你一定有過(guò)等公交車的經(jīng)歷，少數(shù)情況下公交車很快就來(lái)了，大多時(shí)候苦等十幾甚至幾十分鐘都等不到需要的那班車，可是看看站臺(tái)上的車目表，發(fā)車時(shí)間間隔通常僅為5～10分鐘！為什么我這么倒霉，每次都要等上這么長(zhǎng)時(shí)間呢？別急，其實(shí)這種現(xiàn)象很常見(jiàn)。

公交車為什么久等不到

苦等公交車時(shí)，你一定深深懷疑過(guò)公交車的發(fā)車時(shí)間間隔，如果它真的按照要求的時(shí)間發(fā)車，怎么可能需要等上這么長(zhǎng)時(shí)間呢？讓我們來(lái)檢查一下，公交車是否真的按時(shí)發(fā)車了。

假設(shè)公交車的發(fā)車間隔是10分鐘，也就是說(shuō)，每?jī)奢v車都會(huì)間隔10分鐘到達(dá)站臺(tái)。這樣的話，上一班公交車可能在你到達(dá)前5分鐘離開(kāi)，那么你需要等5分鐘，也可能車子剛剛離開(kāi)，你要等上10分鐘，還有的時(shí)候可能剛剛好趕上下一班公交車，可以算出，理想情況下，平均等車時(shí)間為5分鐘。但是我們知道，真實(shí)生活中，公交車會(huì)遇上堵車、意外而遲到或者因乘客較少而早到的情況，到站間隔時(shí)間不可能正好為10分鐘，這些時(shí)候我們的等車時(shí)間會(huì)怎樣變化呢？

因?yàn)榘l(fā)車時(shí)間為10分鐘，1小時(shí)里一定會(huì)有6輛公交車出發(fā)，我們可以認(rèn)為，1小時(shí)里每一個(gè)站臺(tái)都一定會(huì)來(lái)6輛車。但這些車的到達(dá)時(shí)間并不一致，假設(shè)其中4輛到達(dá)間隔為5分鐘，另外兩輛到達(dá)間隔就為20分鐘，我們既可能遇到到得快的車，也可能遇上到得慢的車。在第一種情況中，乘客們的平均等車時(shí)間可以算出是2.5分鐘，第二種情況則平均需要等10分鐘。也許你還會(huì)想，第一種情況的車更多，因此我們遇上快車的幾率更大，平均等車時(shí)間會(huì)比5分鐘更少。

事實(shí)真的如此嗎？看看鐘表，你更能搞清楚真相。雖然慢車只有兩輛，但它們的到達(dá)時(shí)間間隔為20分鐘，這意味著在整整40分鐘的時(shí)間里，僅有兩輛駛得慢的公交車到站，要遇上快車，則需要在另20分鐘到達(dá)車站。那么，你到達(dá)車站的時(shí)候，是遇上快車的幾率大還是慢車的呢？很明顯，遇上慢車的幾率為40/60，遇上快車的幾率則僅有20/60?？紤]到等到兩種車的幾率大小后，我們可以算出等車的平均時(shí)間了：2.5×20/60+10×40/60=7.5分鐘。如果繼續(xù)假設(shè)其他間隔時(shí)間，我們可以發(fā)現(xiàn)，慢車的到達(dá)時(shí)間越長(zhǎng)，算出的平均等車時(shí)間也會(huì)更長(zhǎng)，甚至能達(dá)到數(shù)十分鐘。

這就解釋了為什么公交車明明準(zhǔn)點(diǎn)發(fā)車，乘客卻苦苦等不到車的原因：當(dāng)有一輛車到達(dá)時(shí)間晚點(diǎn)時(shí)，人們的平均等待時(shí)間會(huì)變長(zhǎng)。而且，由于多數(shù)人會(huì)出現(xiàn)在等待時(shí)間更長(zhǎng)的時(shí)段里，也就會(huì)有更多人感覺(jué)自己的等車時(shí)間很長(zhǎng)。

