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對(duì)于一個(gè)等腰梯形而言，往往有以下兩種基本圖形，這些也是在壓軸題第一問(wèn)中常見的圖形。當(dāng)題目背景是梯形時(shí)，要做的第一步是“解梯形”，即根據(jù)已知條件求出梯形的底角、上底和腰，這對(duì)于后續(xù)的問(wèn)題解決起到事半功倍的效果。
等腰三角形的存在性問(wèn)題在解決時(shí)可以采取以下路徑：①嘗試?yán)霉垂啥ɡ?、三角形中位線定理或特殊三角形的邊角關(guān)系求出三邊的長(zhǎng)度；②當(dāng)無(wú)法求出三條邊中某一條或某兩條邊時(shí)，可以通過(guò)畫圖，從角的角度切入，這些角往往都是特殊角，其中蘊(yùn)含著等腰直角三角形、30°-60°-90°三角形以及30°-30°-120°等腰三角形，能夠發(fā)現(xiàn)這些特殊三角形，并熟練運(yùn)用其中的邊角關(guān)系是問(wèn)題解決的關(guān)鍵。
解法分析：題目中給出了具體的腰、上底和下底的長(zhǎng)度，就可以解出這個(gè)梯形，即求出底角的度數(shù)和高的長(zhǎng)度。這是在做后面三個(gè)問(wèn)題時(shí)需要先完成的。
本題的第一問(wèn)是用含t的代數(shù)式求出PQ的長(zhǎng)度，可以聯(lián)想構(gòu)造直角三角形，結(jié)合勾股定理求解。
本題的第二問(wèn)是等腰梯形的存在性，此時(shí)PQ//AB，滿足NQ=PM=DP=t。
本題的第二問(wèn)是等腰三角形的存在性，對(duì)于△PNQ而言，它的三邊都可以用含t的代數(shù)式表示，由第一問(wèn)得到了PQ和NQ的長(zhǎng)度，對(duì)于求PN， 可以利用勾股定理求解。
解法分析：本題的背景是等腰梯形及動(dòng)點(diǎn)相結(jié)合的問(wèn)題。本題的第一問(wèn)是求E到BC的距離，只需要過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線即可，利用30°-60°-90°三角形的性質(zhì)求解即可。
本題的第二問(wèn)是求△PMN的周長(zhǎng)，PM和MN的長(zhǎng)度可以借助矩形/平行四邊形的性質(zhì)得到，如何求PN的長(zhǎng)度就成為了難點(diǎn)。以下提供兩種解法：解法1：已知PM=√3，∠PMN=30°，MN=4，可以過(guò)點(diǎn)P作MN的垂線，解△PMN求解PN的長(zhǎng)度。
解法2：過(guò)點(diǎn)N作BC垂線，通過(guò)解直角三角形和矩形性質(zhì)求PN的長(zhǎng)度。
本題的第三問(wèn)是等腰三角形的存在性，需要通過(guò)畫圖進(jìn)行分類討論。在畫圖前，可以發(fā)現(xiàn)：NM//AB，可得∠NMC=∠B=60°，∠NMC=∠C=60°，△MNC為等邊三角形。分為以下三種情況，同時(shí)可以利用等邊三角形和30°-30°-120°等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行問(wèn)題解決。
解法分析：本題的背景是等腰梯形及三角形中位線相結(jié)合的問(wèn)題。本題的第一問(wèn)和第二問(wèn)充分利用等腰梯形的性質(zhì)進(jìn)行解決。由于出現(xiàn)了等腰直角三角形，因此結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行問(wèn)題解決。本題的第二問(wèn)有兩種做法，注意定義域必須寫上x≠0，滿足梯形一組對(duì)邊平行，一組對(duì)邊不平行的條件。
本題的第三問(wèn)是等腰三角形的存在性，首先，先分析條件：
接著，畫出符合條件的圖形，并分析其存在性是否成立：
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