2022年高考數(shù)學全國卷I的立體幾何大題，需要同時運用幾何法和代數(shù)法來解決。第一小題用幾何法，而且是小學的立體幾何問題。整張卷子，不僅這一處，還有很多地方可以看到小學數(shù)學問題的痕跡。

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為2根號2.

(1)求A到平面A1BC的距離；

(2)設D為A1C的中點，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.

分析：(1)第一小題所求的距離，其實是三棱錐A1-ABC一個面A1BC上的高。而這個三棱錐與三棱柱ABC-A1B1C1有相同的底面ABC, 又有同一條的高(是底面ABC上的高，不是上面所說的高)。而三棱錐的體積是同底等高的三棱柱體積的三分之一，也就是三分之四個立方單位。

另一方面，由三棱錐的體積公式，已知一個面的面積，就可以求得這個面上的高，也就是我們要求的距離。這就是一個小學立體幾何的問題嘛。

(2)不過第二小題就沒有那么容易了。直接作出二面角，用純幾何的方法來解決這個問題，恐怕有一定難度。因為老黃受限于空間想象能力的不足，所以只能用代數(shù)法來解決。

代數(shù)法，就是給圖形建空間坐標系，然后利用向量運算來解決。但這個圖想直接建系也不太可能。還需要找到適合建系的原點。觀察圖形之后，發(fā)現(xiàn)B點可以做空間坐標系的原點。但仍需用幾何證明的方法，證明AB，BC，和BB1兩兩互相垂直，才能用它們做坐標軸。下面開始組織解題過程：

解：(1)記A到平面A1BC的距離為h, 則

V三棱錐A1-ABC=hS△A1BC/3=V三棱柱ABC-A1B1C1/3=4/3,

∴h=4/(2根號2)=根號2. 即A到平面A1BC的距離為根號2.

(2)取A1B的中點E, 連接AE, DE,

則AE=根號2, AA1=AB=2, A1B=2根號2,【首先，AE就是點A到平面A1BC的距離。因為平面A1BC⊥平面ABB1A1，AE在平面ABB1A1上，且垂直于兩個平面的交線A1B，所以AE垂直于平面A1BC。另一方面，因為AA1=AB，因此三角形ABA1是等腰直角三角形，從而推出后面各條線段的長】

AE=A1B/2, AD=A1C/2, DE=BC/2, 【其中前兩個等式都可以由直角三角形斜邊中線與斜邊的關系得到，后面的等式是由三角形的中位線定理得到的?！?/p>

∴Rt△AED∽Rt△A1BC,【因為三邊成比例，這里關鍵是推知三角形A1BC是一個直角三角形】

BC=2S△A1BC/AB=2, 【直角三角形面積公式的變形】

又AE⊥BC，A1B⊥BC, 所以BC⊥平面AA1B，所以BC⊥AB，【這就形成了建系的充分條件】

以B為原點, AB為x軸，BC為y軸，BB1為z軸，建立空間坐標系，則【三條坐標軸轉(zhuǎn)換一下也沒有什么關系，后面的坐標做出相應調(diào)整就可以了】

B(0,0,0), A(2,0,0), C(0,2,0), A1(2,0,2),D(1,1,1),

向量BD=(1,1,1), 向量BA=(2,0,0),

設平面ABD的法向量n=(x,y,z)，

則2x=0, x+y+z=0, 解得：x=0, y=-z,

取y=1，則向量n=(0,1,-1)，【只要y不取0就可以了，因為一個平面是有無窮多個法向量的】

同理，求得平面BCD的法向量m=(-1,0,1)，

cosθ=|向量n*向量m|/(|向量n|*|向量m|)=1/2,

sinθ=根號(1-(cosθ)^2)=根號3/2.

只要建立了空間坐標系，一切就水到渠成了。您能用純粹的幾何方法解決這個問題嗎？請不吝分享出來哦！