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顧志能 浙江省杭州市濱江區(qū)教育研究院 倪森鶴 浙江省杭州二中白馬湖學(xué)校 【摘 要】小學(xué)階段“圖形的運動”涉及平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、放大（縮?。┑戎R。學(xué)生不把軸對稱看作是圖形運動的方式，是因為受到相關(guān)數(shù)學(xué)名詞的干擾和教材編排帶來的影響。教師要準(zhǔn)確把握軸對稱知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)，基于現(xiàn)有教材創(chuàng)新教學(xué)思路，初次教學(xué)時引入“翻折”，再次教學(xué)時強(qiáng)調(diào)“找點”，綜合練習(xí)時引導(dǎo)“建聯(lián)”。如此，能讓軸對稱知識的教學(xué)彰顯本質(zhì)，并使學(xué)生充分體驗和深刻理解，實現(xiàn)認(rèn)知的切實提升。 【關(guān)鍵詞】軸對稱；軸對稱圖形；圖形的運動；翻折 圖形的運動，又稱圖形的變換，小學(xué)階段主要涉及平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、放大（縮?。┑戎R，前三者是全等變換，后者是相似變換。關(guān)于軸對稱知識，教材體系很清晰，但學(xué)生對此的認(rèn)識卻并不清楚。比如在六年級總復(fù)習(xí)時，倘若問學(xué)生“我們學(xué)過哪些圖形運動的知識”，學(xué)生往往會說“有平移和旋轉(zhuǎn)”，而不太會講到軸對稱和放大（縮?。?。不把放大（縮?。┛闯蓤D形運動的方式，尚可理解，因為相似變換與人們?nèi)粘Α斑\動”的認(rèn)識存在一些差異。但是，與平移、旋轉(zhuǎn)一樣，同是全等變換的軸對稱，學(xué)生也沒把它看作是圖形運動的方式，這個現(xiàn)象值得我們深思。事實上，不僅學(xué)生如此，有些教師對軸對稱知識也認(rèn)識模糊。曾多次遇到教師的表達(dá)存在疑義——“軸對稱，就是畫出一幅圖形的另一半”，這跟運動有什么關(guān)系？平移、旋轉(zhuǎn)是在運動，但軸對稱哪里有運動呢？還有教師存在這樣的誤解——在判斷一個圖形是否為軸對稱圖形時，都是采用“對折、重合”的方式，所以“對折”就是軸對稱中的運動。軸對稱中的運動，究竟是怎么回事？師生為什么會產(chǎn)生認(rèn)識上的模糊？在小學(xué)階段怎樣教好這塊知識？本文嘗試圍繞這三個問題進(jìn)行闡述。軸對稱知識的數(shù)學(xué)本質(zhì) 現(xiàn)實世界中，物體發(fā)生運動和變化，是常見的現(xiàn)象。從數(shù)學(xué)的角度看，物體的運動和變化，都可以抽象為圖形的變換。在幾何學(xué)中，我們把幾何圖形按照某種法則或規(guī)律變成另一個幾何圖形的過程叫作圖形變換。如規(guī)定平面上任意一點P，如果P與其對應(yīng)點P′所連線段PP′被給定直線l垂直平分，這樣的變換就叫作軸對稱變換，也叫軸反射變換（如圖1），簡稱軸對稱或軸反射。不同的法則會產(chǎn)生不同的變換，如平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、相似變換等。限于篇幅，本文不細(xì)述各種法則，讀者可自行查閱相關(guān)資料。圖形是點的集合，任意一個圖形的變換，本質(zhì)上都是點的變換（或者說點集的映射）。如圖2所示，△ABC軸對稱變換為△A′B′C′，實際上就是所有的點同時進(jìn)行軸對稱變換。點的變換，在數(shù)學(xué)上被稱之為“運動”，因此“圖形的變換”也被叫作“圖形的運動”。從上文可知，軸對稱與平移、旋轉(zhuǎn)一樣，都是圖形變換（運動）的方式，雖然方式不同，但其內(nèi)在本質(zhì)相同——都是點的變換（運動）。