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一個(gè)復(fù)數(shù)是一對(duì)有序排列的實(shí)數(shù)(a,b)，其中a和b是兩個(gè)任意的實(shí)數(shù)。復(fù)數(shù)滿足如下的運(yùn)算規(guī)則：如果有兩對(duì)這樣的實(shí)數(shù)，要把它們加起來，就要按照以下的運(yùn)算規(guī)則相加： 稱之為加法規(guī)則；如果要讓他們相乘，則要按照以下的運(yùn)算規(guī)則相乘：
稱之為乘法規(guī)則。以上加法規(guī)則和乘法規(guī)則就是復(fù)數(shù)必須滿足的兩條規(guī)則。可以將一個(gè)復(fù)數(shù)按照以下方式分解：
其中的a稱為這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b稱為這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，分別用以下的符號(hào)表示：
如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等。除了相等這種比較之外，復(fù)數(shù)是不能比較大小的。在上面對(duì)復(fù)數(shù)的分解式中，出現(xiàn)了一個(gè)特殊的復(fù)數(shù)(1,0)，容易證明，這個(gè)復(fù)數(shù)具有與實(shí)數(shù)1相同的運(yùn)算效果：
因此，當(dāng)我們遇到(1,0)這個(gè)復(fù)數(shù)時(shí)，直接用1代替就行了；我們還遇到一個(gè)特殊的復(fù)數(shù)(0,1)，這是一個(gè)虛單位，為了書寫方便，用小寫英文字母i代表這個(gè)復(fù)數(shù)，它有這樣的性質(zhì)：引入虛單位的簡(jiǎn)寫符號(hào)之后，任意一個(gè)復(fù)數(shù)就可以寫成以下簡(jiǎn)便的形式：還有一個(gè)特殊的復(fù)數(shù)(0,0)，容易證明它具有與實(shí)數(shù)0相同的運(yùn)算效果：因此，以后凡是遇到(0,0)這個(gè)復(fù)數(shù)，就可以直接寫成0。除了加法和乘法，復(fù)數(shù)還有一種特殊的運(yùn)算：復(fù)共軛運(yùn)算。一個(gè)復(fù)數(shù)的復(fù)共軛被定義為：
也就是將一個(gè)復(fù)數(shù)的虛部改變一個(gè)正負(fù)號(hào)。不難看出，一個(gè)復(fù)數(shù)做了一次復(fù)共軛后再做一次復(fù)共軛，就還原為原來那個(gè)復(fù)數(shù)。一個(gè)復(fù)數(shù)與它的復(fù)共軛相乘給出一個(gè)實(shí)數(shù)：復(fù)數(shù)的加法與乘法有相應(yīng)的逆運(yùn)算，它們是減法和除法。減法不用多說，減去一個(gè)復(fù)數(shù)就是加上這個(gè)復(fù)數(shù)的負(fù)數(shù)： 除法就有點(diǎn)麻煩了。當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)相除時(shí)，分母必然會(huì)出現(xiàn)一個(gè)復(fù)數(shù)，在這種情況下，我們就不能把相除的結(jié)果寫成實(shí)部和虛部相加的形式。為了能夠把復(fù)數(shù)相除的結(jié)果寫成實(shí)部和虛部相加的形式，必須把分母變成一個(gè)實(shí)數(shù)。這時(shí)候，復(fù)數(shù)的復(fù)共軛這個(gè)概念就起作用了。在分子和分母上同時(shí)乘以分母的復(fù)共軛，就把分母變成了一個(gè)實(shí)數(shù)而不改變整個(gè)分?jǐn)?shù)：這樣，就把兩個(gè)復(fù)數(shù)相除的結(jié)果分解成實(shí)部和虛部相加的形式。補(bǔ)充了復(fù)數(shù)的減法和除法之后，就有了復(fù)數(shù)的一套完整的四則運(yùn)算。復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律和分配律，并且還滿足如下規(guī)則： 
| 在平面上畫一個(gè)直角坐標(biāo)系，把它的橫軸與復(fù)數(shù)的實(shí)部對(duì)應(yīng)，縱軸與復(fù)數(shù)的虛部對(duì)應(yīng)，就構(gòu)成一個(gè)復(fù)平面。每一個(gè)復(fù)數(shù)都落在復(fù)平面的一個(gè)確定點(diǎn)上，復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。引入復(fù)平面后，一個(gè)復(fù)數(shù)與它的復(fù)共軛之間的關(guān)系就非常清楚了：它們關(guān)于x軸對(duì)稱。 | |
