根號(hào)-1等于多少？上過(guò)高中的人都知道，它不是實(shí)數(shù)，而是虛數(shù)，一般寫(xiě)作i。復(fù)數(shù)就是形如z = x + yi的數(shù)，其中x和y是兩個(gè)實(shí)數(shù)。請(qǐng)問(wèn)，復(fù)數(shù)是不是描述物理世界所必需的？這個(gè)問(wèn)題意外的深?yuàn)W，最近剛剛由中國(guó)科學(xué)家得到一個(gè)明確的答案（http://news.ustc.edu.cn/info/1055/78317.htm）。

在二十世紀(jì)之前，普遍的看法是，復(fù)數(shù)只是一種數(shù)學(xué)構(gòu)造，并不是物理理論的必需。例如用復(fù)數(shù)可以方便地描述波動(dòng)或者電路，但這只是一種數(shù)學(xué)技巧。完全用實(shí)數(shù)也足以描述這些現(xiàn)象，只是稍微麻煩一點(diǎn)而已。因?yàn)檎f(shuō)到底，可觀測(cè)的所有物理量都是實(shí)數(shù)，例如位置、動(dòng)量、角動(dòng)量、質(zhì)量。實(shí)際上，“虛數(shù)”這個(gè)名字就隱含著“跟現(xiàn)實(shí)無(wú)關(guān)”的意思。

然而二十世紀(jì)初，量子力學(xué)出現(xiàn)之后，情況發(fā)生了翻天覆地的變化。量子力學(xué)里描述一個(gè)體系的數(shù)學(xué)形式叫做波函數(shù)，往往寫(xiě)作ψ，它是一個(gè)復(fù)函數(shù)。量子力學(xué)里的基本方程叫做薛定諤方程，它是一個(gè)復(fù)數(shù)方程。薛定諤的墓碑上就刻著這個(gè)方程，i ? ψ dot = H ψ。你看，第一個(gè)字母就是虛數(shù)單位i！

所以一百年來(lái)，包括我在內(nèi)的所有學(xué)過(guò)量子力學(xué)的人，都記住了復(fù)數(shù)是量子力學(xué)里必不可少的。楊振寧先生評(píng)論過(guò)：“量子力學(xué)是人類(lèi)歷史上一個(gè)大革命，發(fā)展以后，發(fā)現(xiàn)基本物理里頭要用到i = 根號(hào)-1。念過(guò)高中數(shù)學(xué)的人，恐怕還記得這個(gè)i。它在量子力學(xué)以前也出現(xiàn)過(guò)，可是不是基本的，只是一個(gè)工具。到了量子力學(xué)發(fā)展以后，它就不只是個(gè)工具，而是一個(gè)基本觀念了。為什么基礎(chǔ)物理學(xué)必須用這個(gè)抽象的數(shù)學(xué)觀念：虛數(shù)i，現(xiàn)在沒(méi)有人能解釋。”

你可能會(huì)問(wèn)，難道量子力學(xué)里的物理量不是實(shí)數(shù)了嗎？難道你會(huì)測(cè)得一個(gè)體系的位置或動(dòng)量是虛數(shù)嗎？回答是不會(huì)，量子力學(xué)仍然會(huì)保證所有這些量都是實(shí)數(shù)，——在經(jīng)過(guò)一系列的復(fù)數(shù)運(yùn)算之后。這就是量子力學(xué)的精妙之處。例如單粒子的波函數(shù)ψ是一個(gè)關(guān)于粒子坐標(biāo)x, y, z的函數(shù)，ψ在(x, y, z)這一點(diǎn)的絕對(duì)值的平方就是粒子出現(xiàn)在這一點(diǎn)的概率密度。復(fù)數(shù)取了絕對(duì)值當(dāng)然就是實(shí)數(shù)了，大家明白這意思了吧？

然而，一直有些理論家在努力地嘗試把量子力學(xué)純粹用實(shí)數(shù)表達(dá)出來(lái)。也就是說(shuō)，他們希望把復(fù)數(shù)在量子力學(xué)中的作用降低到在波動(dòng)理論或電路理論中的水平，即有用但非本質(zhì)。其實(shí)對(duì)于單粒子體系，這樣的理論很容易構(gòu)造。因?yàn)橐粋€(gè)復(fù)數(shù)就相當(dāng)于兩個(gè)實(shí)數(shù)，一個(gè)實(shí)部加一個(gè)虛部，所以把變量數(shù)目加倍就行了。用專(zhuān)業(yè)語(yǔ)言說(shuō)，就是把希爾伯特空間的維度加倍，這樣就可以構(gòu)造一個(gè)跟標(biāo)準(zhǔn)理論完全等價(jià)的純實(shí)數(shù)理論。

然而量子力學(xué)最奇妙的地方并不在于單粒子，而在于多個(gè)粒子之間的量子糾纏。大家看我最近出版的科普書(shū)《量子信息簡(jiǎn)話(huà)》，就可以明白量子糾纏是什么意思，它為什么如此奇妙。

用專(zhuān)業(yè)語(yǔ)言說(shuō)，量子糾纏推翻了“局域?qū)嵲谡摗?，即真?shí)世界或者不是局域的，或者不是實(shí)在的，或者兩者都不是。所以對(duì)于純實(shí)數(shù)理論來(lái)說(shuō)，真正的考驗(yàn)在于，它能不能跟標(biāo)準(zhǔn)理論同樣好地描述量子糾纏？

