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鄉(xiāng)親們吶！實(shí)在是對(duì)不住大家！我自從擺脫了“加里敦”的狀態(tài)進(jìn)入大學(xué)以后，每天的日程是滿滿當(dāng)當(dāng)，以至于拖更拖更再拖更．我可能沒(méi)有什么精力來(lái)照顧這個(gè)公眾號(hào)了，以后佛系更新，到了寒暑假可能會(huì)多更一些．我本來(lái)以為會(huì)掉粉，沒(méi)想到今天一打開(kāi)后臺(tái)，還漲了20多，真的太感謝你們的支持了！寒暄到此，我們進(jìn)入正文．我現(xiàn)在就讀于物理學(xué)專業(yè)，我們學(xué)的一門課叫高等數(shù)學(xué)（物理類）．今天我們講到了導(dǎo)數(shù)的定義，但是舉的引出導(dǎo)數(shù)概念的例子是真的讓我沒(méi)繃住． 
這玩意兒乍一看，好像沒(méi)什么毛病，但是我說(shuō)這兩個(gè)式子是不符合物理學(xué)的內(nèi)在邏輯的．我都不好意思說(shuō)我們學(xué)的這是“物理類”的高數(shù)，而且自從上回在線性代數(shù)課上跟老師發(fā)生不愉快后，為了保護(hù)這里的教授們那脆弱的心靈，避免節(jié)外生枝，我是絕對(duì)不會(huì)再跟老師提這些問(wèn)題了．為什么說(shuō)它不符合邏輯，我們類比數(shù)學(xué)分析的章法，從加法公理、乘法公理定義四則運(yùn)算，再到由集合論引出函數(shù)的定義，以及實(shí)數(shù)完備性，再往后——總之是一步一個(gè)腳印，環(huán)環(huán)相扣，體系嚴(yán)謹(jǐn)，來(lái)走一波物理學(xué)的底層基礎(chǔ)，這個(gè)問(wèn)題就顯而易見(jiàn)了．那我們直接就開(kāi)始了．定義1 銫-133原子基態(tài)的兩個(gè)超精細(xì)能階之間躍遷時(shí)所輻射的電磁波，經(jīng)過(guò)若干周期的過(guò)程為時(shí)間，特別規(guī)定，其經(jīng)過(guò)9,192,631,770個(gè)周期的時(shí)間為1秒，并且規(guī)定秒(s)為時(shí)間的國(guó)際單位（量綱）．由這個(gè)定義，我們能發(fā)覺(jué)物理定義跟數(shù)學(xué)定義的本質(zhì)區(qū)別——物理定義依托客觀的自然現(xiàn)象，這就是物理作為一門自然科學(xué)的特質(zhì)，它觀測(cè)世界，總結(jié)規(guī)律． 定義2 光在真空中經(jīng)過(guò)一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)的空間過(guò)程為長(zhǎng)度，特別規(guī)定，光在1/299,792,458秒經(jīng)過(guò)的長(zhǎng)度為1米，并且規(guī)定米(m)為長(zhǎng)度的國(guó)際單位（量綱）．
在定義1的基礎(chǔ)上，我們得到了長(zhǎng)度的定義．對(duì)長(zhǎng)度的定義稍作調(diào)整，我們還能夠得到下面的定義． 定義3 某個(gè)點(diǎn)在一定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，大小為初態(tài)位置與末態(tài)位置所連線段的長(zhǎng)度，方向由初態(tài)位置指向末態(tài)位置的矢量為位移．
由此，我們根據(jù)相關(guān)的數(shù)學(xué)理論，可以得到如下推論． 推論1 在坐標(biāo)系中，定義3中描述的末態(tài)位置與初態(tài)位置的坐標(biāo)差就是位移．
由此，我們能夠給出一個(gè)我們非常熟悉的量的定義． 定義4 在某物體的某個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，位移對(duì)時(shí)間在某時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)為這個(gè)物體的速度，即其中，v是速度，x是位移，t是時(shí)間，下同．?dāng)?shù)學(xué)計(jì)算表明，速度的國(guó)際單位是m/s．我們發(fā)現(xiàn)，物理學(xué)概念的定義不僅依托自然現(xiàn)象，也高度依托數(shù)學(xué)．類似地，給出下面的定義．
定義5 在某物體的某個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，速度對(duì)時(shí)間在某時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)為這個(gè)物體的加速度，即
這里的a是加速度．?dāng)?shù)學(xué)計(jì)算表明，加速度的國(guó)際單位是m/s2．由相關(guān)定義的數(shù)學(xué)運(yùn)算，我們發(fā)現(xiàn)，速度是矢量，加速度是矢量．并且我們發(fā)現(xiàn)，上面五個(gè)定義在邏輯上有先后順序，環(huán)環(huán)相扣．正是這些物理量有這樣嚴(yán)謹(jǐn)明確的邏輯關(guān)系，物理學(xué)大廈的根基才穩(wěn)固可靠． 位移，速度，加速度都得到了定義，我們就可以回答文始提出的問(wèn)題了，怎么得到自由落體運(yùn)動(dòng)的物體的瞬時(shí)速度．在此之前，我們最好再補(bǔ)充一個(gè)定義． 定義6 在一個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，加速度恒定不變，則這個(gè)過(guò)程為勻加速運(yùn)動(dòng)．例1 自由落體運(yùn)動(dòng)是加速度恒為g的勻加速運(yùn)動(dòng)，據(jù)此，將 代入定義5得置 時(shí)的速度為初速度 ，調(diào)和常數(shù)C，得到自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度為這才是自由落體運(yùn)動(dòng)速度時(shí)間函數(shù)的正牌推導(dǎo)過(guò)程．而下面用紅框框起來(lái)的式子則是天外飛仙，它實(shí)際上是勻變速運(yùn)動(dòng)的一個(gè)推論（見(jiàn)下文推論2），而不是像這樣直接就能寫出來(lái)．
