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3月14日是π日，π就是圓周率。圓周率與費(fèi)馬大定理也有一定的聯(lián)系。為了證明這個(gè)費(fèi)馬大定理，人類前赴后繼挑戰(zhàn)了三個(gè)世紀(jì)，多次震驚全世界，耗盡人類眾多最杰出大腦的精力，也讓千千萬(wàn)萬(wàn)業(yè)余者癡迷。
費(fèi)馬大定理最早的出處——丟番圖的《算術(shù)》大約在1637年左右，法國(guó)學(xué)者費(fèi)馬在閱讀丟番圖《算術(shù)》拉丁文譯本時(shí)，曾在第11卷第8命題旁寫道：“將一個(gè)立方數(shù)分成兩個(gè)立方數(shù)之和，或一個(gè)四次冪分成兩個(gè)四次冪之和，或者一般地將一個(gè)高于二次的冪分成兩個(gè)同次冪之和，這是不可能的。關(guān)于此，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下?！弊源?，一場(chǎng)對(duì)于費(fèi)馬大定理之證明的追逐與挑戰(zhàn)開啟，直到英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯手中，這個(gè)史上最深?yuàn)W的數(shù)學(xué)謎題才得以完全解開?！顿M(fèi)馬大定理:一個(gè)困惑了世間智者358年的謎》講述了懷爾斯經(jīng)過(guò)數(shù)年秘密辛苦的工作，終于解決了挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題的艱辛旅程，并來(lái)回穿插著歷代數(shù)學(xué)家是如何挑戰(zhàn)這個(gè)數(shù)學(xué)之謎的故事。而承認(rèn)π是一個(gè)無(wú)理數(shù)，也是提出費(fèi)馬大定理這一問(wèn)題的基礎(chǔ)，今天就讓我們來(lái)看看，π是如何被發(fā)現(xiàn)和承認(rèn)的吧。歐幾里得生于公元前330年左右。與畢達(dá)哥拉斯一樣，歐幾里得只是為數(shù)學(xué)本身而探求數(shù)學(xué)真理，在他的著作中并不尋求應(yīng)用。有一個(gè)故事講到，有個(gè)學(xué)生問(wèn)歐幾里得他正在學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)有什么用處，當(dāng)講課一結(jié)束，歐幾里得就轉(zhuǎn)身向他的奴仆說(shuō)：“給這個(gè)孩子一個(gè)硬幣，因?yàn)樗朐趯W(xué)習(xí)中獲得實(shí)利。”然后這個(gè)學(xué)生就被驅(qū)逐了。歐幾里得一生的大量時(shí)間花在撰寫《幾何原本》（Elements）這本有史以來(lái)最成功的教科書上。直到20世紀(jì)之前，它是世界上僅次于《圣經(jīng)》的第二本暢銷書。《幾何原本》共有13卷，其中一部分寫的是歐幾里得自己的工作，其余部分則收集了當(dāng)時(shí)所有的數(shù)學(xué)知識(shí)，包括有2卷全部寫的是畢達(dá)哥拉斯兄弟會(huì)的研究工作。自畢達(dá)哥拉斯以后的幾個(gè)世紀(jì)中，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)發(fā)明了許多可以應(yīng)用于不同場(chǎng)合的邏輯推理方法，歐幾里得嫻熟地在《幾何原本》中使用了這些方法。特別是歐幾里得利用了一種被稱為“反證法”的邏輯武器，這種方法圍繞這樣一個(gè)有點(diǎn)不合情理的想法展開：企圖證明某個(gè)定理是真的，但首先假定它是假的；然后數(shù)學(xué)家去探討由于定理是假的而產(chǎn)生的邏輯結(jié)果。