若站在生活經(jīng)驗的角度來看待這三種運動，常會讓人感到有些“差異”。因為一個圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)，它們都是在一個平面內(nèi)運動（滑動、轉(zhuǎn)動），這樣的現(xiàn)象在生活中比較常見，比較符合人們對運動的常規(guī)理解。而軸對稱似乎不是在一個平面上運動，如果非得要找尋生活經(jīng)驗作支撐，那就需要人們改變思維方式，把看待運動的視野從平面拓展到立體，才能找到對應(yīng)的實例——將整個圖形翻折過來（即沿著對稱軸在空間內(nèi)翻轉(zhuǎn)180°）。所以，從生活經(jīng)驗和學(xué)習(xí)心理的角度來看，軸對稱相比平移、旋轉(zhuǎn)，要略抽象和復(fù)雜一些，由此開展的學(xué)習(xí)自然也會曲折一些。（一）較多的相關(guān)數(shù)學(xué)名詞產(chǎn)生干擾師生認(rèn)識上的模糊，跟軸對稱知識中相關(guān)數(shù)學(xué)名詞比較多、容易混淆有關(guān)系。上文中已經(jīng)說到了好幾個數(shù)學(xué)名詞：軸對稱、軸對稱變換、軸對稱運動。事實上，我們還經(jīng)常聽到對稱軸、軸對稱圖形、兩個圖形成軸對稱等數(shù)學(xué)名詞。這里，有必要把幾個數(shù)學(xué)名詞再理一理。軸對稱是軸對稱變換（軸對稱運動）的簡稱，表達(dá)的是一種特定的運動法則。這個詞語如果換作更具動詞特征的“反射”，也許會更有利于人們理解和表達(dá)。事實上，在數(shù)學(xué)的專業(yè)領(lǐng)域，較多采用的是“反射”這個詞語，參見各種作圖軟件中的操作菜單。而軸對稱圖形，它是指若關(guān)于一個圖形，存在這樣一條直線，使這個圖形上的每個點關(guān)于這條直線的對稱點仍是這個圖形上的點，則稱這個圖形關(guān)于這條直線對稱，或稱這個圖形是軸對稱圖形。這個說法比較抽象，簡單地說，此處的“軸對稱”三個字，是一個定語，用其刻畫了這個圖形的性質(zhì)（特征）。如長方形、等腰三角形等，都具有“軸對稱”的特征，所以都叫作軸對稱圖形。（注意：從定義可見，軸對稱圖形一般是指一個圖形。但是，當(dāng)兩個圖形有軸對稱關(guān)系時，如果把它們合起來看成一個整體的話，這個圖形也是一個軸對稱圖形，如圖2中兩個三角形組成的圖形。）從上一段話中也可以看到，兩個圖形成軸對稱，無非就是在表達(dá)兩個圖形之間存在著的一種位置關(guān)系——軸對稱的關(guān)系。因此，筆者猜測，部分師生沒有認(rèn)識到軸對稱是一種運動方式，這與現(xiàn)實中人們常常把軸對稱圖形和軸對稱變換都簡單地稱為“軸對稱”有關(guān)?？梢约傧?，描述這個知識時，人們?nèi)粢?guī)定這種變換一律叫“反射變換”，簡稱“反射”（即把作為動詞的“軸對稱”說法忽略），而形成的圖形叫作“軸對稱圖形”，混淆也許就可以避免。當(dāng)前的教材編排，遵循了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的課程內(nèi)容，第一學(xué)段是“感受軸對稱現(xiàn)象”“通過觀察、操作，初步認(rèn)識軸對稱圖形”，第二學(xué)段則是“進(jìn)一步認(rèn)識軸對稱圖形……能在方格紙上補(bǔ)全一個簡單的軸對稱圖形”。這樣的編排思路，導(dǎo)致小學(xué)生把軸對稱與平移、旋轉(zhuǎn)“差別對待”。如果分析教材的編排，我們可以清晰地看到這種“差別”是如何產(chǎn)生的。以人教版教材為例。圖形運動相關(guān)知識第一次出現(xiàn)是在二年級下冊，單元名稱就叫“圖形的運動（一）”。整個單元有4個例題，分別教學(xué)軸對稱（如圖3）、平移（如圖4）、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的運用。