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一  如圖所示，學(xué)生點(diǎn)數(shù)的不是長(zhǎng)度，而是面積。學(xué)生往往會(huì)混淆圖形周長(zhǎng)與面積概念。真正難理解的是面積概念。 二 面積是包含于一定邊界內(nèi)7的二維平面的量。 兒童常常在不理解面積概念的情況下學(xué)習(xí)規(guī)則，僅僅是把兩個(gè)長(zhǎng)度乘起來。 學(xué)前兒童需要發(fā)展對(duì)二維排列的理解，能夠把兩個(gè)長(zhǎng)度解釋為這些排列緯度的測(cè)量值。最后一句難理解，個(gè)人理解，理解用兩個(gè)長(zhǎng)度值（乘積就合二為一）表示一個(gè)二維排列的測(cè)量值（面積）。 面積測(cè)量的概念： 面積的屬性：給二維空間或平面的量以某種定量。 建立單位的基本概念： 1.平等分割：把二維空間分割為等面積部分（常常是全等）的心理操作。 插一個(gè)題外話，下圖書中提到“紙餅干”，想起之前看到臺(tái)灣省王圣昌老師在一份教學(xué)設(shè)計(jì)里出現(xiàn)過多處“分餅干”，當(dāng)時(shí)我還提出“餅干易碎”不宜作為平均分學(xué)具或情境……有可能他指的就是“紙餅干”。  2.單位重復(fù)：理解并使用相等單位的重復(fù)策略進(jìn)行面積測(cè)量。兒童需要把二維空間建構(gòu)成一個(gè)有組織的單位陣列來完成面積計(jì)算中的思維操作。 3.累積和加法：圖形可以分解或組合成相同面積的區(qū)域。 4.構(gòu)建空間：兒童需要建構(gòu)一個(gè)陣列，真正從二維角度理解面積。 守恒：面積守恒，一個(gè)區(qū)域被分割重組等操作后，面積不變。 三 初始的面積概念-建構(gòu)陣列-理解和實(shí)施精確的面積測(cè)量 兒童學(xué)會(huì)建立一種對(duì)面積的乘法理解。個(gè)人以為，這種理解非常非常難，即便到了小學(xué)畢業(yè)，仍會(huì)有一部分學(xué)生不能真正理解長(zhǎng)方形面積用長(zhǎng)寬乘積的道理所在。 學(xué)前兒童經(jīng)歷一系列夯基活動(dòng)，讓兒童在心理上把一個(gè)區(qū)域分割為能夠數(shù)數(shù)的相等子區(qū)域。 簡(jiǎn)單點(diǎn)數(shù)單位來發(fā)現(xiàn)面積-規(guī)則教學(xué) 四 面積測(cè)量的學(xué)習(xí)路徑： 1.前面積量的識(shí)別：表現(xiàn)出一些特定的面積概念。  2.面積量識(shí)別：感知到空間內(nèi)的物體和空間。 3.物體覆蓋和計(jì)數(shù)：關(guān)注到結(jié)構(gòu)的某些特征，并能夠完全覆蓋它。   4.完全覆蓋和計(jì)數(shù)：畫出完全覆蓋一個(gè)特定區(qū)域的圖，沒有任何空隙或重疊，近似于若干行。  5.面積單位的關(guān)系和重疊：定量。兒童按行點(diǎn)數(shù)單個(gè)的單位?；谀撤N直覺的行或列的結(jié)構(gòu)畫出完整覆蓋圖。認(rèn)識(shí)到不同面積大小的單位會(huì)形成不同測(cè)量值。 6.最初的組合結(jié)構(gòu)：把一個(gè)正方形單位既看作一個(gè)單位，也看作單位構(gòu)成的一個(gè)成分。對(duì)空間形成結(jié)構(gòu)需要圖畫支持。  7.面積的行列結(jié)構(gòu)：能夠分解和重組部分單位形成的一個(gè)整體的單位。大多具備面積守恒以及面積相加的組合推理。  8.