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【原】利用相似三角形的判定和性質(zhì)建立函數(shù)關(guān)系式

 妍小青 2022-08-07 發(fā)布于上海

許多函數(shù)關(guān)系的建立是借助相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)達(dá)成的。
當(dāng)題目中出現(xiàn)了線段間的函數(shù)關(guān)系時，可以借助圖形中的相似三角形或者A/X型基本圖形，借助線段間的比例關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系；
當(dāng)題目中出現(xiàn)了周長比或者面積比，抑或求周長或是求面積時，往往借助相似三角形的性質(zhì)，即相似三角形的面積比等于相似比的平方；相似三角形的周長比等于相似比。
常見的解題思路如下：
利用已知條件尋找題目中的相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出相應(yīng)的比例式，再去判定所要確定的線段函數(shù)關(guān)系式是否包含在所列的比例式中，若在就直接求出解析式；若不在先利用相似三角形的性質(zhì)表示出相關(guān)線段的長度，然后再去利用線段和差或者其它等量關(guān)系等確定所求線段的函數(shù)關(guān)系式。
以上題目來源于網(wǎng)絡(luò)。

借助相似三角形性質(zhì)建立線段間函數(shù)關(guān)系


解法分析：根據(jù)題意可以用含x或y的代數(shù)式表示BD或CF的長度，因此聯(lián)想證明△BCD與△BCF相似，而兩者只有∠ABC=∠ACB，因此還需要一角才能判定相似，再通過證明△BCE和△BCD相似得到∠EBC=∠BDC，得到另一組等角。從而構(gòu)建線段間的函數(shù)關(guān)系。

解法分析：根據(jù)題意，聯(lián)想證明證明△ACE與△BCF相似，此類問題在“含特殊角的相似三角形的幾何證明”中已經(jīng)闡述了詳細(xì)的證明方法，因此不再贅述。

解法分析：根據(jù)題意，聯(lián)想證明證明△ACG與△ABF相似，根據(jù)45°角去尋找等角，繼而證明三角形相似，列出線段間的比例關(guān)系。

借助A/X型基本圖形性質(zhì)建立線段間函數(shù)關(guān)系


解法分析：根據(jù)題意，第(1)問中涉及到證明線段相等：
證明線段相等主要有以下途徑：1、全等三角形對應(yīng)邊相等；2、平行四邊形(菱形、矩形、正方形)對邊相等；3、等腰三角形(梯形)兩腰相等；4、垂直平分線的性質(zhì)定理；5、角平分線的性質(zhì)定理；6、平行線等分線段成比例定理；7、兩個比例式中的相等量；8、等量代換。
根據(jù)條件分析，可以采取途徑7進(jìn)行證明，兩次利用AD-CH-X型以及AD-BG-X型基本圖形，利用比例線段尋找等量關(guān)系。
第(2)問中建立面積與線段間的數(shù)量關(guān)系，有兩條路徑可以走：路徑①利用等高的三角形的面積比等于底之比；路徑②利用相似三角形的面積比等于相似比的平方。根據(jù)題意，選擇路徑①會更簡單，將問題轉(zhuǎn)化為求△ADN和△ABD的面積比。

借助相似三角形中周長比建立線段間函數(shù)關(guān)系


解法分析：本題的第(1)問利用相似三角形的性質(zhì)建立線段間的數(shù)量關(guān)系；第(2)問出現(xiàn)了周長比，而這兩個三角形恰好為相似三角形，因此將周長比轉(zhuǎn)化為相似比。

解法分析：本題中的相似三角形是△ADE和△CDF，這也是一個隱含的“一線三等角模型”利用垂直平分線的性質(zhì)定理，其實可以得到得到這兩個三角形的周長，因此將線段比轉(zhuǎn)化為周長比。

綜合訓(xùn)練


解法分析：作DH⊥AB于H，則AH＝9，HE＝|x﹣9|，先利用勾股定理表示出DE的長度，再證明△EAG∽△EDA，則利用相似比可表示出EG的長度，則可表示出DG的長度，然后證明△DGF∽△EGA，最后利用相似比可表示出x和y的關(guān)系。

END

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