只有在研究高速運(yùn)動的物體時才需要狹義相對論嗎？

許多介紹相對論的科普文章和教科書都以相對論力學(xué)為主要介紹對象，這一方面是因?yàn)榱W(xué)研究的對象更貼近人們的生活，另一方面也是為了方便“炫耀”相對論的神奇，以便把“時間旅行”、“回到未來”這些荒誕不經(jīng)的幻想和薛定諤的那只貓一樣，推上大眾文化的餐桌，反復(fù)消費(fèi)。其實(shí)，狹義相對論是19世紀(jì)下半葉科學(xué)家們在研究電磁現(xiàn)象的時候逐步建立起來的。在筆者看來，對電磁現(xiàn)象而言，狹義相對論的出現(xiàn)非常自然和必要，相反非相對論的電磁世界才是荒唐且不合邏輯的。實(shí)際上，狹義相對論的提出，正是為了統(tǒng)一力學(xué)世界和電磁世界中關(guān)于參照系變換截然不同的觀念^[1]。讓我們先從相對性原理講起。

相對性原理是一條自然界的公理，即物理規(guī)律在任何慣性參照系下都保持一致。我們很容易檢驗(yàn)，經(jīng)典的牛頓力學(xué)滿足相對性原理。在通過伽利略變換，把時空坐標(biāo)從一個參照系變換到另一個參照系后，物體的坐標(biāo)、速度、動量等都會發(fā)生改變；但決定這些物理量演化的規(guī)律保持相同的形式，即牛頓三大定律在不同的慣性系下保持完全一樣的形式。比如牛頓第一定律：當(dāng)一個物體處于不受力的狀態(tài)時，它的速度保持不變。在實(shí)驗(yàn)室參照系S下牛頓第一定律可以寫成u=常數(shù)?，F(xiàn)在假設(shè)一個以速度v相對于實(shí)驗(yàn)室參照系勻速直線運(yùn)動的S′系，根據(jù)牛頓力學(xué)背后的絕對時空觀，我們可以用如下伽利略變換建立不同慣性系下的坐標(biāo)(x，y，z，t)和(x′，y′，z′，t′)之間的關(guān)系：x′=x-vt；y′=y；z′=z；t′=t，并得到在S′系下牛頓第一定律的形式為u′=u-v=常數(shù)。可以看到，雖然在不同慣性系下觀察者分別測到不同的速度u和u′，但不受外力的物體的運(yùn)動速度在各自的參考系下均保持不變，這一運(yùn)動學(xué)規(guī)律的形式是完全一致的。  

從上面的例子可以看到，相對性原理在牛頓力學(xué)中是非常顯然的。但是在電磁世界里則完全相反：如果還是堅(jiān)持牛頓力學(xué)的絕對時空觀，用伽利略變換來聯(lián)系不同慣性系的話，相對性原理是顯然不成立的?；蛘咭部梢赃@樣說，要使電磁現(xiàn)象的規(guī)律滿足相對性原理，我們需要時空坐標(biāo)以不同于伽利略變換的方式變換。下面就來看一個非常簡單的例子^[2]，假設(shè)在實(shí)驗(yàn)室系S中有一個試探點(diǎn)電荷被置于在一根沿著z方向的通電導(dǎo)線的附近x處，試探電荷保持靜止，導(dǎo)線保持電中性并通以電流I=env，其中n是導(dǎo)線中電子的線密度，v是電子的漂移速度。在S系的觀測者看來，導(dǎo)線中的電子以-v的速度沿著反方向運(yùn)動而正電荷保持靜止，從而形成 z方向的電流I，又由于電子和正電荷的線密度相等，都為n，因此正負(fù)電荷完全抵消，導(dǎo)線是電中性的。根據(jù)電磁學(xué)知識，我們可以輕松得到試探電荷處的磁場強(qiáng)度。由于我們考慮的試探電荷在實(shí)驗(yàn)室系中處于靜止?fàn)顟B(tài)，因而受到的洛倫茲力嚴(yán)格為零；再加上導(dǎo)線是電中性的，在試探電荷處不產(chǎn)生任何電場，在實(shí)驗(yàn)室系的觀測者看來，試探電荷受到的總的電磁力嚴(yán)格為零，電荷不會產(chǎn)生任何運(yùn)動。總結(jié)一下，在S系的觀測者看來，  

