我們知道，語(yǔ)言的讀寫能力是非常重要的。一個(gè)文盲是沒(méi)有讀寫能力的，或者只會(huì)寫自己的名字。他很難在社會(huì)上找到重要的工作?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)的讀寫能力，也就是量的讀寫能力正在提到我們的眼前，現(xiàn)代社會(huì)的許多信息是用量的方式提供的；因而作為一個(gè)現(xiàn)代人，用量的方式去思維，去推理和判斷成為一種基本能力。1999年美國(guó)出版了一本教材名叫“應(yīng)用與理解數(shù)學(xué)”在此書的第三頁(yè)列出了一張就業(yè)表，其中包含兩種能力：英語(yǔ)與數(shù)學(xué)(表中只摘錄了其中一部分)。

整個(gè)人類文明的歷史就像長(zhǎng)江的波浪一樣，一浪高過(guò)一浪，滾滾向前?？茖W(xué)巨人們站在時(shí)代的潮頭，以他們的勇氣、智慧和勤奮把人類的文明從一個(gè)高潮推向另一個(gè)高潮。我們認(rèn)為，整個(gè)人類文明可以分為三個(gè)鮮明的層次。

1) 以鋤頭為代表的農(nóng)耕文明；

2) 以大機(jī)器流水線作業(yè)為代表的工業(yè)文明；

3）以計(jì)算機(jī)為代表的信息文明。

數(shù)學(xué)在這三個(gè)文明中都是深層次的動(dòng)力，其作用一次比一次明顯。

數(shù)學(xué)在人類文明中一直是一種主要的文化力量。數(shù)學(xué)不僅在科學(xué)推理中具有重要的價(jià)值，在科學(xué)研究中起著核心的作用，在工程設(shè)計(jì)中必不可少。而且，在西方，數(shù)學(xué)決定了大部分哲學(xué)思想的內(nèi)容和研究方法，摧毀和構(gòu)造了諸多宗教教義，為政治學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)提供了依據(jù)，塑造了眾多流派的繪畫、音樂(lè)、建筑和文學(xué)風(fēng)格，創(chuàng)立了邏輯學(xué)。作為理性的化身，數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到以前由權(quán)威、習(xí)慣、風(fēng)俗所統(tǒng)治的領(lǐng)域，并成為其思想和行動(dòng)的指南。

人類歷史上的每一個(gè)重大事件的背后都有數(shù)學(xué)的身影：哥白尼的日心說(shuō)，牛頓的萬(wàn)有引力定律，無(wú)線電波的發(fā)現(xiàn)，三權(quán)分立的政治結(jié)構(gòu)，一夫一妻的婚姻制度，愛(ài)因斯坦的相對(duì)論，孟德?tīng)柕倪z傳學(xué)，巴貝奇的計(jì)算機(jī)，馬爾薩斯的人口論，達(dá)爾文的進(jìn)化論，達(dá)·芬奇的繪畫，巴赫的12平均率，晶體結(jié)構(gòu)的確定，雙螺旋疑結(jié)的打開(kāi)等都與數(shù)學(xué)思想有密切聯(lián)系。

但是，要說(shuō)清楚數(shù)學(xué)的中心作用，必須從根談起，必須從古希臘談起。

古希臘對(duì)數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn)是，

第一，對(duì)自然哲學(xué)的貢獻(xiàn)。它留給我們一個(gè)堅(jiān)強(qiáng)的信念：自然數(shù)是萬(wàn)物之母，即宇宙規(guī)律的核心是數(shù)學(xué)。這個(gè)信念鼓舞人們將宇宙間一切現(xiàn)象的終極原因找出來(lái)，并將它數(shù)量化。

第二，對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的貢獻(xiàn)。他們將數(shù)和形抽象化，并堅(jiān)持演繹證明。這樣，數(shù)學(xué)科學(xué)誕生了。并由此它孕育了一種理性精神，這種精神現(xiàn)在已經(jīng)滲透到人類知識(shí)的一切領(lǐng)域。

第三，對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的貢獻(xiàn)。主要表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：1)無(wú)理數(shù)的誕生引出了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，數(shù)學(xué)由此走上了公理化的道路。對(duì)數(shù)學(xué)的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響。2)它給出一個(gè)樣板——?dú)W幾里得幾何。這個(gè)樣板的光輝照亮了人類文化的每個(gè)角落；3)它研究了圓錐曲線，為日后天文學(xué)的研究和拋射體的研究奠定了基礎(chǔ)。