定義7 在一個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中在時(shí)刻 的位置坐標(biāo)為 ，在時(shí)刻的位置坐標(biāo)為；從時(shí)刻到時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)過(guò)程的平均速度為
置時(shí)的位置坐標(biāo)為，調(diào)和常數(shù)C，得到
這便是勻變速運(yùn)動(dòng)的位移公式．推論2 勻變速運(yùn)動(dòng)從某時(shí)刻到另一個(gè)時(shí)刻的平均速度是兩個(gè)時(shí)刻的算術(shù)平均，即
證畢
也就是說(shuō)我們課件里用紅框框出來(lái)的式子，要得到它是得費(fèi)一番周折的，并且從邏輯上講，是先有下面的式子（例1）才有紅框上面的式子（推論2），因此課件中給出的這個(gè)引出導(dǎo)數(shù)的例子是不恰當(dāng)?shù)?span>．我們還學(xué)過(guò)適用于勻加速運(yùn)動(dòng)的其他諸多公式，在此不再贅述，讀者可以根據(jù)以上的所有定義和推論將它們證明出來(lái)．對(duì)于非勻加速的運(yùn)動(dòng)，也可以根據(jù)定義1至5將各種推論證明出來(lái)．
關(guān)于偉大的物理學(xué)家艾薩克·牛頓(Issac Newton, 1643~1727)的故事，我們聽(tīng)得太多了，在這就不再提了，直接介紹他老爺子開(kāi)發(fā)出來(lái)的相關(guān)理論． 定義8 速度不為0且恒定不變的運(yùn)動(dòng)稱為勻速運(yùn)動(dòng)，速度恒為0稱為靜止．
定律1（牛頓第一定律） 任何物體都保持靜止或沿一條直線做勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，直到外界因素迫使它改變這種狀態(tài)．注意，一切我們觀測(cè)自然現(xiàn)象總結(jié)得到的人們公認(rèn)的規(guī)律稱為定律，定律從邏輯上是不能證真的，只是我們相信自然界總會(huì)按照我們總結(jié)出來(lái)的定律運(yùn)行．定義9 電磁波每秒振動(dòng)的次數(shù)可稱為頻率，由數(shù)學(xué)意義，它的國(guó)際單位是s?1．
算出的量稱為質(zhì)量，其中c是常量（光速），h也是常量．特別規(guī)定，當(dāng)h取值6.62607015×10?3?時(shí)，質(zhì)量單位為1千克，并規(guī)定千克(kg)是質(zhì)量的國(guó)際單位（量綱）．此時(shí)，由ν的單位s?1和c（速度）的單位m/s，整個(gè)上式的單位是kg，可以導(dǎo)出的h單位是kg·m2/s，后續(xù)我們定義單位焦耳(J)等價(jià)于kg·m2/s2后，h單位可表示為J·s．h常量由德國(guó)物理學(xué)家馬克思·普朗克(Max Planck)首次提出，稱為普朗克常數(shù)．這里忍不住要評(píng)論一下，質(zhì)量如此深?yuàn)W的定義是2018年11月16日，第26屆國(guó)際計(jì)量大會(huì)通過(guò)“修訂國(guó)際單位制”決議，正式更新國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量單位“千克”的定義得到的，僅僅是四年以前的成果，它依托了能量量子化和愛(ài)因斯坦的質(zhì)能方程．這種定義質(zhì)的飛躍在于，摒棄了用千克原器這種不穩(wěn)定的實(shí)物來(lái)定義質(zhì)量，而改用了永遠(yuǎn)穩(wěn)定的一個(gè)常數(shù)． 定義11 迫使物體改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的因素稱為力．
定律2（牛頓第二定律） 運(yùn)動(dòng)的變化，即加速度與所加的力成正比，并且發(fā)生在跟該力相同的方向上．定義12 規(guī)定使質(zhì)量為1kg的物體獲得1m/s2的加速度的力大小為1牛頓，并規(guī)定牛頓(N)為力的國(guó)際單位．由定律2和定義12可以得到
其中F是施加給物體的力，m是物體質(zhì)量，a是物體獲得的加速度；力是矢量．定律3（牛頓第三定律） 每一個(gè)作用的力總是有一個(gè)大小相等，方向相反的反作用力與它對(duì)抗，兩者各自指向?qū)Ψ?span>．這里我們就不再深入討論后面的內(nèi)容了，物理學(xué)的大廈很高很高，要是再討論下去可就不用干別的了．用這樣一種形式從物理學(xué)最底層談到牛頓定律，就是為了說(shuō)明，物理學(xué)跟數(shù)學(xué)一樣，有著一套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捏w系，是邏輯嚴(yán)明的學(xué)科．這樣，想必大家對(duì)物理學(xué)就有了更深刻的認(rèn)識(shí)．你可能忍不住提出一個(gè)問(wèn)題：我們能不能像編纂《數(shù)學(xué)分析》一樣，用這樣的方法編纂一套《物理分析》出來(lái)？很可惜，由于廣義相對(duì)論和量子力學(xué)至今無(wú)法調(diào)和，存在不能自洽的矛盾，這個(gè)書尚且編不得．我期待著物理學(xué)早日建成一個(gè)完備而自洽的框架體系，到時(shí)候真的能編一套《物理分析》出來(lái)，豈不美哉？
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