下面讓我們換到另一個慣性參照系S′來觀測同一個物理過程?，F(xiàn)在我們選擇的參照系是以導(dǎo)線中電子的漂移速度-v沿著導(dǎo)線勻速運(yùn)動的參照系。如果按照牛頓力學(xué)的觀點(diǎn)對時空坐標(biāo)做如下伽利略變換：

那么在S′參照系的觀察者看來，試探電荷以v的速度運(yùn)動，導(dǎo)線中的電子是靜止的，而正電荷以v 的速度沿著導(dǎo)線運(yùn)動。根據(jù)電流的定義，我們得到在S′系的電流I′不變，還是等于S系中觀測到的電流I，同時導(dǎo)線依然是電中性的，從而產(chǎn)生與S系中一樣的電磁場?，F(xiàn)在我們可以總結(jié)一下對這一問題進(jìn)行伽利略變換得到的結(jié)果：在S′系中觀測到的電磁場嚴(yán)格等于在S系中的電磁場，也就是在伽利略變換下電磁場不變 E′ = E, B′ = B ，因?yàn)楫a(chǎn)生它們的“源”：電流和電荷密度都不變。但是，原先在S系中靜止的試探電荷，在S′系的觀測者看來以v的速度沿著導(dǎo)線方向運(yùn)動，從而受到一個指向?qū)Ь€的大小的洛倫茲力，并向著導(dǎo)線方向加速運(yùn)動。

現(xiàn)在問題來了，同一個物理過程，實(shí)驗(yàn)室參照系S和運(yùn)動參照系S′的兩個觀察者得出截然不同的結(jié)論！一個認(rèn)為試探電荷不受力，與導(dǎo)線之間的距離保持不變；另一個卻認(rèn)為試探電荷會受力并加速運(yùn)動。這個簡單的案例，給出了對一個經(jīng)典電磁學(xué)問題用伽利略變換進(jìn)行時空坐標(biāo)變換的一個佯謬。那么到底誰對誰錯，又是在哪個環(huán)節(jié)出了問題？是相對性原理不適用于電磁現(xiàn)象？還是伽利略變換不適用于電磁現(xiàn)象？

這是19世紀(jì)末物理學(xué)界最令人抓狂的問題，最后由那一代物理學(xué)家中的杰出代表洛倫茲、龐加萊和愛因斯坦等給出了令人信服的答案——狹義相對論。針對上述佯謬，答案應(yīng)該是S系中觀察者的觀點(diǎn)是對的，電荷不受力。那么S′系的觀察者做錯了哪一點(diǎn)呢？問題出在從S系到S′系的時空坐標(biāo)變換。狹義相對論告訴我們，在兩個慣性參照系之間，嚴(yán)格的時空坐標(biāo)變換形式是洛倫茲變換而不是伽利略變換，無論對力學(xué)現(xiàn)象還是電磁現(xiàn)象都是如此。只是對于牛頓力學(xué)研究的宏觀物體來說，伽利略變換是在低速 (遠(yuǎn)低于光速) 下的很好近似。然而對于電磁場這樣的規(guī)范場來講，它對應(yīng)的微觀粒子——光子是無質(zhì)量的，如果要保留電磁場方程自身的動力學(xué)，在任何情況下伽利略變換都不是一個物理上可接受的近似。比如上述佯謬就是一個典型案例，哪怕運(yùn)動速度v遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于光速，這個問題還是一樣存在，是定性而非定量的錯誤問題。實(shí)際上對S′參照系中的觀測者來說，他觀測到的電流I′并不等于I，更重要的是他測到的導(dǎo)線不再是電中性的而是帶有均勻的電荷密度ρ′！正是電荷密度ρ′產(chǎn)生的徑向電場嚴(yán)格抵消掉了磁場產(chǎn)生的洛倫茲力，使得S′參照系中的觀測者得到跟S系中一樣的總力嚴(yán)格為零的結(jié)論，從而滿足相對性原理。

