(1.廣東省佛山市順德區(qū)容山中學 528303；2.福建省莆田市莆田第二中學 351131)

摘 要：有效利用長方體模型，可巧妙解決立體幾何中點線面位置關系的定性及定量問題，有利于培育和發(fā)展直觀想象、抽象概括、數學運算等數學核心素養(yǎng).

關鍵詞：活用；長方體模型；巧解；立體幾何問題

《高中數學課程標準(2017版)》強調在立體幾何教學中，要充分借助長方體的模型功能，通過直觀感知，認識和理解空間點、直線、平面的位置關系，并抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義，進而解決有關問題，這是立體幾何解題中常用的“模型化思想”，其關鍵是通過模型識別或模型構建，將問題化歸轉化，使問題輕松獲解，而識別或構建長方體模型，常用“割補法”.本文例談借助長方體模型解決立體幾何中點線面位置關系的定性及定量問題，期與同行交流.

一、活用長方體模型解決定性問題

1.平行問題

例1 (2019全國Ⅱ文7)設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是( ).

A.α內有無數條直線與β平行

B.α內有兩條相交直線與β平行

C.α，β平行于同一條直線

D.α，β垂直于同一平面

解析 構造長方體如圖1，對于A選項，設平面A1ADD1為α，設平面ABCD為β，在平面α內與直線AD平行的直線都與平面β平行，而在平面α內有無數條直線與直線AD平行，即平面α內有無數條直線與平面β平行，但平面α與平面β相交，故A選項錯誤；根據面面平行的判定定理可知B選項正確；對于C選項，設平面ABCD為α，設平面C1CDD1為β，由圖1可知A1B1∥α，A1B1∥β，但平面α與平面β相交，故C選項錯誤；對于D選項，設平面A1ADD1為α，設平面C1CDD1為β，由圖1可知α⊥平面ABCD，β⊥平面ABCD，但平面α與平面β相交，故D選項錯誤.

2.垂直問題

例2 (2019北京卷文13理12)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題____.

解析 構造長方體如圖1，設平面ABCD為α，A1A1=l，A1B1=m，再由線面平行的判定定理可得：若l⊥α，l⊥m，則m∥α，故答案為：若l⊥α，l⊥m，則m∥α.

評注 要正確判斷點、線、面的位置關系，不僅需要對立體幾何必備知識的熟練掌握，而且還需要具有較高的數學素養(yǎng)水平，尤其是直觀想象素養(yǎng).當碰到元素比較多時，想根據題意作相應的直觀圖就顯得比較困難，因此在考場上欲全憑想象能力解決此類問題難度就比較，但如果能夠借助長方體模型，此問題的解答就容易很多，通過構建長方體就可以逐個驗證選項正確與否，解題效率也就大大提高.

二、活用長方體模型解決定量問題

1.求表面積

例3 (2015安徽卷)一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是( ).

解析 構造長、寬、高分別為2、1、1的長方體可得圖2(1)的三視圖的直觀圖為圖2(2)中的三棱錐P-ABC，所以該四面體是如圖所示的三棱錐P-ABC，表面積為故答案選B．

圖2

評注 已知某幾何體的三視圖，求幾何體的有關問題，解答此類問題一般需要經過還原幾何體再進行求解，如果幾何體是簡單的多面體(非旋轉體)都建議構造長方體或正方體模型輔助求解，活用長方體或正方體模型輔助求解此類問題可以大大的降低試題解答難度，提高解題效率.

2.求角

例4 (2020全國1卷理16)如圖3(1)，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，則cos∠FCB=____.

解析 由AB⊥AC，AB⊥AD可構造長方體得如圖3(2)所示，由得所以由∠CAE=30°得∠CAP=30°，所以在ΔPAC中由余弦定理,得PC2=AP2+AC2-2AP·ACcos∠CAP=1,所以在△PBC中由余弦定理得所以

3.求距離

例5 (2019全國Ⅰ文16)已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點，PC=2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為那么P到平面ABC的距離為____．

解析 構造長方體如圖4，其中多面體面體PMBCA符合題題意，設AM=a，BM=b，PM=c.由長方體性質可知PA⊥AC，PB⊥BC，所以P到平面ABC的距離為PM.又由點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為得所以a=b，又AM2+PM2=PA2，a2+b2+c2=PC2，所以a2+c2=3，a2+a2+c2=4，解得即所以P到平面ABC的距離為

評注 求空間角問題、距離問題等定量問題對學生的空間想象能力、邏輯推理能力、運算求解能力等能力要求比較高，但如果能夠借助長方體模型，根據題意構造合適的長方體對解決定量問題有很大的幫助，可以有效降低思維難度，提高解題效率.

在解題過程中要善于挖掘題目條件，聯系長方體正方體的性質以及長方體正方體中特殊的位置關系與數量關系，只有這樣方可提高解題能力，提高解題效率.

合理構建模型有助于學生能在不同的問題情境中發(fā)掘出數學內容的共性，筆者認為這就是問題的“數學本質”，有別于其它數學問題的基本特質，從而便能揭示其問題的內涵.因此，長方體模型成為學生認識空間幾何體的“源”，是處理立體幾何問題的根基.在解有關立體幾何問題時，要結合“割補”這一重要的數學方法，充分利用長方體模型進行解題，可降低試題解答難度，快速有效地解決問題，提高解題效率，有利于激發(fā)學生的學習興趣，發(fā)展學生直觀想象、抽象概括、數學運算等核心素養(yǎng)等.

參考文獻：

[1]潘敬貞，駱妃景.基于核心素養(yǎng)的高考立體幾何試題分析及教學啟示[J].教學考試，2019(47)：4-10.

[2]姬梁飛.長方體:培育數學核心素養(yǎng)的重要介質[J].中國數學教育，2019(20)：26-29.

[3]郭社會.例談長方體模型在解立體幾何問題中的應用[J].數理化解題研究，2016(01)：18.

作者簡介：

潘敬貞(1984-)，男，貴州省三都人，高級教師，從事高中數學教學研究.

蔡海濤(1975-)，男，福建省莆田人，中學高級教師，從事高中數學教學研究.