仔細(xì)觀察教材，可發(fā)現(xiàn)軸對稱的引入情境，是“靜態(tài)存在”的一幅圖，而平移的引入情境，則是“動態(tài)發(fā)生”的一件事。軸對稱的例題，其教學(xué)的重點是軸對稱圖形的特征（對折后左右能完全重合），而平移的例題則讓學(xué)生感受一個圖形經(jīng)運動后可得到另一個圖形。因此，學(xué)生學(xué)習(xí)后，并不理解“軸對稱就是圖形的運動”。到了四年級下冊，教材安排了“圖形的運動（二）”，內(nèi)容是再次教學(xué)軸對稱和平移（旋轉(zhuǎn)相對復(fù)雜，編在了五年級下冊）。圖5是軸對稱的例1，教材直接給出了一個軸對稱圖形，讓學(xué)生“看一看，數(shù)一數(shù)，發(fā)現(xiàn)了什么”。例題如此設(shè)計，不是從運動的角度揭示這個軸對稱圖形的形成，而是讓學(xué)生通過探究發(fā)現(xiàn)軸對稱圖形的性質(zhì)——對稱點的連線與對稱軸垂直，到對稱軸的距離相等。緊接著的例2（如圖6）要求補(bǔ)全一個軸對稱圖形，學(xué)生運用從例1中獲得的經(jīng)驗，借助觀察、數(shù)格子、找點、連線，補(bǔ)全圖形，此過程實質(zhì)上就是性質(zhì)的運用。所以，通過例1、例2的學(xué)習(xí)，可以發(fā)現(xiàn)軸對稱就是研究一個圖形的性質(zhì)（或是利用性質(zhì)畫出一個圖形的另一半），這是學(xué)生學(xué)習(xí)軸對稱知識的最大感受，至于其中的“運動”特性，學(xué)生應(yīng)該是沒有感覺的。 緊接著來看平移例題（圖略），其素材和教學(xué)實施，能讓學(xué)生切實地感受到圖形在運動，運動到其他位置，得到一個同樣的圖形。旋轉(zhuǎn)的教學(xué)與其相似，限于篇幅，本文不再贅述。 北師大版、蘇教版等教材的編排體系及例題形式總體與人教版教材類似。 綜上所述，按當(dāng)前的教材編排體系實施教學(xué)，學(xué)生雖然經(jīng)歷兩輪學(xué)習(xí)，但并不能獲得“軸對稱就是圖形的運動方式”的認(rèn)知，這與學(xué)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)后形成的清晰認(rèn)知是完全不一樣的。正因為如此，到了六年級“圖形的運動”總復(fù)習(xí)時，很多學(xué)生不認(rèn)為軸對稱是圖形的運動方式。同時這三個知識點教學(xué)時形式的不一致，也使有些教師不知不覺間模糊了認(rèn)識。 根據(jù)上面的分析，在目前的教材編排體系下，小學(xué)階段教學(xué)軸對稱知識，若想讓學(xué)生較好地認(rèn)識到“軸對稱就是圖形的運動方式”，教師可以從認(rèn)識的提升和教學(xué)的改進(jìn)兩方面入手。首先，教師要準(zhǔn)確把握軸對稱知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)——運動，“軸對稱就是圖形在運動，實際上就是點在運動”。只有教師具備了這樣的認(rèn)識，那么無論是審視教材中的例題和習(xí)題，還是設(shè)計教學(xué)的內(nèi)容和方法，或是進(jìn)行教學(xué)中的語言表達(dá)和引領(lǐng)，才會凸顯這個本質(zhì)。其次，教師要利用現(xiàn)有的教材資源，在內(nèi)容上作巧妙的處理，在教法上作大膽探索，讓軸對稱知識的教學(xué)能夠體現(xiàn)其運動屬性，并引導(dǎo)學(xué)生體驗和理解，實現(xiàn)認(rèn)知的提升。根據(jù)筆者的實踐和思考，可以從三個教學(xué)節(jié)點上進(jìn)行嘗試。（一）初次教學(xué)時，引入“翻折”，滲透運動各套教材都是從生活中的軸對稱現(xiàn)象引入，讓學(xué)生初步感知這些圖形的特點，然后再正式開展例題教學(xué)。