素質(zhì)課的教學(xué)與通常數(shù)學(xué)課的教學(xué)有何不同？

首先：教學(xué)對(duì)象的差異大大地?cái)U(kuò)大了，學(xué)生來(lái)自全校不同的系，不同的年級(jí)，甚至還有研究生，追求不同，基礎(chǔ)差異空前地大。

其次，教學(xué)內(nèi)容的多元化。不再是單科講授，對(duì)教師的要求提高了。

第三，必須考慮貫通教育。統(tǒng)選課必須考慮到從中學(xué)到大學(xué)的過(guò)渡，從專業(yè)教育到素質(zhì)教育的過(guò)渡。

因而對(duì)素質(zhì)教育統(tǒng)選課的教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)方法，教學(xué)規(guī)律應(yīng)予探討。

素質(zhì)教育課在文化這一更加廣闊的背景下討論數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)的作用以及數(shù)學(xué)的價(jià)值，從歷史的文化的和哲學(xué)的高度鳥(niǎo)瞰數(shù)學(xué)的全貌。

首先是歷史的。如果我們不知道我們從哪里來(lái)，那么我們也就不知道到哪里去。而且，“一門科學(xué)的歷史是那門科學(xué)中最寶貴的一部分，因?yàn)榭茖W(xué)只能給我們知識(shí)，而歷史卻能給我們智慧”。所以我們要講一點(diǎn)歷史。并且，將力量集中在劃時(shí)代學(xué)科的誕生與重要概念的發(fā)展上，考察數(shù)學(xué)科學(xué)的演變，并給出評(píng)價(jià)與展望，而不去過(guò)多地涉及細(xì)節(jié)。

其次，我們要講述數(shù)學(xué)與各種文化的交互影響，從中認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是理解當(dāng)今世界的一把大鑰匙，任何學(xué)科都離不開(kāi)它。并將闡述數(shù)學(xué)與人文科學(xué)的聯(lián)系。因?yàn)槟壳斑@方面的論述比較少。同時(shí)也講述其他科學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響。

第三是哲學(xué)的。我們要貫穿一種探索精神，研究治學(xué)之道。我們知道，正確的思考比正確的結(jié)論更重要。通過(guò)素質(zhì)課，我們和學(xué)生一起研究如何構(gòu)建自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

素質(zhì)課與一般課確有差別，我們要注意到下面提到的三個(gè)層面，處理好這一對(duì)矛盾，追求真善美。

2.3.1 三個(gè)層面

數(shù)學(xué)有三個(gè)層面：作為理論思維的數(shù)學(xué)；作為技術(shù)應(yīng)用的數(shù)學(xué)；作為文化修養(yǎng)的數(shù)學(xué)。這三個(gè)層次對(duì)不同的人有不同的含義和不同的用場(chǎng)。從事數(shù)學(xué)研究的人，以理論層面為主，強(qiáng)調(diào)歸納與演繹。從事工程的人以技術(shù)層面為主，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用與計(jì)算。從事人文科學(xué)的人以文化層面為主，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在人類文明中的作用。

2.3.2 知識(shí)與智慧

教育的本質(zhì)是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的藝術(shù)：教育的中心問(wèn)題是如何使知識(shí)保持活力，使學(xué)生在知識(shí)增加的同時(shí)，智力獲得同步增長(zhǎng)。這就是古人講的“積學(xué)以儲(chǔ)寶，酌理以富才”。教師應(yīng)當(dāng)是思想活躍的“活人”，而不是被書本牽著走的機(jī)器。傳授知識(shí)是課程的目標(biāo)之一，但課程還有更重要的目標(biāo)——開(kāi)發(fā)智力，增加智慧。沒(méi)有知識(shí)作基礎(chǔ)，人不可能聰明；但有很多知識(shí)也可以不聰明，智慧是掌握知識(shí)的方法.教育與工廠不同，工廠處理死的物質(zhì)，教育是開(kāi)發(fā)人的心智。懷特海說(shuō)：“把人當(dāng)作工具是教育理論中最致命、最危險(xiǎn)、最錯(cuò)誤的概念之一?！?/p>