接下來我們仔細(xì)介紹一下如何用洛倫茲變換來解決上述佯謬。首先利用洛倫茲變換寫出分別在實(shí)驗(yàn)室參考系S和運(yùn)動參考系S′中測到的時空坐標(biāo)(x，y，z，t)和(x′，y′，z′，t′)之間的變換關(guān)系：

用一個簡單的物理假設(shè)來理解導(dǎo)線中的電流I，就是在實(shí)驗(yàn)室系S中，導(dǎo)線中的電子一個個間隔均勻排列并以勻速-v沿著z方向運(yùn)動，而正電荷也以同樣的均勻的間隔排列并保持靜止。在這一假想實(shí)驗(yàn)中，我們設(shè)定S系中的觀測者測得導(dǎo)線是電中性的，即在S系中負(fù)電荷之間的間隔d_-嚴(yán)格等于正電荷之間的間隔d ，設(shè)d_-=d =d，對應(yīng)的正負(fù)電荷線密度的絕對值為，電流為。

結(jié)果是，在S′系的觀測者同樣得出試探電荷受力為零的結(jié)果，相對性原理得到滿足。注意，在上面的推導(dǎo)中我們用到了光速c的定義。從上面的結(jié)果可以看出，不管速度v的數(shù)值有多小，只有正確地運(yùn)用洛倫茲變換，不同參照系的觀測者們才能達(dá)成一致。在一個參照系里的觀測者只看到磁場，而在另一個系里的觀測者則同時測到磁場和電場，不同參照系下的場量不一樣，但滿足各自參照系下完全一樣的麥克斯韋方程組，這就叫相對論協(xié)變性。那么洛倫茲變換能不能做低速近似呢？當(dāng)然是可以的，洛倫茲變換形式中含有v/c因子，可以做小量展開，最低階是一階，也就是把上式中所有的γ因子都近似成1。但從上面這個簡單的例子可以看出，即使對v/c展開到一階，電磁場E和B也要發(fā)生變化，對電磁場來說，洛倫茲變換的低速極限永遠(yuǎn)不是伽利略變換。同時，也要提醒大家，如果把洛倫茲變換展開到v/c的一階，那么相對論協(xié)變性也只滿足到v/c的一階。下面，我們就以推導(dǎo)動體介質(zhì)的電動力學(xué)方程為例，來介紹一下如何利用洛倫茲變換的低速展開來研究具體的電磁學(xué)問題。需要指出的是，在20世紀(jì)初，這一問題是啟發(fā)愛因斯坦思考相對論的重要問題，并最后由閔可夫斯基完美收官。但對于21世紀(jì)的我們來說，這就是一道典型的電動力學(xué)習(xí)題。這就像第一個造出輪子的人一定是天才，而第二個嘛可以算是個好學(xué)生，前提是他也能造得足夠圓。

曾在香港科技大學(xué)教了10年電動力學(xué)的杜勝望老師曾對我提起，這一點(diǎn)他每次上課都是反復(fù)提醒，所以我們系畢業(yè)的學(xué)生大概是不會弄錯了。為什么要那么較真，反復(fù)強(qiáng)調(diào)這個概念呢？這是因?yàn)橐獜?qiáng)調(diào)介質(zhì)里的電磁場是獨(dú)立的，并按照統(tǒng)一(跟真空中完全一樣的)動力學(xué)規(guī)律演化的實(shí)實(shí)在在的物質(zhì)，不是依附于介質(zhì)的附庸，所以當(dāng)介質(zhì)開始運(yùn)動的時候，其中的電磁場不會“月亮走我也走”，寸步不離地跟著介質(zhì)一起運(yùn)動。這一點(diǎn)跟介質(zhì)中的聲波存在本質(zhì)的不同。

在介質(zhì)中，電磁場會進(jìn)一步引起電磁響應(yīng)，即P和M，傳統(tǒng)電磁學(xué)里將P和M所對應(yīng)的極化電荷密度和分子電流密度與自由電荷產(chǎn)生的電荷/電流密度分開處理，因此定義了兩個新的場量D和H，

