提到最美麗的方程，很多人首先想到的可能是歐拉恒等式，

它是復(fù)分析中建立三角函數(shù)與復(fù)指數(shù)函數(shù)之間基本關(guān)系的數(shù)學(xué)公式。物理學(xué)家理查德·費(fèi)曼稱這個方程為“我們的寶石”和“數(shù)學(xué)中最卓越的公式”。數(shù)學(xué)中還有一個非常美麗的公式，但鮮為人知，它就是黎曼函數(shù)的函數(shù)式方程 （Riemann’s Functional Equation）。

在本文中，我將推導(dǎo)上述方程并了解其組成部分。為此，我們需要從更容易理解的地方開始。

方程的對稱性

什么是對稱？簡單說，一個物體（比方說一只花瓶或一張臉），如果從不同的角度去看，或者從鏡子里看，它的樣子保持不變，那么我們就說這個物體是對稱的。但怎樣才能把這種說法精確化呢？從不同的角度去看，它的樣子保持不變，這句話的確切含義是什么呢？想象在你面前有某個物體，這個物體繞某一條直線或某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了一下。這樣操作之后，這個物體的樣子是否與原來相同？如果相同，我們會說這個物體對于這種操作來說是“對稱”的。例如，取一個圓，讓它繞其圓心隨意地旋轉(zhuǎn)任何一個角度，結(jié)果得到的圖形都與它開始時的圖形完全相同。

方程也可以有對稱性。在等式中

我們稱左邊為Λ(s)。這個方程表明Λ(s) = Λ(1-s)。也就是說，通過用1-s替換s，我們“回到了起點(diǎn)”。這是反射對稱。所以黎曼函數(shù)式方程是關(guān)于對稱性的。更值得注意的是。這個方程顯示了Gamma函數(shù)和黎曼zeta函數(shù)之間的關(guān)系。

Gamma函數(shù)

Gamma函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的函數(shù)之一。從統(tǒng)計(jì)學(xué)和組合學(xué)到數(shù)論和物理學(xué)，gamma函數(shù)無處不在。它是由反常積分定義的，

其中z為Re(z) >0的復(fù)數(shù)。

Re（z）表示復(fù)數(shù)z的實(shí)部。

Gamma函數(shù)有自己的幾個函數(shù)式方程（functional equations），如

如果n是一個自然數(shù)，那么Γ(n) = (n-1)!，例如Γ(5) = 4!= 4?3?2?1 = 24。通過解析延拓，我們可以理解復(fù)平面上的Gamma函數(shù)，除了有單極點(diǎn)的非正整數(shù)。Gamma函數(shù)還有其他與之相關(guān)的重要的函數(shù)式方程，例如，著名的歐拉反射公式，

zeta函數(shù)

黎曼ζ函數(shù)是解析數(shù)論的明星。這個函數(shù)的零點(diǎn)的分布與素數(shù)的分布相關(guān)，因此我們對這個函數(shù)有極大的興趣。

當(dāng)復(fù)數(shù)s的實(shí)部大于1時，我們可以用無窮級數(shù)來定義zeta函數(shù)，

當(dāng)Re(s) < 1時，我們需要通過解析延拓得到另一個定義。它與質(zhì)數(shù)的聯(lián)系通過它的歐拉乘積表示為質(zhì)數(shù)的乘積就很清楚了，

泊松求和公式

這個公式值得專門寫一篇文章。這個定理指出

右邊的和是f的傅里葉變換在整數(shù)上的值。讓我們定義一個well-behaved函數(shù)f的傅里葉變換為積分，

這里的符號表示積分是從負(fù)無窮到正無窮。我們簡短地來證明泊松求和公式，我們只需證明下面等式即可，因?yàn)樵O(shè)x = 0就得到了上述公式，

首先，設(shè)f是一個具有定義良好的傅里葉變換的函數(shù)。然后，我們定義一個函數(shù)F

顯然，這個函數(shù)是有一個周期的周期函數(shù)，這意味著它有一個傅里葉級數(shù)。計(jì)算F的傅里葉系數(shù)，我們得到

現(xiàn)在，我們知道F等于它的傅里葉級數(shù)

這就是我們想要證明的。

Theta 函數(shù)

有一類重要的函數(shù)叫做雅可比函數(shù)。我們只需要研究其中的一個——最簡單、最經(jīng)典的一個。在本文中，我們用實(shí)函數(shù)來定義theta函數(shù)

請注意，k在整數(shù)上運(yùn)行，因此也可以寫成自然數(shù)上的級數(shù)，

我們把左邊的級數(shù)稱為ψ(x)，

在這種情況下，有一個簡單的關(guān)系θ(x) = 1 + 2 ψ(x)。這個函數(shù)的關(guān)鍵特征之一也是一個函數(shù)方程。這個函數(shù)是滿足的

為了證明這一點(diǎn)，我們將使用泊松求和公式。第一步是將下面的積分塑造成更易于處理的東西。我們有

看級數(shù)中的積分，我們可以做一個替換把它看作是復(fù)平面上的圍線積分。然后我們可以用柯西積分定理來證明它實(shí)際上等于沿著實(shí)線上平行路徑的積分。由此得到的高斯積分是一個經(jīng)典的高斯積分，在數(shù)學(xué)中隨處可見。也就是說，

把這個結(jié)果放到函數(shù)的泊松求和公式中，我們得到了想要的結(jié)果。這意味著，

黎曼函數(shù)方程

現(xiàn)在，我們將使用已經(jīng)建立的工具來證明函數(shù)方程，

首先，我們用替換的形式來定義函數(shù)，用參數(shù)s/2來寫它

其中我們需要Re(s) > 0，如上述定義?，F(xiàn)在我們做如下替換

得到

因?yàn)檫@對所有的自然數(shù)都成立，所以我們可以把兩邊的所有自然數(shù)相加得到

這就是上面的ζ函數(shù)和ψ函數(shù)。我們可以把它寫成

現(xiàn)在我們可以把積分拆分成兩個區(qū)間然后利用ψ函數(shù)的變換性質(zhì)，利用下面的性質(zhì)，

放大右邊兩個積分中的第一個，我們可以看到ψ的變換得到如下結(jié)果

現(xiàn)在我們可以做一個簡單的替換把兩個積分合二為一。得到的積分是

注意，右邊的表達(dá)式在s和1-s處的值是相同的。有時你會看到黎曼函數(shù)方程的形式略有不同。如果我們使用歐拉反射公式，我們可以得到一個正弦函數(shù)表示的因子

它清楚地表明黎曼ζ函數(shù)在負(fù)偶數(shù)上消失了，這要?dú)w功于正弦因子。它沒有在正偶數(shù)上消失的原因是它遇到了一個來自函數(shù)的極點(diǎn)。

最后

zeta函數(shù)有許多緊密相關(guān)的“表親”，叫做狄利克雷L函數(shù)。它們非常相似，最簡單的函數(shù)就是黎曼zeta函數(shù)本身。它們都可以被定義為一個級數(shù)和一個歐拉積。他們滿足

更詳細(xì)的討論超出了本文的范圍，但看看與上面的黎曼函數(shù)方程的相似性。因子包含一個所謂的高斯和。關(guān)于這個一般結(jié)果的美妙之處在于，它適用于黎曼zeta函數(shù)以及上面提到的所有密切相關(guān)的表親。

它們都有這種對稱性，它們都被期望滿足黎曼假設(shè)，即它們所有的非平凡零點(diǎn)都在對稱線上。在zeta函數(shù)的情況下，對稱線是垂直線Re(s) = 1/2，也稱為臨界線。