2.3.3 科學(xué)、應(yīng)用和藝術(shù)——真善美

一個(gè)完整的素質(zhì)教育統(tǒng)選課應(yīng)包含三個(gè)方面：科學(xué)、應(yīng)用和藝術(shù)?？茖W(xué)在于求真，培養(yǎng)學(xué)生追求真理的勇氣，求實(shí)的精神和嚴(yán)密的邏輯思維能力和創(chuàng)新的能力。應(yīng)用在于培養(yǎng)學(xué)生活用知識(shí)的能力，使他們能在自己的專業(yè)中使用數(shù)學(xué)的思想和方法，掌握量的思維方式。藝術(shù)的作用在于培養(yǎng)學(xué)生的想象力、審美力和創(chuàng)造力，并使學(xué)生擁有豐富的個(gè)性。

3.1.1 歷史與邏輯相結(jié)合

數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展與本身的邏輯體系不是一回事。例如，微積分的講授順序是：實(shí)數(shù)——極限—— 微商 —— 積分。這與微積分的發(fā)展史恰恰相反，講清這對(duì)矛盾的關(guān)系，有助于理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

3.1.2 數(shù)與形相結(jié)合

數(shù)學(xué)的兩大主干是幾何與代數(shù)，提供了兩種不同的思維方式，其特點(diǎn)為

幾何：空間形式的科學(xué)，視覺(jué)思維占主導(dǎo)，培養(yǎng)直覺(jué)能力，培養(yǎng)邏輯推理能力，培養(yǎng)洞察力；

代數(shù)：數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，有序思維占主導(dǎo)，培養(yǎng)符號(hào)運(yùn)算能力。

認(rèn)清幾何與代數(shù)的基本特征對(duì)學(xué)好以后的課會(huì)有很大幫助.講數(shù)學(xué)課，應(yīng)當(dāng)將數(shù)和形結(jié)合起來(lái)，使兩種思維的優(yōu)點(diǎn)都能發(fā)揮出來(lái)。

關(guān)于數(shù)和形的關(guān)系，華羅庚先生寫過(guò)一首詞：

數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。

數(shù)缺形時(shí)少知覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。

數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非。

切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，

永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離。

例1. 自然數(shù)的平方和

3.1.3 理論與應(yīng)用相結(jié)合

課上既講理論又講應(yīng)用，要求學(xué)生既學(xué)理論又自己找應(yīng)用。我們?cè)黾恿藬?shù)學(xué)與人文科學(xué)的結(jié)合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)的結(jié)合，因?yàn)檫@方面的應(yīng)用過(guò)去講得少。例如，在課上我們介紹了數(shù)學(xué)與西方政治，透視畫與射影幾何，音樂(lè)之聲與傅立葉分析等有關(guān)應(yīng)用，學(xué)生對(duì)這些內(nèi)容十分感興趣。課后學(xué)生結(jié)合自己的專業(yè)寫出了很好的論文：將你的心靈數(shù)字化(心理系)：數(shù)學(xué)在語(yǔ)言學(xué)中的應(yīng)用(英文系)，數(shù)學(xué)分析在國(guó)際關(guān)系中的應(yīng)用(國(guó)際關(guān)系學(xué)院)；地圖、數(shù)學(xué)、數(shù)字地球(地球與空間科學(xué)學(xué)院)等。

例3 自然數(shù)的平方和。

先讓我們來(lái)構(gòu)筑這樣的一個(gè)點(diǎn)陣：

在距原點(diǎn)O長(zhǎng)度為1處放置1個(gè)單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)，在長(zhǎng)度為2處放置2個(gè)單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)……在距原點(diǎn)長(zhǎng)度為n處放置n個(gè)單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)。則該點(diǎn)陣相對(duì)于原點(diǎn)的重力矩為

3.1.4 科學(xué)結(jié)論與方法論相結(jié)合

具體到數(shù)學(xué)上，科學(xué)結(jié)論就是定理，科學(xué)方法就是怎樣發(fā)現(xiàn)定理，怎樣證明定理，怎樣理解定理，怎樣推廣定理和怎樣應(yīng)用定理。證明定理主要用演繹法。發(fā)現(xiàn)定理和推廣定理主要用到歸納和類比。將科學(xué)結(jié)論與方法相結(jié)合起來(lái)才會(huì)使學(xué)生建立完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