以人教版教材為例，例題讓學(xué)生開展“對折→畫→剪→打開”的操作活動（如圖7），得到一個軸對稱圖形。借助操作和觀察，引導(dǎo)學(xué)生感知軸對稱圖形的特點，認(rèn)識對稱軸。應(yīng)該說，這個學(xué)習(xí)素材是極有內(nèi)涵的——直觀地說明了半個圖形運動后就可變成一個軸對稱圖形。但是，很多教師在教學(xué)時，都沒有領(lǐng)會剪紙活動中的這個內(nèi)涵，他們把教學(xué)的重點放在了剪紙后對圖形特征的研究上（強(qiáng)調(diào)“對折、重合”），甚至有的教師覺得剪紙活動缺乏思維含量而直接棄用。這些做法，都會使學(xué)生錯失“軸對稱就是圖形的運動方式”的認(rèn)識機(jī)會。可以對原有例題教學(xué)進(jìn)行改進(jìn)，具體實施如下：在剪紙活動后，先展示“打開——半個圖變整個圖”的過程，明確告知學(xué)生這就是對圖形進(jìn)行“翻折”，相當(dāng)于原來的圖形運動到了另一邊。再讓學(xué)生借助類似的學(xué)習(xí)材料，反復(fù)進(jìn)行翻折，進(jìn)一步加深對軸對稱圖形的認(rèn)識。翻折之前想象，翻折之后觀察（還可借助多媒體），充分體驗通過不同的翻折可得到不同的軸對稱圖形。教學(xué)經(jīng)如上改進(jìn)后，學(xué)生不僅能較好地體驗軸對稱圖形的運動屬性，而且能深刻地認(rèn)識到軸對稱圖形的特征及其原理（翻折與對折正好是相反的動作）。另外，后續(xù)的練習(xí)中，不要都是憑借觀察或借助“對折、重合”來判斷一個圖形是否為軸對稱圖形，可以適當(dāng)增加有關(guān)翻折的練習(xí)，以進(jìn)一步強(qiáng)化運動的思想。如北師大版教材的一道習(xí)題就很有意思（如圖8）。在這里特別要說明：“翻折”這個名詞，運動特征明顯，學(xué)生也容易理解和表達(dá)，教學(xué)軸對稱知識時，直接采用這個名詞來表達(dá)軸對稱運動。事實上，很多專家早就有此呼吁。（二）再次教學(xué)時，強(qiáng)調(diào)“找點”，凸顯本質(zhì)如果說軸對稱的初次教學(xué)，是讓學(xué)生直觀感知圖形的運動，那么再次教學(xué)時，就應(yīng)該從直觀過渡到抽象，引導(dǎo)學(xué)生基于數(shù)學(xué)的本質(zhì)去認(rèn)識軸對稱運動。人教版教材四年級下冊的例1、2，是先教學(xué)軸對稱圖形的性質(zhì)，再利用掌握的性質(zhì)畫出另一半。這個編排順序和要求不妨變化一下——通過翻折（想象、操作）找出另一半，在探究過程中得出性質(zhì)。原來的例題可進(jìn)行如下改變：這個圖形沿著對稱軸翻折（如圖9），你能想象出A、B、C、D四個點分別會變到哪個位置嗎？請在圖上標(biāo)出4個點變化后的位置，并補(bǔ)全整個軸對稱圖形。這一過程，既鏈接了之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗（翻折），又無痕地滲透了圖形的運動就是點的運動這個數(shù)學(xué)本質(zhì)。教師要做的，就是在反饋時，借助實物操作或多媒體演示，讓學(xué)生說清楚并理解這些點會變到哪個位置，知道怎么想。（注意：圖中的點并不全是格點，這更有利于學(xué)生思考）經(jīng)過這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生就能切實地體會到，一個圖形要進(jìn)行軸對稱變化，只要找到各個關(guān)鍵點運動后的位置，然后把點連線即可得到它的另一半。如此，知識的本質(zhì)得以凸顯，方法的聯(lián)系得以建立。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步關(guān)注運動前后的點，“看一看，數(shù)一數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么”，軸對稱圖形的性質(zhì)自然得出。