原則上這兩個介質(zhì)中的輔助場量 (auxiliary fields) 由介質(zhì)中的電磁場E和B自洽確定，而P，M和E，B(或者H)之間的關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系，對于大部分介質(zhì)來說，這個關(guān)系展開到線性就基本夠用了，稱為線性介質(zhì)。而這些線性介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系傳統(tǒng)上由介電常數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ來刻畫 (真空的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為ε₀和μ₀)。定義D=εE，B=μH，并由此得到P=(ε-ε₀)E，M=和如下“閔可夫斯基形式”的麥克斯韋方程組：

其中，ρ_f和J_f分別代表自由電荷/電流密度。前面已經(jīng)介紹過普適麥克斯韋方程組在洛倫茲變換下是協(xié)變的，即保持方程形式不變，只要把所有在方程里出現(xiàn)的量，包括場、時空坐標(biāo)和對時空坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)都從不帶撇的參照系換到帶撇的就行。那么動體電動力學(xué)方程如果是一道習(xí)題的話，它的題面是什么呢？在這里，我們把它嚴(yán)格地寫在下面。

動體介質(zhì)電動力學(xué)問題：已知一種電磁介質(zhì)，其特性在靜止時由介電函數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ來刻畫，求當(dāng)這塊介質(zhì)以勻速v相對于實(shí)驗(yàn)室參照系運(yùn)動時所對應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系。

接下來跟前面一樣，我們把實(shí)驗(yàn)室參照系記為S，把隨著介質(zhì)一起運(yùn)動的參照系記為S′。由于在S′中介質(zhì)保持靜止，其電磁學(xué)特性由ε和μ來刻畫，為了解決上述動體介質(zhì)電動力學(xué)問題，只要簡單地做一個從S′系到S系的參照系變換就行。在近期的討論中，也有同學(xué)提出如果有多塊運(yùn)動介質(zhì)怎么辦？其實(shí)這正是使用實(shí)驗(yàn)室參照系的優(yōu)勢，不管有多少塊介質(zhì)以不同的速度運(yùn)動，都可以變換到唯一的實(shí)驗(yàn)室參考系來統(tǒng)一描述。下面，我們就用洛倫茲變換來解決這個問題。從前面這個特殊例子，可以知道在洛倫茲變換下，電磁場E，B和源場電荷/電流密度ρ和J都必須跟著變，這里我們先給出嚴(yán)格的洛倫茲變換下場和源的正變換和逆變換形式：

并且我們已知在S′系中的本構(gòu)關(guān)系為

現(xiàn)在要求在S系中的電磁學(xué)方程。已經(jīng)知道，S系中電磁學(xué)方程的形式還是一樣的麥克斯韋方程組，唯一不清楚的就是S系里的本構(gòu)關(guān)系。這也很容易求，只要在洛倫茲變換下將S′系的P′和M′變換到S系的P和M就行了。下面就來求這個變換關(guān)系。先看電極化密度P。根據(jù)定義，體系里的極化分子貢獻(xiàn)的宏觀極化強(qiáng)度可以表達(dá)為，其中δV(R)為空間坐標(biāo)R處的體積元，求和 i 遍歷該體積元內(nèi)的所有極性分子，δr_i代表第i個分子正負(fù)電荷中心之間的位移矢量。在S系中介質(zhì)中的極性分子以v的速度沿著x軸運(yùn)動，而在S′系中則是靜止的，將我們在上一節(jié)中對電荷密度的分析應(yīng)用于此，可以得到和，由此可以得到這部分的貢獻(xiàn)在變換以后平行分量不變，而垂直分量要乘以一個γ因子。同時，在S系中除了上面考慮的極化分子會貢獻(xiàn)宏觀極化強(qiáng)度外，以速度v運(yùn)動的分子電流也會對總極化強(qiáng)度產(chǎn)生額外的貢獻(xiàn)。這部分貢獻(xiàn)可以這樣計(jì)算。首先在S′系中與磁化強(qiáng)度M′(r′)對應(yīng)的分子電流為J′_m=?′×M′(r′)，由上述電流/電荷密度變換關(guān)系，變換到S系以后會產(chǎn)生額外的電荷密度為。由此，很容易證明這部分額外電荷密度分布對極化強(qiáng)度的貢獻(xiàn)為。將上述兩部分相加，得到S系中的電極化強(qiáng)度：