3.2.1 以簡(jiǎn)馭繁

我們主要講笛卡兒的方法。在科學(xué)史上做出創(chuàng)造性工作的科學(xué)家很多，但是，他們的創(chuàng)造性工作是如何完成的呢？如何做就能得到創(chuàng)造性的成果呢？迄今為止，對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行過(guò)深刻地自我反省，并將自己的觀察結(jié)果留給后人的情況幾乎沒(méi)有。笛卡兒對(duì)這些問(wèn)題的自我考察作為非常珍貴的資料保存了下來(lái)。

笛卡兒是近代思想的開(kāi)山祖師，他所處的時(shí)代正是近代科學(xué)革命的開(kāi)始，是一個(gè)涉及到方法的偉大時(shí)期，在這個(gè)時(shí)代，人們認(rèn)為，發(fā)展知識(shí)的原理和程序比智慧和洞察力更重要。方法容易使人掌握，而且一旦掌握了方法，任何人都可以作出發(fā)現(xiàn)或找到新的真理。這樣，真理的發(fā)現(xiàn)不再屬于具有特殊才能或超常智慧的人們，笛卡兒在介紹他的方法時(shí)說(shuō)：“我從來(lái)不相信我的腦子在任何方面比普通人更完善?！?/p>

他列出四條原則。這四條是最先完整表達(dá)的近代科學(xué)的思想方法。其大意是：

這四大原則對(duì)研究任何一門學(xué)科都有不容忽視的指導(dǎo)作用。笛卡兒一針見(jiàn)血地指出：“不可以從龐大暖昧的事物中，只可以從最容易碰見(jiàn)的容易事物中演繹出最隱秘的真知本身”。他還說(shuō)：“當(dāng)我們運(yùn)用心靈的目光的時(shí)候，正是把它同眼睛加以比較的，因?yàn)橄胍谎郾M收多個(gè)對(duì)象的人是什么也看不清楚的，同樣，誰(shuí)要是習(xí)慣用一次思維行動(dòng)同時(shí)注意多個(gè)事物，其心靈也是混亂的。”所以當(dāng)我們進(jìn)行一項(xiàng)科學(xué)研究時(shí)，必須首先明確我們的目標(biāo)，然后把研究對(duì)象分成若干環(huán)環(huán)相扣的簡(jiǎn)單事物，在理性之光的指引下，找到這些細(xì)分小單位的由簡(jiǎn)至繁的順序，最后從最直觀，最簡(jiǎn)單的對(duì)象入手，依照一條條理清晰的道路直搗真理之本蒂。總之，笛卡兒給出一條由簡(jiǎn)入繁的路，告訴我們?nèi)绾我院?jiǎn)馭繁.用老子的話總結(jié)，就是“天下之難作于易，天下之大作于細(xì)”。

3.2.2 審?fù)q異，即同中觀異，異中觀同

異中觀同就是抓住本質(zhì)，抓住共性.領(lǐng)域不管相隔多遠(yuǎn)，外表有多大不同，實(shí)質(zhì)可能是一樣的。實(shí)質(zhì)認(rèn)的越清楚，作出新發(fā)明的可能就越大。例如，龐加萊對(duì)Fuchs群的研究，高斯對(duì)數(shù)論的研究。最近的例子是，1998年8月號(hào)的《科學(xué)的美國(guó)人》刊登了阿德?tīng)柭囊黄恼隆蹲孌NA作計(jì)算》。

阿德?tīng)柭鼘懙溃骸拔艺芍鴩@服于這個(gè)令人驚奇的酶，并且突然為它們與圖靈發(fā)明的機(jī)器之相似而大為震動(dòng)”。想到這一點(diǎn)使他“徹夜難眠，想辦法讓DNA作計(jì)算?！边@就是DNA計(jì)算機(jī)的發(fā)明。

另一方面是同中觀異。恩格斯說(shuō)：“從不同觀點(diǎn)觀察同一對(duì)象···殆已成為馬克思的習(xí)慣?！狈▏?guó)雕塑家羅丹說(shuō)：“所謂大師就是這樣的人。人們用自己的眼睛去看別人見(jiàn)過(guò)的東西，在別人司空見(jiàn)慣的東西上能夠發(fā)現(xiàn)出美來(lái)?！蹦岵烧f(shuō)：“獨(dú)創(chuàng)性——并不是首次觀察某種新事物，而是把舊的、很早就已知的、或者人人都視而不見(jiàn)的事物當(dāng)作新事物觀察。這才證明是真正有獨(dú)創(chuàng)性的頭腦?！彼员仨氂?xùn)練自己的觀察力和對(duì)事物的敏感度，否則只能停留在常人水平。例如，對(duì)方程式

