在前面的文章里，我們已經(jīng)介紹了關(guān)于等腰三角形和直角三角形存在性問題的一般解決方法和常見題型，本文繼續(xù)介紹——平行四邊形存在性問題．

01

坐標系中的平行四邊形

考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：

（1）對應邊平行且相等；

（2）對角線互相平分．

這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運用在在坐標系中：

（1）對邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為：

可以理解為點B移動到點A，點C移動到點D，移動路徑完全相同．

（2）對角線互相平分轉(zhuǎn)化為：

可以理解為AC的中點也是BD的中點．

【小結(jié)】雖然由兩個性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實可以化為統(tǒng)一：

當AC和BD為對角線時，結(jié)果可簡記為：A+C=B+D（各個點對應的橫縱坐標相加）

以上是對于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當有一問：若坐標系中的4個點A、B、C、D滿足“A+C=B+D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形？

反例如下：

之所以存在反例是因為“四邊形ABCD是平行四邊形”與“AC、BD中點是同一個點”并不是完全等價的轉(zhuǎn)化，故存在反例．

雖有反例，但并不影響運用此結(jié)論解題，在拋物線條件下的平四存在性基本不會出現(xiàn)共線的情況．另外，還需注意對對角線的討論：

（1）四邊形ABCD是平行四邊形：AC、BD一定是對角線．

（2）以A、B、C、D四個點為頂點是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論．

02

兩類題型

平行四邊形存在性問題通?？煞譃椤叭ㄒ粍印焙汀皟啥▋蓜印眱纱箢悊栴}．

三定一動

引例：已知A（1，2）、B（5，3）、C（3，5），在坐標系內(nèi)確定點D使得以A、B、C、D四個點為頂點的四邊形是平行四邊形．

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兩定兩動

引例：已知A（1，1）、B（3，2），點C在x軸上，點D在y軸上，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求C、D坐標．

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03

動點概述

“三定一動”的動點和“兩定兩動”的動點性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動”中動點是在平面中，橫縱坐標都不確定，需要用兩個字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動點”，而有一些動點在坐標軸或者直線或者拋物線上，用一個字母即可表示點坐標，稱為“半動點”．

從上面例子可以看出，雖然動點數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個字母表示出4個點坐標．若把一個字母稱為一個“未知量”也可理解為：全動點未知量=半動點未知量×2．

找不同圖形的存在性最多可以有幾個未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個未知量．究其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：

（1）對邊平行且相等；

（2）對角線互相平分．

但此兩個性質(zhì)統(tǒng)一成一個等式：

兩個等式，只能允許最多存在兩個未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個未知量．

由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知動點設計，由動點設計可化解問題．

04

以確定邊、對角線為前提

有一類問題中，根據(jù)題目給的條件可判斷某條線段為邊或者對角線，若某線段為邊，則可通過構(gòu)造對邊平行且相等解決問題．若某線段為對角線，則可通過構(gòu)造對角線互相平分解決問題．

2019宜賓中考

【已知邊平行，構(gòu)造相等】

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax2-2x+c與直線y=kx+b都經(jīng)過A（0，-3）、B（3,0）兩點，該拋物線的頂點為C．

（1）求此拋物線和直線AB的解析式；

（2）設直線AB與該拋物線的對稱軸交于點E，在射線EB上是否存在一點M，過M作x軸的垂線交拋物線于點N，使點M、N、C、E是平行四邊形的四個頂點？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）設點P是直線AB下方拋物線上的一動點，當△PAB面積最大時，求點P的坐標，并求△PAB面積的最大值．

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2018河南中考刪減

【已知邊平行，構(gòu)造相等】

如圖，拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C．直線y=x-5經(jīng)過點B、C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點A的直線交直線BC于點M．當AM⊥BC時，過拋物線上一動點P（不與點B，C重合），作直線AM的平行線交直線BC于點Q，若以點A，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標．

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2018郴州中考刪減

【已知對角線，構(gòu)造平分】

如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A（-1,0），B（3,0）兩點，與y軸交于C點，點P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個動點，且點P的橫坐標為t．

（1）求拋物線的表達式；

（2）設拋物線的對稱軸為l，l與x軸的交點為D．在直線l上是否存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

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05

關(guān)于動點的討論

大部分平行四邊形存在性問題還是需要我們?nèi)シ诸愑懻撎剿鲃狱c位置，有的時候看圖并不一定能準確找出所求可能存在的動點，所以根據(jù)點坐標滿足的條件列方程計算，不失為一種簡潔的方法．

2018恩施中考刪減

【三定一動】

如圖，已知拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于C點，A點坐標為（-1,0），OC=2，OB=3，點D為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P為坐標平面內(nèi)一點，以B、C、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形，求P點坐標．

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2018濟寧中考刪減

【兩定兩動：x軸+拋物線】

如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（3,0），B（-1,0），C（0，-3）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點Q在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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2019包頭中考刪減

【兩定兩動：對稱軸+拋物線】

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A（-1,0），B（3,0）兩點，與y軸交于點C，連接BC．

（1）求該拋物線的解析式，并寫出它的對稱軸；

（2）若點N為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點M，使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

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2019咸寧中考刪減

【兩定兩動：直線+拋物線】

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-1/2x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=-1/2x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點且與x軸的負半軸交于點C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）已知E、F分別是直線AB和拋物線上的動點，當B，O，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出所有符合條件的E點的坐標．

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2019連云港中考刪減

【兩定兩動：拋物線+拋物線】

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線L1：y=x2+bx+c過點C（0.-3），與拋物線L2：y=-1/2x2-3/2x+2的一個交點為A，且點A的橫坐標為2，點P、Q分別是拋物線L1、L2上的動點．

（1）求拋物線L1對應的函數(shù)表達式；

（2）若以點A、C、P、Q為頂點的四邊形恰為平行四邊形，求出點P的坐標．

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2019錦州中考刪減

【4動點構(gòu)造】

如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=-3/4x+3的圖像與x軸交于點A，與y軸交于B點，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點，在第一象限的拋物線上取一點D，過點D作DC⊥x軸于點C，交直線AB于點E．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式

（2）F是第一象限內(nèi)拋物線上的動點（不與點D重合），點G是線段AB上的動點．連接DF，F(xiàn)G，當四邊形DEGF是平行四邊形且周長最大時，請直接寫出點G的坐標．

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見識了這么多平四存在性問題，不難發(fā)現(xiàn)，對于常規(guī)題，動點最多也就兩個，不管是在坐標軸上還是直線、拋物線上，總是能夠用字母表示出來，表示出了點坐標，接下來就是計算的故事了~