如何用行列式計算橢圓的面積

我是天選小丑 2022-03-15

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本文節(jié)選自《馬同學(xué)圖解線性代數(shù)》，了解更多細(xì)節(jié)，請點擊下方的“閱讀原文”。

同學(xué)們大家好，今天我們來學(xué)習(xí)如何用行列式計算橢圓的面積。

1 中學(xué)的思路

在中學(xué)的時候，我們是這樣推導(dǎo)的。設(shè)橢圓的焦點在 $x$ 軸上，半長軸和半短軸為 $a,b$ ，則它的圖像是這樣的。

在里面畫上一個單位圓

直觀上，我們可以看出，它是單位圓在 $x$ 軸上增長 $a$ 倍， $y$ 軸上增長 $b$ 倍形成的

如果，把單位圓看成是若干個矩形組成的。

那么，在圓變成橢圓的過程中，就是把矩形的兩條邊增大了 $a$ 倍和 $b$ 倍。

這樣橢圓的面積就是單位圓的 $ab$ 倍,從而得出橢圓面積為 $\pi ab$ ： $橢圓的面積=\underbrace{單位圓的面積}_{\pi\times1^2}\times a\times b =\pi ab$ 這個方法雖然很直觀，但缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性。比如肉眼可見的，左邊部分的矩形并沒填滿圓，右邊部分的矩形又超過了圓。

2 思想

下面，我們借用線代的工具來完成橢圓面積的推導(dǎo)，思路還是剛剛那個思路。將單位圓在 $x$ 軸上增長 $a$ 倍， $y$ 軸上增長 $b$ 倍形成橢圓

只是把這段過程，用矩陣來描述

假如我們可以將圓與橢圓用向量來表示，并且求解出變換矩陣 $\boldsymbol{A}$ 。那么根據(jù)行列式的幾何意義可以知道，變換后的面積，比上變換前的面積，就等于行列式。這樣

$橢圓面積=|\boldsymbol{A}|*單位圓面積$

3 圓和橢圓的表示

思路有了，下面開始具體操作。首先寫出圓的參數(shù)方程,因為單位圓的半徑為1，所以其參數(shù)方程為

據(jù)此，將它改寫成一個二維向量

$\begin{cases}x=\cos\theta\\y=\sin\theta\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix}$ 這個向量存在在二維平面中，當(dāng) $\theta$ 取具體值時，它就是平面上的一個點,當(dāng) $\theta$ 在 $0$ 到 $2\pi$ 范圍內(nèi)變化時，它就是圓

同樣的，根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，可以寫出其向量形式

圓和橢圓現(xiàn)在都已經(jīng)寫成向量形式了，下面就還剩下映射矩陣需要求解

4 求解矩陣

要求解這個矩陣，還是要回到單位圓變橢圓的思路上來

可以看到，這個變化過程分為兩步，第一步是在橫向上拉長 $a$ 倍,第二步就是在豎直方向上拉長 $b$ 倍

這樣，很容易看出兩次變換所用的矩陣

繼而求出變換矩陣

將它作用在單位圓上,得到的結(jié)果和剛剛橢圓的表達(dá)式相同。

$\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\cos\theta\\b\sin\theta\end{pmatrix}$ 這再次說明了變換矩陣就是 $\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}$ 。

5 結(jié)論

最后，根據(jù)行列式的幾何意義可知

$橢圓面積=|\boldsymbol{A}|*單位圓面積$

將 $\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}=ab$ ,單位圓面積= $\pi$ 帶入上式可得

$橢圓面積=\pi ab$