這種思路，在北師大版教材五年級上冊的例題（如圖10）中有一定體現(xiàn)。筆者建議對這個例題進(jìn)行兩點改進(jìn)：一是在半幅圖上可用字母標(biāo)注出幾個點，二是提示語可改為“先想象一下翻折的過程”。經(jīng)過如上教學(xué)后，學(xué)生理解了軸對稱運動的本質(zhì)，找到了找點與翻折之間的關(guān)聯(lián)，基于此再去熟練技能（各種畫出軸對稱圖形另一半的練習(xí)），甚至探索對稱軸是斜線的情況，那就能高屋建瓴地認(rèn)識圖形的運動了。當(dāng)然，如果二年級未教學(xué)過“翻折”，那么在四年級教學(xué)本課時，課始可先通過設(shè)計情境簡單補(bǔ)一下這個知識（四年級學(xué)生很容易理解和接受），然后按上述思路展開教學(xué)，效果也是很好的。（三）綜合練習(xí)時，引導(dǎo)“建聯(lián)”，靈活運用學(xué)完軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)三個知識之后，各套教材都設(shè)置了綜合運用這三個知識的內(nèi)容。若仔細(xì)閱讀教材，會發(fā)現(xiàn)目前的編排中，對三個知識是“區(qū)別對待”的——講運動方式時只要求用平移和旋轉(zhuǎn)，而不提軸對稱。如北師大版教材六年級下冊中的一道例題（如圖11），很明顯，要求說說怎么通過平移或旋轉(zhuǎn)將圖片運動到指定位置。教材的編排，再次錯失了引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識軸對稱是圖形運動方式的機(jī)會。這當(dāng)然是有原因的——一是圖中的七巧板若做軸對稱運動，會涉及“兩個圖形成軸對稱”，這超出了課程標(biāo)準(zhǔn)的要求；二是之前的教學(xué)沒有涉及軸對稱的運動本質(zhì)，此時提這樣的要求，顯然不合邏輯。那么，如果在這樣的題中加入軸對稱的要求，六年級學(xué)生能否進(jìn)行學(xué)習(xí)呢？教學(xué)的效果又會怎樣呢？筆者曾經(jīng)改造了北師大版教材中的一個素材（如圖12），開發(fā)了一節(jié)效果不錯的練習(xí)課。首先，將供學(xué)生操作的卡片全部雙面印刷——兩面圖案相同。其次，任務(wù)還是“打亂的圖形如何才能實現(xiàn)還原”，但對具體方法沒有限定。結(jié)果，當(dāng)有學(xué)生想到運用軸對稱的方法之后（如圖中打亂后處在左邊的圖形，經(jīng)過兩次翻折后也可實現(xiàn)還原），翻折（軸對稱）就成為了課中學(xué)生主動追求、非常喜歡的一種方法。尤其是對稱軸的個性化設(shè)定，使得變化過程得以創(chuàng)新出奇。整節(jié)課，不斷變化打亂的圖形及位置，逐步提升還原的要求（盡可能少的步驟），促使學(xué)生靈活地運用三種方法進(jìn)行解決，在加深對三種運動認(rèn)識的同時，較好地發(fā)展了空間觀念、創(chuàng)新意識。從知識學(xué)習(xí)的角度而言，上這樣一節(jié)課是非常必要的，因為它可讓即將畢業(yè)的小學(xué)生從聯(lián)系的視角、整體的視角，實現(xiàn)對軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的深度把握——都是圖形的運動，都是全等的變換，只不過變換形式不同而已。內(nèi)在關(guān)聯(lián)一旦建立，知識就能整體建構(gòu)并靈活運用。行文至此，也許有讀者已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了本文所論及的師生認(rèn)識模糊、教學(xué)改進(jìn)建議等，追根溯源，都指向同一個原因——教材編排所遵循的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)沒有要求小學(xué)階段教學(xué)軸對稱知識要揭示其運動屬性。