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女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。 前文回顧： 扒一扒布爾代數(shù)創(chuàng)始人的夫人——瑪麗·布爾和曲線縫合：仰望天堂 用LOGO編程語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)曲線縫合 今天探索一種幾何繪圖軟件，將其作為一種簡(jiǎn)單快捷的工具，根據(jù)直尺和圓規(guī)的簡(jiǎn)單已知構(gòu)造，設(shè)計(jì)并繪制出美觀的幾何圖案。對(duì)于試圖通過(guò)藝術(shù)活動(dòng)來(lái)提高對(duì)幾何的興趣的教師，或者對(duì)于參與平面幾何繪圖的有經(jīng)驗(yàn)的和正在經(jīng)歷的數(shù)學(xué)藝術(shù)家來(lái)說(shuō)，該工作坊可能是特別感興趣的。不需要事先了解所使用的軟件Geogebra，但希望與會(huì)者能夠在研討會(huì)期間使用該軟件或同等軟件。 介紹 用直尺和圓規(guī)畫(huà)幾何圖形是兒童在早期學(xué)校接觸幾何圖形的一部分，這門(mén)學(xué)科的名字“繪畫(huà)”暗示了它與視覺(jué)藝術(shù)的聯(lián)系。事實(shí)上，幾何繪畫(huà)一直是畫(huà)家、雕塑家和建筑師知識(shí)的一部分，傳統(tǒng)上是作為一種實(shí)現(xiàn)結(jié)果的工具，正如人們可以在萊昂·巴蒂斯塔·阿爾伯蒂[1]的論文《論繪畫(huà)》中對(duì)透視的描述中看到的那樣，或者作為藝術(shù)品本身，例如在弦藝術(shù)中，這種情況與本次研討會(huì)所涉及的設(shè)計(jì)類型有很好的聯(lián)系。像往常一樣，了解連線藝術(shù)的一個(gè)很好的起點(diǎn)是維基百科關(guān)于這個(gè)主題的頁(yè)面，特別是參考文獻(xiàn)[4]。 雖然直尺和圓規(guī)打開(kāi)了繪圖的多種可能性，但算法非常簡(jiǎn)單，因此它們被教授給兒童，并被編碼在許多幾何軟件中，通常具有相似的界面。在這個(gè)工作坊中，我們使用GeoGebra，一個(gè)為教育目的而設(shè)計(jì)的開(kāi)源免費(fèi)數(shù)學(xué)軟件，特別是直尺和圓規(guī)繪圖，以比實(shí)際使用紙筆更快的速度來(lái)幫助進(jìn)行具有藝術(shù)目的的幾何圖形實(shí)驗(yàn)。有了這個(gè)工具，我們不僅可以更快地進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，因此可以繪制更多更復(fù)雜的任意精度的圖片，從而提高藝術(shù)家或?qū)W生的創(chuàng)作可能性。Geogebra可以在其網(wǎng)站上免費(fèi)獲得[2]。 活動(dòng) 但是能畫(huà)出什么樣的畫(huà)呢？選擇是巨大的，研討會(huì)的目的是提供人們探索可能性所需的工具。但是由于選擇對(duì)于陳述是必要的，我將把會(huì)議的開(kāi)始部分集中在陳述一些基本的結(jié)構(gòu)上，這些結(jié)構(gòu)是在我作為一個(gè)幾何愛(ài)好者的“職業(yè)生涯”開(kāi)始時(shí)由一位數(shù)學(xué)老師向我展示的。目的是展示該軟件從頭開(kāi)始提供的一些有趣的結(jié)構(gòu)的基本工具。例如，通過(guò)細(xì)分一對(duì)線段并正確連接點(diǎn)，可以得到看起來(lái)彎曲的直線(見(jiàn)圖1)，或者繪制多邊形中的所有對(duì)角線，可以繪制“超級(jí)圓”(見(jiàn)圖2)。構(gòu)造應(yīng)僅使用用于構(gòu)建或分割線段、構(gòu)建多邊形、繪制圓或反轉(zhuǎn)線的工具，所有功能都已內(nèi)置在Geogebra的選項(xiàng)中。
