似系統(tǒng)中的其他相變，準(zhǔn)確度非常高[4-7]。這是一個(gè)重要的進(jìn)展，使我們?cè)诶斫馔負(fù)洳牧系囊恍@人特性方面向前邁出了一大步。最后，我想就我對(duì)數(shù)學(xué)和物理的熱愛，以及如何生活得幸福，給年輕的讀者們談一點(diǎn)個(gè)人的看法。
可愛的符號(hào)：數(shù)學(xué)和物理之美我上學(xué)剛學(xué)代數(shù)時(shí)，我想:“哇，這是一種很棒的做事方式——比算術(shù)強(qiáng)得多!”因?yàn)榇鷶?shù)能讓我解決以前不容易解決的數(shù)學(xué)問題。這就像打開了一盞明燈，突然使各種各樣的事情成為可能！我立刻愛上了符號(hào)，因?yàn)閿?shù)學(xué)符號(hào)消除了很多混亂，讓事情變得簡(jiǎn)單。我知道并不是每個(gè)人都有這樣的看法，因?yàn)檫@取決于每個(gè)人的思考方式。但對(duì)我來說，處理符號(hào)和方程是有趣的和令人興奮的，直到今天我都很喜歡它。在某種程度上，對(duì)我來說，做物理就像攀巖——我的另一個(gè)愛好，置身于未知的地方，完全靠自己，自己對(duì)自己的行為負(fù)責(zé)，努力找到前進(jìn)的方向(圖5)。物理的優(yōu)點(diǎn)是，犯錯(cuò)的懲罰比攀巖輕！圖5 給青少年的一些建議
(A)使用符號(hào)和方程類似于攀巖。你出發(fā)探索未知的世界，自己對(duì)自己的行為完全負(fù)責(zé)，同時(shí)努力找到自己的方向。我覺得這很令人興奮。如何選擇你的職業(yè)你應(yīng)該做你喜歡和擅長的事情。無論做什么，都要做成你擅長的事情，這很重要，如果你擅長它，你可能就會(huì)喜歡做它。我還認(rèn)為，你應(yīng)該從你所做的事情中獲得樂趣，因?yàn)槿绻悴荒軓闹蝎@得樂趣并享受你的工作，那么它就不值得做。所以，這是我可以給年輕讀者的一條建議——過得快樂，因?yàn)槟阒挥幸淮紊豢鞓返纳畈恢档眠^。 詞匯表：拓?fù)洌簲?shù)學(xué)的一個(gè)分支領(lǐng)域，研究如何描述物體形狀變化。拓?fù)洳牧希盒再|(zhì)可以用拓?fù)鋵W(xué)描述的材料。拓?fù)浣^緣體：一種材料，同時(shí)是絕緣體和導(dǎo)體，內(nèi)部絕緣，表面導(dǎo)電。超流體：流動(dòng)無耗散（即不存在黏滯現(xiàn)象）的流體。振動(dòng)頻率：振動(dòng)物體——稱為振子——單位時(shí)間內(nèi)完成一次完全振動(dòng)的次數(shù)。耗散：系統(tǒng)損失的能量（比如摩擦產(chǎn)生的熱），這部分能量要回收過來，單能靠系統(tǒng)自己復(fù)原是做不到的，要額外注入能量才可以。相變：系統(tǒng)在兩種狀態(tài)之間的突變，系統(tǒng)性質(zhì)隨之而變，比如液態(tài)水變成固態(tài)冰就是一種相變。參考文獻(xiàn)：[1] Moore, J. E. 2010. The birth of topological insulators. Nature. 464:194–8. doi: 10.1038/nature08916[2] Qi, X. L. and Zhang, S. C. 2010. The quantum spin hall effect and topological insulators. arXiv preprint. arXiv:1001.1602. doi: 10.1063/1.3293411[3] Chester, M., Yang, L. C., and Stephens, J. B. 1972. Quartz microbalance studies of an adsorbed helium film. Phys. Rev. Lett. 29:211. doi: 10.1103/PhysRevLett.29.211[4] Bishop, D. J. and Reppy, J. D. 1978. Study of superfluid transition in 2-dimensional 4He films. Phys. Rev. Lett. 40:1727. doi: 10.1103/PhysRevLett.40.1727[5] Kosterlitz, J. M. and Thouless, D. J. 1973. Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems. J. Phys. C Solid State Phys. 6:1181. doi: 10.1088/0022-3719/6/7/010[6] Kosterlitz, J. M. 2016. Kosterlitz–Thouless physics: a review of key issues. Rep. Prog. Phys. 79:026001. doi: 10.1088/0034-4885/79/2/026001[7] Hadzibabic, Z., Krüger, P., Cheneau, M., Battelier, B., and Dalibard, J. 2006. Berezinskii–Kosterlitz–Thouless crossover in a trapped atomic gas. Nature. 441:1118–21. doi: 10.1038/nature04851關(guān)于Frontiers for Young Minds Frontiers for Young Minds 創(chuàng)刊于2013年，是瑞士Frontiers出版社專為孩子們創(chuàng)辦的科學(xué)期刊，也是Frontiers花費(fèi)多年心血培育的純公益項(xiàng)目。
它的運(yùn)作模式和科技期刊完全相同，旨在從青少年時(shí)代即培養(yǎng)孩子們的科學(xué)思維，并提供與世界一流科學(xué)家交流的機(jī)會(huì)。截至目前，有5,250名青少年審稿人參與評(píng)審，790位科學(xué)導(dǎo)師來指導(dǎo)他們的審稿流程。 Frontiers for Young Minds的1,000多篇文章已獲得2,700多萬次瀏覽和下載，擁有英語、希伯來語和阿拉伯語三個(gè)版本。期刊編輯委員會(huì)目前由來自64多個(gè)國家的科學(xué)家和研究人員組成。 Frontiers for Young Minds 的內(nèi)容包含了天文學(xué)和物理、生物多樣性、化學(xué)和材料、地球及其資源、人類健康、數(shù)學(xué)、神經(jīng)科學(xué)和心理學(xué)——以及即將推出的工程和技術(shù)相關(guān)學(xué)科。雖然期刊的讀者是青少年，但 Frontiers for Young Minds 中發(fā)表的所有研究都基于堅(jiān)實(shí)的循證科學(xué)研究。
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