為什么不對學(xué)生提出這樣的學(xué)習(xí)要求？筆者揣測，因為從理論上講，軸對稱刻畫的是兩個圖形之間的對稱變換關(guān)系，也就是只有在一個圖形變換成另一個圖形時（即兩個圖形成軸對稱），才能直觀地顯現(xiàn)出運動特性，并適合研究其性質(zhì)。而這樣的內(nèi)容，是要在初中階段才學(xué)習(xí)的，小學(xué)生不具備這樣的思維水平和能力，因此小學(xué)階段只安排了學(xué)習(xí)軸對稱圖形。但從筆者的教學(xué)經(jīng)驗和實證研究來看，上述想法也許過于理性了。如圖13所示，是筆者設(shè)計的一張調(diào)查問卷。這4道題目中，第④題就是初中才教的兩個圖形成軸對稱（該內(nèi)容小學(xué)里不教，教材上也沒出現(xiàn)過）。對兩所學(xué)校338名按當(dāng)前教材學(xué)習(xí)過軸對稱知識的五年級學(xué)生進(jìn)行測試，該題的正確率為99.1%。小學(xué)里沒教過，但學(xué)生卻幾乎都會，可見，兩個圖形成軸對稱（當(dāng)然是簡單的情況），對學(xué)生而言，并不是很難理解的知識。讀者更可馬上想到，倘若學(xué)生知道了軸對稱就是翻折，學(xué)會了翻折的方法，那么對他們而言，翻折半個圖形還是翻折一個圖形，沿著圖形上的邊翻折還是沿著圖形外的邊翻折，難道還是什么難事嗎？更何況，小學(xué)生探究翻折時還有方格紙作為支撐（這才是與初中的區(qū)別——初中學(xué)習(xí)時脫離了方格紙）。由此可見，小學(xué)生只能學(xué)習(xí)軸對稱圖形，無法認(rèn)識軸對稱運動，這樣的想法是值得探討的，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在這個內(nèi)容上的要求或許也可以再衡量。因為很明顯，只有課程標(biāo)準(zhǔn)做出調(diào)整，那么本文所講的問題才能真正得到解決，否則，無論怎樣的教學(xué)嘗試，都是缺乏“底氣”的。遺憾的是，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中關(guān)于軸對稱知識的內(nèi)容，只在編排體系上做了微調(diào)，但從目標(biāo)表述來看，教學(xué)要求跟之前是相似的。課程標(biāo)準(zhǔn)短期內(nèi)已不可能更改，所以我們只能希望各套教材的編寫者能夠意識到本文所述問題的現(xiàn)實性，在不違背課程標(biāo)準(zhǔn)要求的前提下，通過教材編寫的優(yōu)化和創(chuàng)新，巧妙地滲透軸對稱知識的運動屬性，讓教師意識到所教知識的內(nèi)涵，讓學(xué)生能感悟所學(xué)知識的原理。事實上，我們做的三個課例，均是在使用當(dāng)前教材的背景下進(jìn)行教學(xué)的，其對教材的創(chuàng)新處理和對教學(xué)素材、手段及過程的精心設(shè)計，經(jīng)實踐證明均是可行的——教師能教，學(xué)生可學(xué)。從這個意義上來說，本文表達(dá)的觀點和介紹的課例，也許能給接下去各套教材的編寫提供一些可用的思路和資源。綜上，若要讓小學(xué)的軸對稱知識彰顯運動本色，既需要教師提升本體性知識，改進(jìn)教學(xué)的過程與方法，也需要上級部門在課程目標(biāo)設(shè)置、教學(xué)內(nèi)容編制等方面進(jìn)行優(yōu)化。唯有上下一心，共同探索，才能讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)軸對稱知識，讓這個內(nèi)容綻放出其特有的育人價值。來源：《教學(xué)月刊·小學(xué)版》（數(shù)學(xué)）2022.11
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