接上一篇博客，導(dǎo)數(shù)講完之后，來講微分
https://blog.csdn.net/weixin_40163242/article/details/89003225

話說微分這個(gè)概念是很容易被誤解的。因?yàn)樗呛蛯?dǎo)函數(shù)在一起出現(xiàn)的，所以，我大一的時(shí)候，那時(shí)沒怎么理解這其中的道理，因?yàn)楹芏囝}求微分的過程就是求導(dǎo)，所以認(rèn)為微分和導(dǎo)數(shù)就是沒什么差別的東西。這其實(shí)并不是我一個(gè)人這樣誤解了，很多人都是這樣。這也是我們教育中比較失敗的一點(diǎn)，為了應(yīng)付考試不掛科，總是過多的去教一些換元法呀這種計(jì)算方法，而對真正的數(shù)學(xué)概念卻模模糊糊，學(xué)到最后，題目會(huì)做一大堆，但別人問你什么是微分，根本搞不清楚。

【問題引入】：
你能很方便地估算出這幾個(gè)值嗎？

我想，如果你不知道微分，在不用計(jì)算器的情況下，是很難計(jì)算出來的吧。因此，微分此時(shí)就有了重要作用。

那么什么是微分呢？

首先，我們看這樣一個(gè)經(jīng)典例子，正方形薄片面積問題：
正方形薄片原面積是A = x0 ^ 2，由于熱脹冷縮，邊長增加了△x，問你面積增加了多少

很明顯，能輕松算出，△A應(yīng)該就是上面那個(gè)表達(dá)式。
這里我們注意一下，當(dāng)我們的△x非常非常小的時(shí)候，（△x）^2這個(gè)量相對于
2 *x0 * △x其實(shí)是可以忽略不計(jì)的。
因?yàn)楫?dāng)△x趨近于0，（△x）^2是相對于 △x的一個(gè)高階無窮小。

所以這個(gè)式子：2 *x0 * △x，才是面積增量的主要部分，又因?yàn)樗恰鱴的線性函數(shù)，我們又稱之為線性主部。因此，當(dāng)△x特別小時(shí)，我們計(jì)算面積的增量，實(shí)際上就可以用近似值2 *x0 * △x來代替了！

我們把2 *x0 * △x稱為函數(shù)y = x ^ 2在x0處的微分！記為dy|x = x0

微分定義：o（△x）是△x的一個(gè)高階無窮小量

一般地

所以微分和導(dǎo)數(shù)顯然不是一個(gè)東西！導(dǎo)數(shù)是一個(gè)極限值，一個(gè)變化率。而微分是函數(shù)因變量的增量近似值！

微分的幾何意義：

通過幾何意義，你應(yīng)該可以更好的理解微分和導(dǎo)數(shù)的差別

這里很明顯可以看到，微分和導(dǎo)數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念。一個(gè)是dy，一個(gè)是tan(a)，所以現(xiàn)在應(yīng)該知道，將導(dǎo)數(shù)和微分理解為同一個(gè)東西是多么愚蠢的想法了吧！

可導(dǎo)和可微的關(guān)系

這里因?yàn)閮烧叨忌婕暗健鱴，△y所以很自然的聯(lián)想到它們之間會(huì)不會(huì)存在某種關(guān)系。
首先給出結(jié)論：可導(dǎo)是可微的充要條件！
首先證明必要性（可導(dǎo)可以推可微）

因?yàn)楦鶕?jù)導(dǎo)數(shù)的定義
如果可導(dǎo)，一定有△y / △x，當(dāng)△x趨近于0的時(shí)候，極限存在為A=  f,(x0)
所以，我們根據(jù)定理，可以有△y / △x = f,(x0) + o；
所以△y = f,(x0) * △x + o *△x；	（ｏ為一個(gè)無窮?。?因此，滿足可微的條件式
所以可導(dǎo)是可以推出可微的

記下來證明充分性（可微可以推可導(dǎo)）

因?yàn)榭晌?所以△y = A* △x + o；	o是一個(gè) △x的高階無窮小
我們現(xiàn)在要推△y / △x，當(dāng)△x趨近于0的時(shí)候極限存在
所以同除 △x
因此右邊變?yōu)锳 + (o / △x)；
所以最后求得極限是A，因?yàn)閛是高階無窮小，最后(o / △x)極限為0
因此△y / △x的極限是A，極限存在
所以可微也可以推出可導(dǎo)！

說了這么多，那么微分到底有什么卵用呢？

還記得我們剛開始給出的那個(gè)問題嗎？現(xiàn)在我們可以用微分的方法去解它了。
第一題過程如下：

我用計(jì)算器所得結(jié)果為

可以看到，兩者計(jì)算所得到的結(jié)果是多么相近啊！誤差非常的小！我們前面已經(jīng)通過 數(shù)學(xué)方法計(jì)算出來了，dy與△y 兩者的誤差僅為△x的一個(gè)高階無窮小。

第二題我就不演示了，計(jì)算結(jié)果為9.995
計(jì)算器算得的結(jié)果：

也非常相近，真是太厲害了！

其實(shí)微分除了求近似值這種比較直接的用處之外，還有一些間接的用處呢！最典型的就是“化曲為直”的思想了

是這樣的，每一個(gè)小段△x的范圍，當(dāng)△x趨近于0的時(shí)候，對于這一段△x上的切線的dy和曲線的△y是近似相等的。因此，不就是相當(dāng)于這一段上的曲線和切線幾乎重合嗎？所以，在這一小段△x上，我們可以用切線來代替曲線研究問題，這就是“化曲為直”的思想了。這個(gè)思想很有意義，因?yàn)橹本€肯定比曲線好研究?。?/strong>