3.2.3 判美析理

這四個(gè)字取自莊子的“判天地之美，析萬(wàn)物之理”。

析理。講析理一要講好定理，二要分析概念。前面講了定理，這里講概念。講概念除了講一個(gè)概念的內(nèi)涵和外延外，如果必要，還應(yīng)該講一點(diǎn)概念史。例如，在解釋函數(shù)定義時(shí)(即講函數(shù)的外延)常使用狄里赫勒函數(shù)。這個(gè)函數(shù)一無(wú)圖形，二無(wú)公式。它的意義何在?這個(gè)函數(shù)恰恰是從古典分析到現(xiàn)代分析的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。在此以前，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造函數(shù)是為了研究客觀世界，狄里赫勒函數(shù)不是，它不反映任何客觀規(guī)律。這是學(xué)生在學(xué)微積分時(shí)遇到的第一個(gè)怪函數(shù)，怪在什么地方？為什么要研究它？把這些問(wèn)題說(shuō)清楚了，學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)，乃至數(shù)學(xué)的本質(zhì)都會(huì)有新的理解。

這里順便提提Atiyah給數(shù)學(xué)下的一個(gè)定義：數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，是一門發(fā)展概念和技巧以使人們更為輕快地前進(jìn)，從而避免蠻力計(jì)算的藝術(shù)。

判美。析理講好了，判美自然就出來(lái)了。數(shù)學(xué)理論體現(xiàn)了真與美的結(jié)合。希臘箴言說(shuō)，美是真理的光輝。因而追求美就是追求真。著名物理學(xué)家海森堡說(shuō)：“當(dāng)大自然把我們引向一個(gè)前所未見(jiàn)的和異常美麗的數(shù)學(xué)形式時(shí)，我們不得不相信它們是真的，它們揭示了大自然的奧秘?！敝麛?shù)學(xué)家魏爾說(shuō)：“我的工作總是盡力把真和美統(tǒng)一起來(lái)，但當(dāng)我必須在兩者中挑選一個(gè)時(shí)，我通常選擇美。”美常常是科學(xué)研究的第一標(biāo)準(zhǔn)。

3.2.4 鑒賞力

鑒別真與假，好與壞，美與丑，重要與不重要，基本與非基本，非常重要。有鑒別力的學(xué)生會(huì)區(qū)分主次，自然學(xué)得好。鑒賞力可以在教學(xué)過(guò)程中逐漸加以培養(yǎng)。如何培養(yǎng)？前面幾條都起作用。在數(shù)學(xué)課程的講述中，加強(qiáng)“點(diǎn)評(píng)”。使學(xué)生

弄花香滿衣，點(diǎn)評(píng)得好，鑒賞力就在其中了。

首先，數(shù)學(xué)的抽象性幫助我們抓住事物的共性和本質(zhì)。例如，建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程就是一個(gè)科學(xué)抽象的過(guò)程。它要求人們善于把問(wèn)題中的次要因素、次要關(guān)系、次要過(guò)程先撇在一邊，抽出主要因素、主要關(guān)系和主要過(guò)程，而后化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。這種方法可以用于數(shù)學(xué)以外。

此外，數(shù)學(xué)的抽象性使得數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決伴隨著困難。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，使學(xué)生體驗(yàn)到挫折和失敗，而這正是砥礪意志打磨心理品質(zhì)的絕好時(shí)機(jī)。愈挫愈奮，百折不撓的良好心理素質(zhì)不會(huì)在溫室中形成。如果學(xué)生在學(xué)校里沒(méi)有嘗盡為求解問(wèn)題而奮斗的喜怒哀樂(lè)，那么數(shù)學(xué)教育就在一個(gè)重要的地方失敗了。

