19世紀的歐洲是一個科學發(fā)展的黃金年代，自牛頓去世之后，因為牛頓與萊布尼茨的吵架，使得英國出現(xiàn)了一段時期在數(shù)學領域的閉關鎖國，因此在數(shù)學界執(zhí)牛耳的是法國數(shù)學家和德國數(shù)學家，但是，就在大陸的數(shù)學家你方唱罷我登場的時候，一個叫威廉·羅恩·哈密頓的愛爾蘭天才橫空出世。

1805年，哈密頓出生于愛爾蘭都柏林的一個律師家庭，小時候，哈密頓被寄養(yǎng)在舅舅家。小朋友12歲的時候，他的母親就去世了，兩年后，父親也一并去世，因此少年時的他只好繼續(xù)跟著舅舅生活。舅舅是一名牧師，哈密頓在他的培育下，差點走錯了路，因為他舅舅讓他學語言。哈密頓是一個小神童，十幾歲就已經(jīng)掌握了十幾門語言，其中包括拉丁語和希臘語。

在語言的熏陶下，哈密頓經(jīng)常寫詩，當然也是屬于打油詩，他和當時英國湖畔詩人的關系比較好，與華茲華斯也是朋友關系。盡管他寫的詩可能與真正的詩人相差甚遠，但他無疑是數(shù)學家中寫詩寫得最好的那一個。

將哈密頓從語言學中拯救出來的是一個美國孩子科爾伯恩，兩個孩子經(jīng)常一起交流，哈密頓的數(shù)學熱情也就是在這個時候激發(fā)出來的。

17歲時，哈密頓通過積分學掌握了數(shù)學，有意思的是，他在進入大學之前沒有上過什么像樣的學，全靠自己自學和舅舅的教導。

1823年7月，年輕的哈密頓在100名報考者中輕而易舉地取得第一名，進入了三一學院。很快他就成了當時的一個名人。他在學校的表現(xiàn)也很出色，完成了他的關于光線系統(tǒng)的劃時代論文的第一部分的初稿，當時的人甚至宣稱，第二個牛頓已經(jīng)出現(xiàn)了。

完成學業(yè)之后，他莫名其妙地當上了天文學教授，說是莫名其妙，是因為他從來沒有申請過，而是其他人一致推選出來的。

在擔任天文學教授的時候，哈密頓在光學上也做出了突破性的工作，簡單來講，他將代數(shù)引入了光學，構造了一套光線系統(tǒng)理論。

婚姻可能阻礙了哈密頓的生活，至少是一個因素。他的初戀發(fā)生在他19歲的時候，由于他當時什么都沒有，只能寫寫蹩腳的打油詩。后來姑娘嫁給了一個普通的軍官。受傷的哈密頓差點跳水自殺，幸好這個時候他的打油詩拯救了他，他發(fā)現(xiàn)可以通過寫詩來打發(fā)心中的苦悶。

他的第二段戀愛也很草率地無疾而終了，后來在28歲的時候，他又遇見了第三個心動的姑娘，叫海倫·瑪麗亞·貝利。后來倆人結了婚，但這位小姑娘在結婚前患了一場大病，他的后半生幾乎陷入了半癱瘓的狀態(tài)。

像哈密頓這樣的天才，希望能有一個利索的妻子來幫他安排家里事務，以及支持他。但他的妻子卻做不到這點，還要靠他在研究之余來照顧生活。

哈密頓是一個虔誠的宗教徒，可能從母親或舅舅那里繼承來的，他并沒有拋棄生病的妻子，但內(nèi)心的苦悶經(jīng)常糾纏著他。他開始沉迷酒精，盡管酒精可以激活他的詩人身份，但并不利于清醒的科學邏輯思考。

當然，哈密頓一生中最重要的貢獻是四元數(shù)，這個發(fā)明遠比他之前發(fā)現(xiàn)什么圓錐折射要重要的多。而且這個四元數(shù)也并非他的首創(chuàng)，如果我們要追溯四元數(shù)的歷史，可能很難找到源頭。但無疑，是哈密頓給四元數(shù)提供了理論性的基礎。

在19世紀初，高斯等人分別給出了復數(shù)a+bi的幾何表示，不久之后，數(shù)學家們就意識到了，復數(shù)能用來表示和研究平面上的向量，尤其是在物理學領域，因為力、速度和加速度這些既有大小又有方向的量都是向量，這些向量符合平行四邊形法則，神奇的是，兩個復數(shù)相加的結果也正好符合這一法則。

用復數(shù)來表示向量及其運算有一個很方便的地方，就是無需通過幾何作圖就可以用代數(shù)的方法來研究它們。但是，人們很快就發(fā)現(xiàn)，復數(shù)的用途是很有限的，比如，幾個力作用在一個物體上，它們不一定在同一平面上，這樣就需要復數(shù)的三維形式。沒關系，人們發(fā)現(xiàn)可以用笛卡爾的坐標系來表示從原點到該點的向量，但是非常遺憾的是，不存在三元數(shù)組的運算來對應向量的運算。

在1830年左右，哈密頓就被這個問題給困住了。

1837年，哈密頓發(fā)表了一篇文章，第一次指出復數(shù)a+bi可以用（a，b）來表示，他還給這種表示定義了加法和乘法的運算法則，也就是：

 （a，b）+（c，d）=（a+c，b+d）

（a，b）X（c，d）=（ac-bd，ad+bc）

在此基礎上，他放棄了自古以來，數(shù)的乘法滿足的交換律，他將這種新數(shù)命名為四元數(shù)。

四元數(shù)的一般形式為a+bi+cj+dk，其中，abcd為實數(shù)，ijk滿足i2=j2=k2=-1，ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=j。

當然，以上是哈密頓的發(fā)明，并非發(fā)現(xiàn)，他只不過是運用一些發(fā)明的概念來方便人們計算向量，他開啟了代數(shù)學的一扇大門，從此之后，數(shù)學家們可以更加自由地建立新的數(shù)系。

自哈密頓提出這個理論之后，他的同事們都各個目瞪口呆，他們甚至完全挑不出這個新理論的任何毛病。哈密頓的朋友約翰·格雷福斯寫道：“這一理論中還有些東西讓我十分為難，對于我們可以在創(chuàng)造虛數(shù)上具有多大程度的自由以及可以在多大程度上賦予它們超自然的性質，我還沒有一個清醒的認識。”

然而，這一理論并非沒有受到別人的批評，很多人認為這是數(shù)學世界中的不祥之物。無疑，四元數(shù)解放了數(shù)學家的思想，讓他們敢于思索其他種類的代數(shù)，四元數(shù)乘法違法了之前人們腦海中根深蒂固的交換律，因此被認為是魔鬼撒旦。不過，活在21世紀的我們都知道，虛數(shù)后來在新物理學界大顯身手，可以這么說，若是沒有虛數(shù)的概念和其運算，量子力學的大門，我們不知道什么時候才能走進去。

哈密頓一生的最后22年幾乎完全致力于對四元數(shù)的詳細推敲，包括它們對動力學、天文學和光的波動理論的應用，以及他的大量通信。

他和許多天才一樣，一旦沉浸在自己的數(shù)學世界中后，假如有人將美味的燒烤與火鍋擺在他面前，他也無動于衷，甚至無視它們。

1865年9月2日，哈密頓死于痛風，享年61歲。

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