(1.1.1)

由于微觀粒子具有波粒二象性，粒子的量子態(tài)要由希爾伯特空間中的態(tài)矢量描寫，這個態(tài)矢量滿足Schr?dinger方程：

在這個方程中，時間和空間明顯地處于不對稱的地位，不具有洛倫茲不變性。

按照上面的方式做算符對應，就可以建立一個相對論性的波動方程：

顯然，在這個方程中，時間和空間仍然處于不對稱的地位。如果將開平方算符做級數(shù)展開，那么，展開式將包含高于二階的空間導數(shù)，由此導致波函數(shù)是非定域的。于是，按照以上方式得到的將不是定域的量子力學理論。

其中逆變分量與協(xié)變分量通過時空度規(guī)相聯(lián)系：

                 (1.1.2)

一對相同字母的上下標寫在一起代表對這對上下標從0～3求和。其中的時空度規(guī)是這個樣子的

總能量與三維動量也結合成一個四維動量：

相應的協(xié)變分量也可以通過時空度規(guī)由逆變分量推出。四維動量的長度：

引入時空坐標和能量動量的四維表述，Lorentz協(xié)變的四維算符對應為：

                 (1.1.3)

把這個算符對應用到四維動量長度的表達式中：

為了便于書寫，引入一個Lorentz不變算符，稱之為d’Alembert算符：

就得到Klein-Gordon方程：

                  (1.1.4)

作為第一個相對論性波動方程，(1.1.4)式最初于1926年到1927年期間以非協(xié)變的形式出現(xiàn)：

              (1.1.5)

在Klein-Gordon方程中，時間和空間處于對稱的地位，人們預期它具有Lorentz不變性。簡單的分析不難發(fā)現(xiàn)，要使這個方程具有協(xié)變性，必須要求波函數(shù)是Lorentz標量函數(shù)，標量函數(shù)描寫的是0自旋粒子。由這個方程很容易就得出相對論能量動量關系?？墒堑仁絽s存在負能解，這是無法接受的。負能解后來被解釋成與反粒子對應，自然界存在反粒子給這個處理方法強有力的支持。

這個方程左邊的第一項可以改寫成這樣：

第二項則改寫成這樣的形式：

容易證明，上述兩個等式右邊的第二項是相等的：

于是，我們得到了一個四維守恒方程：

它的非協(xié)變形式是：

對于平面波解，，其中，這個守恒方程變成：

要使時間導數(shù)中除波函數(shù)外的量變成無量綱的正的實數(shù)，才能將方程看做概率守恒方程，這可以通過對守恒方程乘一個常數(shù)得到。把這個結果推廣到非平面波的一般解，就得到一個四維守恒流：

一個四維流由三維空間中的標量密度與對應的矢量流密度組成：

于是，由四維守恒流的時間分量給出