圖1：在正交線段上看起來(lái)彎曲的直線
圖2:一個(gè)32邊的超級(jí)圓 觀看如何制作這些構(gòu)造將使參與者熟悉Geogebra的界面和制作圖紙、著色以及使用拖動(dòng)和縮放工具的基本技術(shù)，從而幫助完成困難的設(shè)計(jì)。 在這個(gè)大約半小時(shí)的簡(jiǎn)短開(kāi)場(chǎng)白之后，這個(gè)想法是參與者嘗試使用所展示的軟件和工具畫(huà)出他們自己的東西。重點(diǎn)不是在40分鐘左右的時(shí)間里創(chuàng)作出一幅杰作，而是在一個(gè)受控的環(huán)境中努力繪畫(huà)，在這里你可以與其他參與者互動(dòng)，并與他人和演示者一起解決你的問(wèn)題。我們的目標(biāo)是讓參與者在使用Geogebra進(jìn)行藝術(shù)繪畫(huà)時(shí)擁有自主權(quán)，以允許他們自己進(jìn)行進(jìn)一步的探索。 但是……為了什么 這是一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)或藝術(shù)主題的棘手問(wèn)題，但這是一個(gè)很好的借口來(lái)解決圍繞這些繪畫(huà)的一些背景問(wèn)題。重要的是要強(qiáng)調(diào)，下面的大部分考慮來(lái)自于我作為一個(gè)年輕的學(xué)習(xí)者接觸紙和筆的這種活動(dòng)的個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，并且它們應(yīng)該被如此看待。 從早期學(xué)校教育的角度來(lái)看，這項(xiàng)活動(dòng)具有內(nèi)在的價(jià)值，可以刺激學(xué)生練習(xí)幾何繪畫(huà)。孩子們喜歡做這些美麗的事情，他們可能會(huì)努力畫(huà)更復(fù)雜的畫(huà)，用更多的線，探索新的形狀，只是為了它。他們也可能會(huì)發(fā)展出自己的管理繪圖的方法，因?yàn)橐粋€(gè)人不會(huì)簡(jiǎn)單地拿起鉛筆就畫(huà)出528條線。我記得我的老師給我上了一堂課，教我如何畫(huà)看起來(lái)彎曲的直線，在課結(jié)束時(shí)，她展示了一本相冊(cè)，里面有她以前一些學(xué)生的畫(huà)。在下一堂課上，一群11歲的孩子自發(fā)地畫(huà)了幾個(gè)“超級(jí)圓圈”。 除了這一挑戰(zhàn)方面，展示讓他們更好地了解自己的圖畫(huà)的方法也是很有趣的。計(jì)算每個(gè)圖形中的線數(shù)是一個(gè)簡(jiǎn)單但非常具體的計(jì)數(shù)問(wèn)題，它可能會(huì)以不同的方式呈現(xiàn)出來(lái)，這取決于圖形本身。例如，計(jì)算圖2的“超圓”所需的線數(shù)與求一個(gè)多邊形(包括它的邊)的對(duì)角線的數(shù)目是一樣的，n(n?3)/2+n是n邊的“超圓”，而像圖3這樣的混合圖像中的線數(shù)要簡(jiǎn)單得多，因?yàn)樗蝗Q于一個(gè)人決定向內(nèi)畫(huà)多少層六邊形，但需要一個(gè)更仔細(xì)的繪圖模型才能被計(jì)算，檢查繪圖中到底有多少行被倒置，以及重復(fù)步驟是否可以簡(jiǎn)化計(jì)數(shù)問(wèn)題-由于左側(cè)的繪圖是沿兩個(gè)圓圈倒置，以獲得右側(cè)的圖片，因此計(jì)算第一張繪圖的行數(shù)正好是最終結(jié)果中總行數(shù)的三分之一。 此外，最簡(jiǎn)單的圖畫(huà)提出了平面幾何問(wèn)題，如線的大小、它們的角度，以及一些基于問(wèn)題對(duì)稱性的變換問(wèn)題，這允許教師探索歐幾里得平面幾何中關(guān)于長(zhǎng)度和角度的基本結(jié)果。 對(duì)于更高級(jí)的學(xué)生，可以從概念上甚至從技術(shù)上來(lái)說(shuō)，對(duì)于微積分學(xué)習(xí)者，看起來(lái)彎曲的直線是平面中曲線包絡(luò)族的例子，也就是說(shuō)，它們是由以下方程給出的曲線的切線族:
F(t，x，y)表示由參數(shù)t索引的曲線族的方程。 最常見(jiàn)的例子是出現(xiàn)在最簡(jiǎn)單的線條圖中的拋物線，如圖1所示，但另一條曲線，星形曲線，其特征完全是這樣的曲線，所有切線都定義了第一象限中相同長(zhǎng)度的線段，或者換句話說(shuō)，是由連接兩條正交線的一族等長(zhǎng)線段包圍的曲線。星形線是一個(gè)有趣的例子，因?yàn)樗欢x為一條被一族容易繪制的線段包圍的曲線。這兩個(gè)例子的計(jì)算可以在維基百科的包絡(luò)曲線頁(yè)面上找到[3]。 一個(gè)有趣的附注是，如果一個(gè)人試圖通過(guò)迭代構(gòu)造來(lái)達(dá)到拋物線和星狀線這兩個(gè)例子，它們的行為不同：拋物線的包絡(luò)隨著圖中線條數(shù)量的增加而改變其形狀，而星狀線的包絡(luò)在所有步驟中都粘在曲線上。 另一方面，對(duì)于藝術(shù)家來(lái)說(shuō)，繪圖軟件的使用提供了一個(gè)快速探索圖片的寶貴機(jī)會(huì)，從而產(chǎn)生一個(gè)更加動(dòng)態(tài)的創(chuàng)作過(guò)程，允許快速改進(jìn)。此外，有些結(jié)構(gòu)太復(fù)雜，無(wú)法手工制作，但用計(jì)算機(jī)是可能的，特別是用它的放大/縮小工具和保存宏的可能性，如反轉(zhuǎn)。例如，圖3(右側(cè))是在Geogebra上直接制作的，在嵌套六邊形(左側(cè))的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)上反復(fù)使用“反轉(zhuǎn)”工具。當(dāng)然，我不能用手反轉(zhuǎn)所有的線條來(lái)保持圖畫(huà)的整潔，特別是添加顏色。不過(guò)，Geogebra在幾個(gè)小時(shí)內(nèi)就允許了這個(gè)過(guò)程。
圖3：我給出的一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)和藝術(shù)之間的關(guān)系的微型課程的標(biāo)志(右)，是通過(guò)將嵌套的六邊形(左)相對(duì)于一個(gè)圓反演而獲得的。 參考文獻(xiàn) [1] L. B. Alberti, “Da Pintura”, translation by Antonio da Silveira Mendona, 2nd ed. (1999), Editora da Unicamp. [2] Geogebra’s website is http://www./ (as of Feb. 14, 2016). [3] Wikipedia entry on ”Envelope (Mathematics)” is available at http://en./wiki/Envelope_(mathematics) (as of Feb. 14, 2016). [4] Wikipedia entry on “String Art” is available at http://en./wiki/String_art (as of Feb. 14, 2016). [5] Vladmir Sicca, Euclid’s Digital Elements: Straightedge and Compass Softwares as Aid for Geometrical Design 青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。 轉(zhuǎn)發(fā)隨意，轉(zhuǎn)載請(qǐng)聯(lián)系張大少本尊，聯(lián)系方式請(qǐng)見(jiàn)公眾號(hào)底部菜單欄。 |
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