陣列結(jié)構(gòu)：通過對(duì)兩個(gè)維度進(jìn)行線性測(cè)量或其他類似指標(biāo)，以在一行或一列中重復(fù)倍數(shù)的方式來判斷面積。對(duì)長(zhǎng)方形面積公式有抽象理解。無需繪畫。 五 物理上體積測(cè)量有兩條路徑： 1.用正方體單位“塞滿”一個(gè)類似于三維陣列的空間。 2.用重復(fù)某種流體單位的方式充滿某個(gè)三維空間，該流體單位表示了某種容器的形狀。 六 體積測(cè)量的學(xué)習(xí)路徑： 1.體積量的識(shí)別：識(shí)別體積或容積屬性。 2.體積填充：能夠比較容器的大小。小容器（小體積）填充大容器（大體積）并點(diǎn)數(shù)數(shù)量。能夠通過身體或心理的校準(zhǔn)比較物體。能夠至少引用物體的兩個(gè)維度。能夠借助第三個(gè)容器比較，作傳遞性推理。 3.體積計(jì)量：初步的空間結(jié)構(gòu)化能力。通過物理上或心理上對(duì)三維的校準(zhǔn)和對(duì)三維清晰的認(rèn)知，完成物體的比較。 4.體積單位的關(guān)系和重復(fù)：用簡(jiǎn)單的單位去填充容器，能精準(zhǔn)地計(jì)數(shù)。清楚地在大小和單位數(shù)量之間建立聯(lián)系。 5.最初的三維組合結(jié)構(gòu)：把立方體理解為對(duì)空間的填充，但沒有使用分層和乘法的思維。能夠通過重復(fù)鋪滿整個(gè)空間，會(huì)解釋內(nèi)部或隱藏的立方體。能夠分解空間。 6.三維的行和列的結(jié)構(gòu)：能夠靈活協(xié)調(diào)體積的填充、平鋪和建構(gòu)性特征。比較偏愛加法，初步的乘法比較。 7.三維陣列結(jié)構(gòu)：長(zhǎng)方體體積公式有一個(gè)抽象的理解。偏愛乘法比較、坐標(biāo)比較、復(fù)雜的加法比較。建構(gòu)或繪畫不再必需。 七 自始至終，應(yīng)該明確討論長(zhǎng)度測(cè)量、面積測(cè)量和體積測(cè)量中單位結(jié)構(gòu)的相似之處和差異之處。 角的概念理解：1.由同一點(diǎn)延伸出的兩條射線所形成的圖形；2.把一條線或一個(gè)平面與另一條線或平面建立重合或平行關(guān)系所需要的旋轉(zhuǎn)量。我第一次見到第二種理解，很有意思，很數(shù)學(xué)，把角度轉(zhuǎn)化成平行關(guān)系來表述。 上圖中“迷思概念”與臺(tái)灣省的“迷思”，是怎樣的先后傳承關(guān)系？多半是臺(tái)灣省引用美國(guó)的。這里的“迷思概念”與先前提到的臺(tái)灣省使用的“保留概念”很相似。 八 角和旋轉(zhuǎn)測(cè)量的學(xué)習(xí)路徑： 1.對(duì)角的直覺建構(gòu)：在日常情境中能直覺使用某些角度測(cè)量的概念。 2.對(duì)角的隱性使用：隱性地使用某些角概念——包括平行和垂直。 3.角的匹配：能正確對(duì)角進(jìn)行匹配。情境中清晰辨別平行和非平行。能把角分為大的和小的。 4.角度大小的比較：把角和角的大小與形狀和情境區(qū)別開，并比較角的大小。不同方向上識(shí)別直角和其他大小的等角。簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)。 5.角度的測(cè)量：在兩個(gè)主要方面理解角和角的測(cè)量，并根據(jù)角和角的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)化的、可概括的概念和過程來表征多種情境。 九  |
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