在邏輯鏈的某個(gè)環(huán)節(jié)上會(huì)出現(xiàn)一個(gè)矛盾（例如，2+2=5），而數(shù)學(xué)不能容忍矛盾，于是原來(lái)的定理不可能是假的，也就是說(shuō)它是真的。英國(guó)數(shù)學(xué)家G.H.哈代在他的《一個(gè)數(shù)學(xué)家的自白》這本書中概括了反證法的精髓：“歐幾里得如此深愛(ài)的反證法是數(shù)學(xué)家最精妙的武器之一。它是比任何弈法更為精妙的棄子取勝法：棋手可能犧牲一只卒子甚至更大的棋子以取勝，而數(shù)學(xué)家則犧牲整個(gè)棋局?！?/span>歐幾里得的一個(gè)最著名的反證法確立了所謂的“無(wú)理數(shù)”的存在性。也有人懷疑無(wú)理數(shù)最初是畢達(dá)哥拉斯兄弟會(huì)在幾個(gè)世紀(jì)前發(fā)現(xiàn)的，只是由于畢達(dá)哥拉斯如此地厭惡這個(gè)概念以致他否認(rèn)了這種數(shù)的存在。當(dāng)畢達(dá)哥拉斯聲稱天地萬(wàn)物是由數(shù)支配的時(shí)候，他所指的數(shù)只是總稱為有理數(shù)的整數(shù)以及整數(shù)的比（分?jǐn)?shù)）。無(wú)理數(shù)是既不是整數(shù)又不是分?jǐn)?shù)的數(shù)，這就是無(wú)理數(shù)使畢達(dá)哥拉斯如此驚駭?shù)脑?。事?shí)上無(wú)理數(shù)是這樣奇特，它們不能被寫成小數(shù)，即使是循環(huán)小數(shù)。像0.111 11…這樣的循環(huán)小數(shù)實(shí)際上是一個(gè)相當(dāng)簡(jiǎn)單的數(shù)，它等于分?jǐn)?shù)1／9。數(shù)字“1”永遠(yuǎn)重復(fù)這個(gè)事實(shí)意味著這個(gè)小數(shù)有非常簡(jiǎn)單的規(guī)則的構(gòu)成方式。這種規(guī)則性，盡管它無(wú)限次地延續(xù)，仍意味著這個(gè)小數(shù)可以被重新寫成為一個(gè)分?jǐn)?shù)。然而，如果你企圖將一個(gè)無(wú)理數(shù)表示為一個(gè)分?jǐn)?shù)，那么最終會(huì)是一個(gè)構(gòu)成方式毫無(wú)規(guī)則的（或者說(shuō)非一貫的）永遠(yuǎn)延續(xù)下去的數(shù)。無(wú)理數(shù)的概念是一個(gè)重大的突破。數(shù)學(xué)家們當(dāng)時(shí)正在尋找、發(fā)現(xiàn)或者說(shuō)發(fā)明整數(shù)和分?jǐn)?shù)以外的新的數(shù)。19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家利奧波德·克羅內(nèi)克說(shuō)：“上帝創(chuàng)造了整數(shù);其余則是我們?nèi)祟惖氖铝??！?/span>最著名的無(wú)理數(shù)是π。在學(xué)校里，它有時(shí)被近似為3.14；然而，π真正的值接近于3.14159265358979323846，但即使這個(gè)值也只不過(guò)是一個(gè)近似值。事實(shí)上，π不可能被精確地寫出，因?yàn)樾?shù)位會(huì)永遠(yuǎn)延續(xù)下去且無(wú)任何模式。這種隨機(jī)的模式有一個(gè)美妙的特點(diǎn)，51即它可以利用一個(gè)極有規(guī)則的方程來(lái)計(jì)算：π=411-13+15-17+19-111+113-115+…。