有了復(fù)平面，就可以用復(fù)平面上的自由矢量來表示復(fù)數(shù)。從原點(diǎn)向所研究的復(fù)數(shù)點(diǎn)作一個(gè)矢量，用這個(gè)矢量代表所研究的復(fù)數(shù)。用矢量的方式表示一個(gè)復(fù)數(shù)這種方法顯示，復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算滿足平行四邊形法則或三角形法則。復(fù)數(shù)的矢量表示法告訴我們，一個(gè)復(fù)數(shù)與它的復(fù)共軛相乘將給出這個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所處的位置到原點(diǎn)的距離。我們把這個(gè)距離叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的模。 還可以用極坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)。在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上取極坐標(biāo)系。當(dāng)一個(gè)復(fù)數(shù)用矢量來表示時(shí)，這個(gè)矢量有一個(gè)長(zhǎng)度，矢量的指向與x軸還有一個(gè)夾角，這個(gè)復(fù)數(shù)就可以表示成這樣： 其中的r就是這個(gè)復(fù)數(shù)的模，而θ則被稱為這個(gè)復(fù)數(shù)的輻角：由復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示法馬上得到這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部：以及這個(gè)復(fù)數(shù)的復(fù)共軛： | 復(fù)數(shù)的這種表示方式再次告訴我們?cè)鯓佑?jì)算復(fù)數(shù)的模。復(fù)數(shù)的矢量表示法顯示，0的輻角并不確定。由于三角函數(shù)具有周期性，因此，復(fù)數(shù)的輻角并不唯一，輻角具有多值性。 |
習(xí)慣上將一個(gè)復(fù)數(shù)的在半開區(qū)間之間的輻角值稱為這個(gè)復(fù)數(shù)的輻角的主值，用以下的方式標(biāo)記：
在極坐標(biāo)表示法下，復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算變得很簡(jiǎn)單。兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘是這樣運(yùn)算的： 兩個(gè)復(fù)數(shù)相除則是這樣運(yùn)算的：在極坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上，定義復(fù)指數(shù)： 復(fù)指數(shù)的性質(zhì)與實(shí)指數(shù)完全相同：有了復(fù)指數(shù)的概念，一個(gè)復(fù)數(shù)就可以表示成如下簡(jiǎn)潔的形式：在復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法下，復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算更加簡(jiǎn)單。兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘就是這個(gè)樣子的：顯然，它是直接利用了復(fù)指數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行的。兩個(gè)復(fù)數(shù)相除也一樣：我們已經(jīng)將模為有限的復(fù)數(shù)與復(fù)平面上離開原點(diǎn)為有限遠(yuǎn)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來。也可以用復(fù)球面上的點(diǎn)表示這些有限遠(yuǎn)處的復(fù)數(shù)。在復(fù)平面上以原點(diǎn)為南極、垂直于復(fù)平面的方向?yàn)闃O向畫一個(gè)直徑為一個(gè)單位的球面。極軸與這個(gè)復(fù)球面上端的交點(diǎn)就是北極。 從北極點(diǎn)向復(fù)平面上的點(diǎn)引一條直線，這條直線必定與復(fù)球面交于某點(diǎn)，就用這個(gè)交點(diǎn)代表復(fù)平面上的復(fù)數(shù)。復(fù)平面與復(fù)球面的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫測(cè)地投影。 |
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當(dāng)利用復(fù)球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)時(shí)，赤道上的點(diǎn)落在復(fù)平面的單位圓上。不難看出，如果讓復(fù)平面上的點(diǎn)無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，它在復(fù)球面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就會(huì)無限靠近北極點(diǎn)。由此得到無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在復(fù)球面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，這種對(duì)應(yīng)顯示，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的輻角也是不確定的。
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