之所以寫這篇文章，目的在于縷清函數(shù)極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微內(nèi)在思路，只要思路清晰了，我們才可以做到心里有理有據(jù)，大方向不出錯(cuò)。

函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微是怎么步步為營(yíng)，層層遞進(jìn)的。

首先我們看看極限是怎么提出來(lái)的？極限：無(wú)限靠近而永遠(yuǎn)不能到達(dá)，英文名字limit，極限符號(hào)就是取縮寫lim，它就是一個(gè)符號(hào)，意思是自變量x取值靠近一個(gè)數(shù)，函數(shù)值是多少。

在計(jì)算曲線長(zhǎng)度的時(shí)候，我們不會(huì)測(cè)量曲線的長(zhǎng)度，只能把曲線不斷分割，再把分割的線近似等于直線來(lái)測(cè)量，這樣下來(lái)我們就可以得到曲線的近似長(zhǎng)度；那怎么更加逼近曲線真是長(zhǎng)度呢？只有切割無(wú)限多無(wú)窮小的直線才可以更真是模擬曲線長(zhǎng)度，這里的無(wú)窮小，到底是多小呢？在數(shù)字中數(shù)學(xué)0是最小的，無(wú)窮小只有無(wú)限逼近0但不能等于0，這樣才可以劃分的最小，無(wú)窮小是一個(gè)動(dòng)態(tài)的變化的數(shù)值，在數(shù)學(xué)中是不能計(jì)算出具體結(jié)果的，于是數(shù)學(xué)家引入一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念---極限，無(wú)窮小的極限等于0，是具體的數(shù)值，這樣我們就利用無(wú)窮小的極限來(lái)進(jìn)行計(jì)算了。

為了形象表達(dá)極就是動(dòng)態(tài)變化的，我們拿0.999...... 數(shù)字9無(wú)限循環(huán)下去，這個(gè)數(shù)字一直在變化，我們可以取它極限也就是1拿來(lái)計(jì)算。

為什么需要求極限，凡是涉及無(wú)窮的問(wèn)題都是需要求極限的問(wèn)題，因?yàn)闊o(wú)窮就是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，不能直接求出精確數(shù)值，只能利用極限思想求值。

極限我們是可以從不同方向求取的，也就是左極限和右極限，如下圖我們可以求出一段函數(shù)的左極限或者右極限。

有了極限思想，那么函數(shù)的連續(xù)性就自然而然解決了，如果函數(shù)上點(diǎn)P，在P點(diǎn)可以向左移動(dòng)無(wú)窮小，也可以向右邊移動(dòng)無(wú)窮小，那么我們就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)P處是連續(xù)的，因?yàn)闊o(wú)窮小是任意小，只要你想到多小就有多小，中間是沒(méi)有縫隙的，也就是說(shuō)只有P點(diǎn)的左極限和右極限相等時(shí)，才能說(shuō)明函數(shù)是在點(diǎn)P處連續(xù)的，極限唯一確定才連續(xù)。連續(xù)是不管是不是光滑，尖角也可以是連續(xù)的例如圖中點(diǎn)b處。

有了連續(xù)概念，接下來(lái)我需要研究連續(xù)函數(shù)的光滑程度，變化方向，也就是導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)具有導(dǎo)向、向?qū)Шx，也就是表示方向的意思。導(dǎo)數(shù)幾何意義就是在點(diǎn)P的切線，也就是正切值。切線就是觸碰的意思，既然有方向性就有正負(fù),具有矢量性質(zhì)。要是要求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在也就是導(dǎo)數(shù)是確唯一的，那上圖做例子，b點(diǎn)左側(cè)的到時(shí)是負(fù)值，右側(cè)的導(dǎo)數(shù)是正值，從左邊導(dǎo)數(shù)和從右邊導(dǎo)數(shù)是不相等的，說(shuō)明在b點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是不存在的，導(dǎo)數(shù)是驗(yàn)證函數(shù)變化方向和變化光滑程度。

接下來(lái)我們看看可微，可微也就是可以劃分成微小的區(qū)域，在一元函數(shù)中，也就是可以把曲線切割開(kāi)來(lái)，只要足夠小，劃分區(qū)域就可以等同直線，這就和導(dǎo)數(shù)含義一致了。所以在在一元函數(shù)中，可微和可導(dǎo)是等價(jià)的；

但是在二元函數(shù)中，可微是把曲面劃分成微小的直面，也就是平面，是以直面代替曲面進(jìn)行計(jì)算，利用微平面計(jì)算。但是可導(dǎo)呢？可導(dǎo)還是一維產(chǎn)物，是在一個(gè)方向的變化程度，一個(gè)二維直面和一個(gè)一維直線段是不能等價(jià)。所以在二元函數(shù)中，可微和可導(dǎo)不是等價(jià)的。

我們來(lái)梳理一下，極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微的遞進(jìn)關(guān)系：

一個(gè)函數(shù)點(diǎn)A是可以從左邊和右邊兩個(gè)方向求極限的，左極限和右極限可以相等也可以不相等；只有點(diǎn)A左極限和有限性相等的時(shí)候，我們才可以說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)A是連續(xù)的，連續(xù)是個(gè)標(biāo)量，沒(méi)有方向，也就是尖角和圓滑角都可以連續(xù)；導(dǎo)數(shù)是方向，切線，也是有方向的，尖角處左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)是不相等的，只有左右導(dǎo)數(shù)是相等的才是說(shuō)明點(diǎn)A處可導(dǎo)；可導(dǎo)是方向是一維空間，可微是微線段、微直面、微立體等等是不同維度的，只有一維空間的位線段可微和可導(dǎo)是等價(jià)的，但是到微直面、微立體的可微是多維度的，不能和一維度的可導(dǎo)等價(jià)。