通過(guò)計(jì)算開首的幾項(xiàng)，你會(huì)得到π的一個(gè)非常粗糙的值，但若計(jì)算越來(lái)越多的項(xiàng)，就會(huì)達(dá)到越來(lái)越準(zhǔn)確的值。雖然知道π的39個(gè)小數(shù)位就足以計(jì)算銀河系的周界使其準(zhǔn)確到一個(gè)氫原子的半徑，但這并不能阻止計(jì)算機(jī)科學(xué)家們將π計(jì)算到盡可能多的小數(shù)位。當(dāng)前的紀(jì)錄是由東京大學(xué)的金田康正保持的，他于1996年將π算到60億個(gè)小數(shù)位。最近的傳聞暗示，在紐約的俄國(guó)人丘德諾夫斯基兄弟已經(jīng)將π算到80億個(gè)小數(shù)位，他們的目標(biāo)是達(dá)到1萬(wàn)億個(gè)小數(shù)位。但即使金田或者丘德諾夫斯基兄弟繼續(xù)計(jì)算直到他們的計(jì)算機(jī)耗盡世界上所有的能量為止，他們也仍然不會(huì)找到π的準(zhǔn)確值。由此不難理解為什么畢達(dá)哥拉斯要將這些難以駕馭的數(shù)的存在性隱瞞起來(lái)。當(dāng)歐幾里得大膽面對(duì)《幾何原本》第10卷中的無(wú)理性問(wèn)題時(shí)，其目標(biāo)是證明可能存在永不能寫成為一個(gè)分?jǐn)?shù)的數(shù)。他并沒(méi)有嘗試證明π是無(wú)理數(shù)，而代之以研究2的平方根2——自身相乘后等于2的數(shù)。為了證明2不可能寫成一個(gè)分?jǐn)?shù)，歐幾里得使用了“反證法”，并從假定它能寫成一個(gè)分?jǐn)?shù)開始著手。然后他證明這個(gè)假定的分?jǐn)?shù)總能簡(jiǎn)化。分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)化意指，例如，分?jǐn)?shù)812經(jīng)過(guò)用2去除分子和分母可以簡(jiǎn)化成46。接著46可以簡(jiǎn)化成23，而23再也不能簡(jiǎn)化，因而這個(gè)數(shù)被認(rèn)為是812的最簡(jiǎn)形式。然而，歐幾里得證明了他假定的代表2的那個(gè)分?jǐn)?shù)可以無(wú)限多次地反復(fù)簡(jiǎn)化但不會(huì)化成它的最簡(jiǎn)形式。這是荒謬的，因?yàn)橐磺蟹謹(jǐn)?shù)最終一定有它的最簡(jiǎn)形式。因而，這個(gè)假定的分?jǐn)?shù)不可能存在。于是，2不可能寫成一個(gè)分?jǐn)?shù)，所以是一個(gè)無(wú)理數(shù)，附錄2中給出了歐幾里得的證明的概要。使用了反證法，歐幾里得得以證明無(wú)理數(shù)的存在，這是第一次使數(shù)具有了一種嶄新的、更為抽象的性質(zhì)。在這以前，一切數(shù)都可以表示成整數(shù)或分?jǐn)?shù)，而歐幾里得的無(wú)理數(shù)向這種傳統(tǒng)的表示法發(fā)起了挑戰(zhàn)。除了把2的平方根表示成2之外，沒(méi)有其他的方法來(lái)描述這個(gè)數(shù)，因?yàn)樗荒軐懗梢粋€(gè)分?jǐn)?shù)。而企圖將它寫成一個(gè)小數(shù)的結(jié)果永遠(yuǎn)只能是它的一個(gè)近似值，例如1.414213562373……對(duì)畢達(dá)哥拉斯來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)的美在于有理數(shù)（整數(shù)和分?jǐn)?shù)）能解釋一切自然現(xiàn)象。