近年來(lái)，這方面的努力取得了出人意料的進(jìn)展（https://www./articles/d41586-021-03678-x）。如果兩個(gè)糾纏的粒子由同一個(gè)粒子源產(chǎn)生，但分開(kāi)測(cè)量，實(shí)數(shù)理論能不能描述呢？2008年得到了結(jié)論：它可以。然后人們又問(wèn)：如果同一個(gè)粒子源產(chǎn)生任意多個(gè)糾纏的粒子，然后分開(kāi)測(cè)量，實(shí)數(shù)理論能不能描述呢？2013年又得到了結(jié)論：它仍然可以！

算上最初的單粒子體系，實(shí)數(shù)理論已經(jīng)連闖了三關(guān)。這時(shí)人們開(kāi)始猜測(cè)，也許它可以通過(guò)所有考驗(yàn)，也就是說(shuō)，對(duì)于任何可以設(shè)想的實(shí)驗(yàn)，實(shí)數(shù)理論都可以得到跟標(biāo)準(zhǔn)理論相同的結(jié)論。假如真是這樣，復(fù)數(shù)在量子力學(xué)中的作用就不是本質(zhì)的了，教科書(shū)就要修改了。

然而，真正出人意料的是，實(shí)數(shù)理論氣勢(shì)如虹的進(jìn)展居然被阻止了！

2021年12月15日，西班牙、奧地利、瑞士科學(xué)家Renou等人在《Nature》發(fā)表文章，標(biāo)題是《基于實(shí)數(shù)的量子理論可以被實(shí)驗(yàn)證偽》（Quantum theory based on real numbers can be experimentally falsified）（https://www./articles/s41586-021-04160-4）。他們指出，可以構(gòu)造這樣的實(shí)驗(yàn)：兩個(gè)粒子源各自產(chǎn)生一對(duì)糾纏粒子，然后送到三個(gè)探測(cè)器。一號(hào)粒子源產(chǎn)生的是A和B1，二號(hào)粒子源產(chǎn)生的是B2和C。A和C分別進(jìn)入最左邊和最右邊的探測(cè)器，而B(niǎo)1和B2進(jìn)入中間的探測(cè)器，在這里對(duì)這兩個(gè)粒子進(jìn)行一個(gè)糾纏態(tài)的測(cè)量，也就是說(shuō)強(qiáng)迫這兩個(gè)原本不糾纏的粒子變得糾纏起來(lái)。這個(gè)過(guò)程叫做“糾纏交換”，因?yàn)樽罱K會(huì)導(dǎo)致兩端的A和C也產(chǎn)生了糾纏。奧地利科學(xué)家證明了，這個(gè)過(guò)程用實(shí)數(shù)理論是無(wú)法描述的。無(wú)論把實(shí)數(shù)理論怎么修改，對(duì)某些值的預(yù)測(cè)都會(huì)跟標(biāo)準(zhǔn)理論的預(yù)測(cè)值有區(qū)別。

實(shí)驗(yàn)框架提出來(lái)了，下一步就是真正去做實(shí)驗(yàn)了。2022年1月，中國(guó)的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)組就用兩種物理體系實(shí)現(xiàn)了這個(gè)測(cè)量。我的中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)同事潘建偉院士、陸朝陽(yáng)教授、朱曉波教授等人和西班牙塞維利亞大學(xué)Cabello教授合作，用的是超導(dǎo)體系。南方科技大學(xué)范靖云、楊勝軍、李正達(dá)等人和電子科技大學(xué)王子竹以及西班牙、瑞士、奧地利等國(guó)家的科學(xué)家合作，用的是光學(xué)體系。

南科大團(tuán)隊(duì)實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景

兩個(gè)實(shí)驗(yàn)都得到了否定實(shí)數(shù)理論的結(jié)論，只是否定的力度不一樣（https://baijiahao.baidu.com/s?id=1723374973319653921）。中科大的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是以43個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差排除了實(shí)數(shù)理論，這是一個(gè)高得驚人的置信度，因?yàn)?個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差下統(tǒng)計(jì)誤差的概率就只有千萬(wàn)分之三了，43個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差簡(jiǎn)直是實(shí)錘的八次方。而南科大的實(shí)驗(yàn)結(jié)果只有4.5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，置信度就低了一點(diǎn)，當(dāng)然這跟體系有關(guān)。但無(wú)論對(duì)于哪種物理體系，這都是難度很高的實(shí)驗(yàn)。兩個(gè)實(shí)驗(yàn)組都展現(xiàn)了高超的技術(shù)，這些技術(shù)會(huì)在很多領(lǐng)域發(fā)揮作用。

中科大團(tuán)隊(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

這些實(shí)驗(yàn)說(shuō)明，復(fù)數(shù)仍然是量子力學(xué)中不可或缺的。例如，美國(guó)物理學(xué)會(huì)對(duì)此的評(píng)論文章標(biāo)題就是《量子力學(xué)必須是復(fù)數(shù)的》（Quantum mechanics must be complex）（https://physics./articles/v15/7）。經(jīng)過(guò)一輪否定之否定，我們?cè)俅未_認(rèn)了教科書(shū)上的標(biāo)準(zhǔn)理論。然而，我們的世界為什么會(huì)需要復(fù)數(shù)？背后有什么深層的原因？這啟發(fā)我們更多的思考與探索。

最后說(shuō)一句，有些媒體沒(méi)有搞明白這些研究的背景，例如說(shuō)“如果復(fù)數(shù)有物理意義而不再是數(shù)學(xué)工具，整個(gè)物理學(xué)的根基都會(huì)改變了”。實(shí)際上，學(xué)過(guò)量子力學(xué)就會(huì)知道，這個(gè)改變?cè)缫言谝话倌昵鞍l(fā)生過(guò)了！