其次，數(shù)學(xué)賦予知識(shí)以邏輯的嚴(yán)密性和結(jié)論的可靠性。愛(ài)因斯坦說(shuō)：“為什么數(shù)學(xué)比其它一切科學(xué)受到特殊的尊重？一個(gè)理由是，它的命題是絕對(duì)可靠的和無(wú)可爭(zhēng)辯的，而其它一切科學(xué)的命題在某種程度上都是可爭(zhēng)辯的，并且經(jīng)常處于被新發(fā)現(xiàn)的事物推翻的危險(xiǎn)之中?！ぁぁ?shù)學(xué)之所以有高聲譽(yù)，還有一個(gè)理由，那就是數(shù)學(xué)給精密自然科學(xué)以某種程度的可靠性，沒(méi)有數(shù)學(xué)，這些科學(xué)是達(dá)不到這種可靠性的?！?/p>

數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性和精確性可以使學(xué)生在將來(lái)的工作中減少隨意性。英國(guó)律師至今要在大學(xué)中學(xué)習(xí)許多數(shù)學(xué)知識(shí)，并不是律師工作要多少數(shù)學(xué)，而是出于這樣一種考慮：經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練可以使人養(yǎng)成一種獨(dú)立思考而又客觀公正的辦事風(fēng)格和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)術(shù)品格。數(shù)學(xué)教育是培養(yǎng)學(xué)生誠(chéng)信觀念的重要渠道之一。在數(shù)學(xué)課上形成的誠(chéng)信觀是持久的，根深蒂固的；前蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)家辛欽說(shuō)：“數(shù)學(xué)教學(xué)一定會(huì)慢慢地培養(yǎng)青年人樹(shù)立起一系列具有道德色彩的特性，這種特性中包括正直和誠(chéng)實(shí)?！?/p>

再次，數(shù)學(xué)是思想的體操。進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)和演算是鍛煉思維的智力操。這種鍛煉能夠增強(qiáng)思維本領(lǐng)，提高抽象能力、邏輯推理能力和辨證思維能力，培養(yǎng)思維的靈活性和批判性。思維的靈活性表現(xiàn)在不受思維定式的束縛，能迅速地調(diào)整思維方向，善于從舊的或傳統(tǒng)的思維軌道上跳出來(lái)，另辟蹊徑。數(shù)學(xué)中的一題多解是培養(yǎng)思維靈活性的有效途徑。思維的批判性指，對(duì)論證和解答提出自己的看法。數(shù)學(xué)中常用的反證法和構(gòu)造反例是思維批判性的具體表現(xiàn)。

數(shù)學(xué)不僅僅是一種工具，它更是一個(gè)人必備的素養(yǎng)。它會(huì)影響一個(gè)人的言行、思維方式等各個(gè)方面。一個(gè)人，如果他不是以數(shù)學(xué)為終生職業(yè)，那么他的數(shù)學(xué)素養(yǎng)并不只表現(xiàn)在他能解多難的題，解題有多快，數(shù)學(xué)能考多少分，關(guān)鍵在于他是否真正領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)的思想，數(shù)學(xué)的精神，是否將這些思想融會(huì)到他的日常生活和言行中去。日本的米山國(guó)藏說(shuō)：“我搞了多年的數(shù)學(xué)教育，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們?cè)诔踔?、高中接受的?shù)學(xué)知識(shí)因畢業(yè)進(jìn)入了社會(huì)后，幾乎沒(méi)有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用這些作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，所以通常是出校門不到一、兩年就很快忘掉了。然而，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，惟有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神，數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法和著眼點(diǎn)等，都隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生?！?/p>

數(shù)學(xué)還有另外的作用。數(shù)學(xué)家狄爾曼說(shuō)：“數(shù)學(xué)能集中、強(qiáng)化人們的注意力，能夠給人以發(fā)明創(chuàng)造的精細(xì)和謹(jǐn)慎的謙虛精神，能夠激發(fā)人們追求真理的勇氣和信心，···數(shù)學(xué)更能鍛煉和發(fā)揮人們獨(dú)立工作精神。.”

N.布特勒說(shuō)：“現(xiàn)代數(shù)學(xué)，這個(gè)最令人驚嘆的智力創(chuàng)造，已經(jīng)使人類心靈的目光穿過(guò)無(wú)限的時(shí)間，使人類心靈的手延伸到了無(wú)邊無(wú)際的空間?！?/p>

數(shù)學(xué)已成為現(xiàn)代人的基本素養(yǎng)。