還有一些“尾巴長長”的數(shù)，在經(jīng)過了連乘之后，所得的積仍舊帶有同樣的“長尾巴”，這與我們前面講過的25或76的特性是相同的。

比如我們想要找出屬于這一類的三位數(shù)，就需要在25或76前加上一位數(shù)字。

仍舊以76為例，假設(shè)在它的前面增加的數(shù)字是k，那么得到的三位數(shù)就是：100k+76。以這個數(shù)為結(jié)尾的數(shù)可寫為1000a+100k+76、1000b+100k+76，等等。計算1000a+100k+76與1000b+100k+76的乘積可得：

在這個結(jié)果的各部分當(dāng)中，除了最后兩數(shù)之外，其他各數(shù)都含有三個以上的0，因此我們只看最后兩個數(shù)。來計算一下這兩個數(shù)之和與100k+76的差：

如果這個差能被1000整除，那么上面所求的兩數(shù)乘積就一定是以100k+76為結(jié)尾。從這個結(jié)果中我們可以看到，只有當(dāng)3=k時，這個差肯定能被1000整除。因此我們正在求的這個三位數(shù)是376，376具有我們目前所探討的這一特性，也就是它的任意次方同樣是結(jié)尾為376的數(shù)，比如3762=141376。

現(xiàn)在繼續(xù)找下去，這一次要找到的是一個具有這種特性的四位數(shù)。在376的前面加一位數(shù)，假設(shè)這個數(shù)是l，那么當(dāng)l等于幾時，兩個以376為結(jié)尾的四位數(shù)10000a+1000l+376和10000b+1000l+376的積的結(jié)尾一定是1000l+376呢？你可以自己動筆計算一下，算出兩數(shù)之積后，將乘積中的括號去掉，結(jié)尾中不少于4個0的各項也去掉，剩下的兩項之和就是1000l+376。用這兩項之和減去1000+376：

我們知道，只有當(dāng)這個差能被10000整除時，上面兩數(shù)乘積的結(jié)尾才會是1000l+376，因此9=l，我們所求的四位數(shù)是9376。

如果還想繼續(xù)向前推理，那么用同樣的方法，可以得到09376、109376、7109376，等等。就這樣，一步一步地在求出的數(shù)前面（即左邊）的數(shù)位上不斷進行添加，最終將得到一個有無限多個數(shù)位的“尾巴長長”的大“數(shù)”：

……7109376

事實上，如果用同樣的方法對兩位數(shù)“76”進行推理，那么也就是要求出在6的前面加一個什么數(shù)字，能使組成的兩位數(shù)具有我們所探討的這一特性，所以我們也可以說這個數(shù)位無限多的“數(shù)”……7109376，是在6前面逐一加上相應(yīng)的數(shù)得到的。

這一類型的數(shù)能夠按照我們通常所用的規(guī)則進行加法和乘法運算，原因在于使用豎式進行加法或乘法運算時都必須從右向左完成，而且具有這一特性的兩數(shù)之和還可以逐位地減去任意多的數(shù)字。

但你一定沒有想到的是，我們剛剛得到的那個有著無限多個數(shù)位的“尾巴長長”的“數(shù)”居然能夠滿足方程：

這一點對于任何人來說都是難以置信的，那么它的依據(jù)是什么呢？

由于這個數(shù)的結(jié)尾是76，那么它的平方（該數(shù)與它自身的乘積）的結(jié)尾一定也是76。但同樣的，它的結(jié)尾也一定是376，或者9376……換一個說法就是：當(dāng)x的值是“……7109376”時，對它的平方x2的值從右向左逐位去掉每個數(shù)位上的數(shù)字，一定會得到一個與x的值相等的數(shù)，因此x2=x在這里是成立的。

我們已經(jīng)分析過了結(jié)尾為76的數(shù)，用同樣的方法也可以對結(jié)尾是5的數(shù)進行分析，并可以得到5、25、625、0625、90625、890625、2890625……最終也將得到一個有無限多個數(shù)位的大“數(shù)”：

……2890625

同時，它也可以滿足方程x2=x，并且能夠證實這個數(shù)“等于”：

這個結(jié)果無疑令人覺得樂趣無窮，如果用代數(shù)語言來描述它，那就是：方程x2=x（x=0和x=1除外）有兩個“無限”的解，它們分別是：x=……7109376和x=……2890625，在十進制中，只有這兩個解。

這種數(shù)位無限多的數(shù)在其他進制中也有，并非十進制的“專利”。（俄.別萊利曼）