倒霉的不只是你

苦等公交車背后的數(shù)學(xué)規(guī)律被統(tǒng)計(jì)學(xué)家稱為檢查悖論，指的是觀察量的出現(xiàn)概率與觀察量自身相關(guān)，導(dǎo)致得出的結(jié)果有所偏差的現(xiàn)象。類似的故事在現(xiàn)實(shí)生活中還有很多：兩條公路總是選到堵車的那條、走到路口時(shí)總是遇到紅燈、選擇隊(duì)伍總是排到更長(zhǎng)的一隊(duì)等，我們?yōu)槭裁纯偸沁@么“倒霉”？

當(dāng)你站在一個(gè)岔路口時(shí)，你面臨著向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)的選擇，而你選擇左轉(zhuǎn)或右轉(zhuǎn)的概率有多大呢？你可能會(huì)認(rèn)為這是一個(gè)隨機(jī)的選擇，兩個(gè)方向的選中概率是均等的。但是，在日常生活中，我們對(duì)道路的選擇實(shí)際上依賴于過(guò)往的經(jīng)驗(yàn)，我們會(huì)判斷哪條路能更快到達(dá)終點(diǎn)、遭遇堵車的可能性是否更大等，依據(jù)判斷，選中其中一個(gè)方向的概率就會(huì)遠(yuǎn)大于另一個(gè)方向。而大多數(shù)人對(duì)道路的判斷是相似的，也就是說(shuō)，會(huì)有更多的人選中同一道路，這樣的話，堵車的概率不就比不堵車的要高得多嗎？統(tǒng)計(jì)學(xué)告訴我們，大多數(shù)人都會(huì)行駛在有更多車的路上，當(dāng)我們?cè)偃ピ儐?wèn)人們，是否常常遭遇堵車時(shí)，也就會(huì)有更多人的答案是肯定的，平均來(lái)看，人們的堵車概率就大大增加了。同樣的道理，在路口遇到紅燈、選中更長(zhǎng)的隊(duì)伍的人更多也不足為奇。

調(diào)查悖論不僅能幫助我們理解“霉運(yùn)”，運(yùn)用這個(gè)規(guī)律，我們還能追蹤疾病的傳播源頭。根據(jù)檢查悖論，你的朋友往往比你本人擁有更多的朋友：假設(shè)有9個(gè)人，其中6人每人有4個(gè)朋友，另外3人每人有12個(gè)朋友。你一開(kāi)始并不認(rèn)識(shí)這9個(gè)人，要與他們成為朋友，哪幾個(gè)人的概率更大一些？與等公交車相似，并不是朋友數(shù)量較少而總?cè)藬?shù)較多的那6人更容易成為你的朋友，而是另外3人。想想很簡(jiǎn)單，你更有可能跟朋友更多的人交朋友，因?yàn)樗麄兊娜穗H關(guān)系網(wǎng)范圍更大，容易結(jié)識(shí)更多的人，成為你的朋友的概率更高。

那么，如何運(yùn)用這個(gè)規(guī)律追蹤傳染疾病源頭呢？科學(xué)家們?cè)?jīng)在美國(guó)哈佛大學(xué)的學(xué)生中做過(guò)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，隨機(jī)選擇一群人，再由這些人各自選擇一位朋友，這群朋友構(gòu)成第二群人。根據(jù)檢查悖論，第二群人的朋友要比第一群人多，他們的交際活動(dòng)更多，據(jù)此推斷，第二群人在流行病爆發(fā)的時(shí)候更容易或更早被感染。流行病學(xué)調(diào)查結(jié)果證實(shí)了這一推斷，流行病在第二群人中爆發(fā)的時(shí)間比第一群人的確實(shí)早了大約兩周。更早找出疾病源頭，這對(duì)于流行病預(yù)防和免疫研究具有重大意義。

生活中，類似“等不到的公交車”這樣的錯(cuò)覺(jué)還有很多，它們可能會(huì)在不知不覺(jué)中改變我們的心態(tài)，影響我們的生活。但其實(shí)，這些所謂的“倒霉事”背后不過(guò)是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)規(guī)律，改變自己慣常的認(rèn)知習(xí)慣，運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)律，可以幫助我們解決大問(wèn)題。