利用磁化強(qiáng)度與微觀分子電流之間的關(guān)系，我們可以類似地得到磁化強(qiáng)度在不同參照系之間的變換關(guān)系，這里不做詳細(xì)的推導(dǎo)，有興趣的讀者可以參考相關(guān)文獻(xiàn)^[4]，最簡潔漂亮的推導(dǎo)可以在泡利的Theory of Relativity中找到。與電極化強(qiáng)度類似，在S系中的磁化強(qiáng)度也有兩項(xiàng)貢獻(xiàn)，除了常規(guī)的分子電流帶來的磁化以外，運(yùn)動介質(zhì)中電極化場的運(yùn)動效應(yīng)也將帶來額外的貢獻(xiàn)，兩項(xiàng)相加可以得到：

下一步，我們利用S′系中已知的靜態(tài)介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系將P′和M′表示成E′和B′，然后再利用上述洛倫茲變換將E′和B′變換成E，B，最后將表達(dá)式里所有的γ都近似成1，就得到了精確到v/c一階的S系中的本構(gòu)關(guān)系如下^[5]，

閔可夫斯基于1907年得到了上述方程。它的物理含義非常簡潔明了，假設(shè)一塊介質(zhì)在靜止的時候可以用介電函數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ來描述其電磁特性，那么當(dāng)它以速度v運(yùn)動時，就成為了一塊具有“磁電”效應(yīng)的介質(zhì)，也就是說磁場可以誘導(dǎo)出電極化，而電場也能誘導(dǎo)出磁極化，這種磁電耦合強(qiáng)度，與介質(zhì)和真空中的光速倒數(shù)平方之差成正比，也與介質(zhì)運(yùn)動的速度v成正比。當(dāng)然，在這個簡單的例子中，我們只討論了最簡單的均勻線性介質(zhì)，在閔可夫斯基之后的一百多年時間里，又有不少文獻(xiàn)討論了各種更復(fù)雜的情況，比如非均勻介質(zhì)和包括變形和轉(zhuǎn)動在內(nèi)的廣義運(yùn)動介質(zhì)等。但無論是什么復(fù)雜的情況，麥克斯韋方程組的協(xié)變性都不會受介質(zhì)運(yùn)動影響，運(yùn)動介質(zhì)帶來的影響只能體現(xiàn)在本構(gòu)關(guān)系上，這是閔可夫斯基運(yùn)動介質(zhì)電動力學(xué)理論最精髓的所在。介質(zhì)運(yùn)動帶來的最低階修正正比于介質(zhì)運(yùn)動速度的一次方，完全是相對論效應(yīng)。

類似的，還有另一類電磁學(xué)問題是與隨時間緩變的電流分布相關(guān)，在這類問題中，可以把磁場強(qiáng)度和電流密度看作零階量，把橫向電場看作一階小量，而把電荷密度與電場這兩者隨時間的變化率看作二階小量予以忽略 (等價于問題中電流密度的散度為零) 。這種近似就是磁極限準(zhǔn)靜態(tài)近似或者“磁學(xué)伽利略電磁學(xué)”，使得我們可以在安培定律中忽略掉位移電流的貢獻(xiàn)。在這種近似中，t 時刻的磁場強(qiáng)度H(t)完全由同一時刻t 的無散度電流分布J(r, t)通過解瞬時靜磁學(xué)問題來得到，磁極限準(zhǔn)靜態(tài)近似下的麥克斯韋方程組如下：

在凝聚態(tài)物理中，求解金屬中等離激元 (plasmon) 的方程就是典型的“電學(xué)伽利略電磁學(xué)”，而求解超導(dǎo)體中磁通運(yùn)動的方程則是典型的“磁學(xué)伽利略電磁學(xué)”。