這種起指導(dǎo)作用的哲學(xué)觀使畢達(dá)哥拉斯對(duì)無(wú)理數(shù)的存在視而不見(jiàn)，甚至導(dǎo)致他的一個(gè)學(xué)生被處死。有個(gè)故事說(shuō)，一個(gè)名叫希帕索斯的年輕學(xué)生出于無(wú)聊擺弄起數(shù)2來(lái)，試圖找到等價(jià)的分?jǐn)?shù)，最終他認(rèn)識(shí)到根本不存在這樣的分?jǐn)?shù)，也就是說(shuō)，2是一個(gè)無(wú)理數(shù)。希帕索斯想必對(duì)他的發(fā)現(xiàn)喜出望外，但他的老師卻并不如此。畢達(dá)哥拉斯已經(jīng)用有理數(shù)解釋了天地萬(wàn)物，無(wú)理數(shù)的存在會(huì)引起對(duì)他的信念的懷疑。希帕索斯的洞察力獲得的結(jié)果一定經(jīng)過(guò)了一段時(shí)間的討論和深思熟慮，在此期間畢達(dá)哥拉斯本應(yīng)承認(rèn)這個(gè)新的數(shù)源。然而，畢達(dá)哥拉斯不愿意承認(rèn)自己是錯(cuò)的，同時(shí)他又無(wú)法借助邏輯推理的力量來(lái)推翻希帕索斯的論證。使他終身羞恥的是他判決將希帕索斯淹死。這位邏輯和數(shù)學(xué)方法之父寧可訴諸暴力而不承認(rèn)自己是錯(cuò)的。畢達(dá)哥拉斯對(duì)無(wú)理數(shù)的否認(rèn)是他最不名譽(yù)的行為，也可能是希臘數(shù)學(xué)最大的悲劇。只有在他死后無(wú)理數(shù)才得以安全地被提及。雖然歐幾里得明顯地對(duì)數(shù)論有興趣，但這不是他對(duì)數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)。歐幾里得真正的愛(ài)好是幾何學(xué)?！稁缀卧尽?3卷中的第1到第5卷集中寫平面（二維的）幾何學(xué)，而第11卷到13卷則處理立體（三維的）幾何學(xué)。它是如此完整的一套知識(shí)，以至于《幾何原本》的內(nèi)容在以后的2000年內(nèi)構(gòu)成中學(xué)和大學(xué)中幾何課程的基本內(nèi)容。在數(shù)論方面，編纂了有同樣價(jià)值的教科書的數(shù)學(xué)家是亞歷山大的丟番圖，他是希臘數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的最后一位衛(wèi)士。雖然丟番圖在數(shù)論方面的成就完好地記載在他的書中，但是關(guān)于這位杰出數(shù)學(xué)家的其他方面人們差不多一無(wú)所知。他的誕生地不詳，他到達(dá)亞歷山大的時(shí)間可能是五個(gè)世紀(jì)中的任何一年。一方面，在他的著作中丟番圖引用了海普西克爾斯的話，因而他一定生活在公元前150年之后;另一方面，他自己的工作又被亞歷山大的西奧所引用，因而他一定生活在364年以前。250年前后這段日期一般被認(rèn)為是合理的估計(jì)。流傳下來(lái)的丟番圖的生平是以謎語(yǔ)的形式敘述的，很適合解題者的口味，據(jù)說(shuō)曾被鐫刻在他的墓碑上：上帝恩賜他生命的16為童年；再過(guò)生命的112，他雙頰長(zhǎng)出了胡子；再過(guò)17后他舉行了婚禮；婚后5年他有了一個(gè)兒子。唉，不幸的孩子，只活了他父親整個(gè)生命的一半年紀(jì)，便被冷酷的死神帶走。他以研究數(shù)論寄托他的哀思，4年之后他離開了人世。挑戰(zhàn)是算出丟番圖的壽命，這個(gè)謎語(yǔ)是丟番圖喜愛(ài)的那類問(wèn)題中的一個(gè)例子。他的專長(zhǎng)是解答要求整數(shù)解的問(wèn)題，在現(xiàn)今，這一類問(wèn)題被稱為丟番圖問(wèn)題。