那么現(xiàn)在問題來了，上述兩套準(zhǔn)靜態(tài)極限下的近似方程滿足伽利略變換嗎？關(guān)于這個問題的討論，在20世紀(jì)的許多文獻(xiàn)里是非?；靵y的。在我們給出明確的回答之前首先要澄清一下這些問題，即“當(dāng)我們在說某個方程組滿足伽利略變換的時候，我們到底在說什么”？在許多文獻(xiàn)^[7，8]里，作者實(shí)際上是在說這樣一個邏輯過程。第一步，對時空坐標(biāo)做伽利略變換，然后問需要對電磁場和源場做什么樣的相應(yīng)變換可以保持變換后的方程形式不變，通過這一條件得到場和源的變換關(guān)系。這么做其實(shí)是在反推洛倫茲變換中場和源的變換方式在滿足上述準(zhǔn)靜態(tài)條件時的近似形式。但問題是源場，也就是電荷密度和電流密度，可以由微觀帶電粒子的坐標(biāo)和運(yùn)動速度完全確定，所以它們的變換形式是可以通過伽利略變換直接得到的，不必通過電磁學(xué)方程不變這個條件反推。那么，只有通過上述過程反推出來的電荷密度和電流密度的變換形式與伽利略變換直接得到的一致，才可以說這樣的近似方程組滿足伽利略變換，如果不一致則說明這里面有不自洽之處，源的變換關(guān)系不能通過伽利略變換得到。

先來看電極限的準(zhǔn)靜態(tài)方程組在伽利略變換下的行為，相關(guān)綜述文獻(xiàn)^[9]中給出如果要求電極限的準(zhǔn)靜態(tài)方程組在伽利略變換下不變，在做時空坐標(biāo)變換的同時，場和源必須同時做如下變換，

 

從中我們可以看出電荷密度和電流密度的變換關(guān)系與通過伽利略變換直接得到的完全一致，因此電極限下的準(zhǔn)靜態(tài)方程組的確滿足伽利略變換。這在物理上也很好理解，在這組方程下t 時刻的電磁場完全由同時刻下的電荷密度分布ρ(r, t)和電流密度分布J(r, t)決定，電磁場自身獨(dú)立的動力學(xué)特征被完全忽略以至于成為物質(zhì)場ρ(r, t)和J(r, t)的“附屬場”，從而滿足伽利略變換。

對于磁極限下的準(zhǔn)靜態(tài)方程，綜述文獻(xiàn)中也給出了場和源的變換關(guān)系如下。

如果要求磁極限的準(zhǔn)靜態(tài)方程組在伽利略變換下不變，在做時空坐標(biāo)變換的同時，

很明顯，這里要求的源場，即電荷密度和電流密度的變換關(guān)系完全不能由伽利略變換直接得到。因此，磁極限準(zhǔn)靜態(tài)近似下的變換關(guān)系不能看作是跟伽利略變換自洽的，事實(shí)上它只能通過對洛倫茲變換做低速展開，并忽略掉上述情況下場量的高階小量才能得到。這一有趣的電和磁的不對稱性是有其深刻物理含義的，偉大的物理學(xué)家費(fèi)曼在其《費(fèi)曼物理學(xué)講義》第二卷第一章中系統(tǒng)地闡述了這種電磁不對稱性，并指出磁現(xiàn)象在本質(zhì)上是完全相對論性的，不存在“非相對論磁學(xué)”，我們擬另文專門展開討論這一問題。另外，我們還要指出一點(diǎn)，無論是電極限還是磁極限下的“伽利略電磁學(xué)”，本質(zhì)上都是在某些特殊條件下徹底忽略電磁場自身的動力學(xué)，而不是對電磁場動力學(xué)去做各種錯誤的“近似”。最后，利用變換(16)和(17)，讀者可以自己再去做一遍上文中運(yùn)動介質(zhì)中的電動力學(xué)問題，會發(fā)現(xiàn)得到的結(jié)果與正確的閔可夫斯基形式(13)并不一致，這也是由于在“伽利略電磁學(xué)”中忽略電磁場動力學(xué)所導(dǎo)致的。

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