他在亞歷山大的生涯是在收集易于理解的問(wèn)題以及創(chuàng)造新的問(wèn)題中度過(guò)的，然后他將它們?nèi)繀R集成一部書名為“算術(shù)”的重要論著。組成《算術(shù)》的13卷書中，只有6卷逃過(guò)了歐洲中世紀(jì)黑暗時(shí)代的騷亂幸存下來(lái)，繼續(xù)激勵(lì)著文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)家們，包括皮埃爾·德·費(fèi)馬在內(nèi)。其余的7卷在一系列的悲劇性事件中遺失。這些事件使數(shù)學(xué)倒退回巴比倫時(shí)代。從歐幾里得到丟番圖之間的幾個(gè)世紀(jì)中，亞歷山大一直是文明世界的知識(shí)之都，但在這段時(shí)期里，該城不斷地處于外敵的威脅之下。第一次大攻擊發(fā)生在公元47年，當(dāng)時(shí)愷撒大帝企圖推翻克婁巴特拉，放火焚燒了亞歷山大艦隊(duì)。位于港灣附近的圖書館也被累及，成萬(wàn)冊(cè)圖書被毀壞。對(duì)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，幸運(yùn)的是克婁巴特拉很賞識(shí)知識(shí)的重要性，決心還圖書館昔日的輝煌。馬克·安東尼認(rèn)識(shí)到圖書館是通向知識(shí)心臟的途徑，因而進(jìn)軍帕加馬城。這個(gè)城市已經(jīng)開始興建一座圖書館，并希望會(huì)給這個(gè)圖書館提供世界上最豐富的藏書，但是安東尼卻將全部藏書轉(zhuǎn)移到埃及，恢復(fù)了亞歷山大的最高地位。在接下來(lái)的四個(gè)世紀(jì)中，圖書館繼續(xù)收藏圖書直到389年它遭受到兩次致命打擊中的第一次打擊為止，這兩次打擊都起因于宗教的偏見(jiàn)。命令亞歷山大的主教狄?jiàn)W菲盧斯毀壞一切異教的紀(jì)念物。不幸的是，當(dāng)克婁巴特拉重建和重新充實(shí)亞歷山大圖書館時(shí)，她決定將它放在塞拉皮斯神廟之內(nèi)，因而對(duì)圣壇和圣像的破壞就殃及圖書館?！爱惤獭钡膶W(xué)者們?cè)噲D挽救六個(gè)世紀(jì)積累的知識(shí)財(cái)富，但是來(lái)不及做任何事就被基督教的暴徒們屠殺。向著中世紀(jì)愚昧黑暗時(shí)代的沉淪開始了。一些最重要的書籍的珍本幸免于基督教徒的襲擊，學(xué)者們繼續(xù)來(lái)到亞歷山大尋求知識(shí)。然后在642年，一場(chǎng)伊斯蘭教的進(jìn)攻成功地打敗了基督教徒。當(dāng)問(wèn)及應(yīng)該如何處置圖書館時(shí)，獲勝的哈里發(fā)奧馬爾命令凡是違反《古蘭經(jīng)》的書籍都應(yīng)銷毀，而那些與《古蘭經(jīng)》相符的書籍則是多余的，也必須銷毀。那些手稿被用作公共浴室加熱爐的燃料，希臘的數(shù)學(xué)化為煙灰。丟番圖的絕大部分著作被毀滅了，這并不令人驚奇。實(shí)際上，《算術(shù)》中的6卷能設(shè)法逃過(guò)亞歷山大的這一場(chǎng)慘劇倒是一個(gè)奇跡。隨后的一千年中，西方的數(shù)學(xué)處于停滯狀態(tài)，只有少數(shù)的印度和阿拉伯的杰出人物使這門學(xué)科繼續(xù)生存下去。他們復(fù)制了幸存下來(lái)的希臘手稿中描述的公式，然后他們自己著手重新創(chuàng)造許多遺失的定理。費(fèi)馬大定理：一個(gè)困惑了世間智者358年的謎 [英]西蒙·辛格 著 薛密 譯 廣西師范大學(xué)出版社 | 上海貝貝特 2022-2 
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