關(guān)鍵詞：函數(shù)；數(shù)學(xué)符號；數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)教育

1 引言：源自兩本教科書的疑問

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的概念，是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的一條主線，同時也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最重要的概念之一，它是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具。

同樣來自德國的語言學(xué)家洪堡特認(rèn)為“語言決定人的世界觀”，數(shù)學(xué)語言作為一種特殊的語言也影響了人的世界觀。數(shù)學(xué)符號作為數(shù)學(xué)語言的重要組成部分，其含義明確、表達(dá)簡明、使用方便，并且還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的特征：形式化、抽象化、符號化。沒有數(shù)學(xué)符號，數(shù)學(xué)就難以快速發(fā)展，科學(xué)的發(fā)展也會步履維艱。

2 函數(shù)的概念發(fā)展簡史

亨利·龐加萊曾說：“如果我們想要預(yù)測數(shù)學(xué)的未來，那么適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門學(xué)科的歷史和現(xiàn)狀”。在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）中對于“函數(shù)的形成與發(fā)展”這部分內(nèi)容提出了以下要求：“收集、閱讀函數(shù)的形成與發(fā)展的歷史資料，撰寫小論文，論述函數(shù)發(fā)展的過程、重要結(jié)果、主要人物、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻(xiàn)?！币虼?，盡管前面的問題已經(jīng)得到回答，但是我們?nèi)韵雽滩闹谐霈F(xiàn)的有關(guān)函數(shù)概念的數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史做一些深入的探討。

2.1 教科書中的函數(shù)發(fā)展史

首先給出各版本的教材中對函數(shù)概念的發(fā)展的簡介，按照原文出現(xiàn)的歷史人物及貢獻(xiàn)將部分節(jié)選內(nèi)容列舉如下。

人民教育出版社A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊（2019年出版）《函數(shù)概念的發(fā)展歷程》：

萊布尼茨：“function”一詞最初由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在1692年使用。

李善蘭：在中國，清代數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年和英國傳教士偉烈亞力合譯的《代微積拾級》中首次將“function”譯做“函數(shù)”。

約翰·伯努利：瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利強調(diào)函數(shù)要用公式表示。

歐拉：瑞士數(shù)學(xué)家歐拉將函數(shù)定義為“如果某些變量，以一種方式依賴于另一些變量，我們將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)”。

狄利克雷：德國數(shù)學(xué)家狄利克雷在1837年時提出：“如果對于的每一個值，總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，那么是的函數(shù)。”

說明：與人教A版舊教材的內(nèi)容完全相同。

人民教育出版社B版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊（2019年出版）《函數(shù)定義的演變過程簡介》：

萊布尼茨：“函數(shù)”一詞是萊布尼茨創(chuàng)造的，他用這個詞表示與曲線上的點有關(guān)的線段長度，并使用這個詞表示變量之間的依賴關(guān)系。

歐拉：歐拉于1734年首先使用字母表示函數(shù)，歐拉在他的著作《微分學(xué)》中給出的函數(shù)定義是：如果某變量，以如下的方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時，前者也隨之變化，則稱前面的變量是后面變量的函數(shù)。

黎曼：1851年，德國數(shù)學(xué)家黎曼給出的函數(shù)定義是：假定是一個變量，它可以逐次取所有可能的實數(shù)值。如果對它的每一個值，都有未知量的唯一的一個值與之對應(yīng)，則稱為的函數(shù)。

布爾巴基學(xué)派：1939年，法國布爾巴基學(xué)派在集合論的基礎(chǔ)上給出了函數(shù)的定義……

人民教育出版社B版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊（舊教材）《函數(shù)概念的形成與發(fā)展》：

笛卡兒：當(dāng)時人們把函數(shù)理解為變化的數(shù)量關(guān)系，把曲線理解為幾何形象。法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡兒引入了坐標(biāo)系，創(chuàng)立了解析幾何。他把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。

牛頓：英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、自然哲學(xué)家牛頓，以流數(shù)來定義描述連續(xù)量——流量（fluxion）的變化率，用以表示變量之間的關(guān)系。因此曲線是當(dāng)時研究考察的主要模型，這是那個時代函數(shù)的概念。

萊布尼茨：函數(shù)（function）一詞首先是由德國哲學(xué)家萊布尼茨引入的，他用函數(shù)一詞來表示一個隨著曲線上的點的變動而變動的量，并引入了常量、交量、參變量等概念。

歐拉：瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1734年引入了函數(shù)符號，并稱變量的函數(shù)是一個解析表達(dá)式，認(rèn)為函數(shù)是由一個公式確定的數(shù)量關(guān)系。

狄利克雷：直到1837年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷放棄了當(dāng)時普遍接受的函數(shù)是用數(shù)學(xué)符號和運算組成的表達(dá)式的觀點，提出了是與之間的一種對應(yīng)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點。

李善蘭：1859年我國清代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、翻譯家和教育家李善蘭第一次將“function”譯成函數(shù)，這一名詞一直沿用至今。

江蘇鳳凰教育出版社普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊《函數(shù)概念的形成與發(fā)展》：

笛卡兒：1637年，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒在《幾何學(xué)》中第一次提到“未知和未定的量”，涉及了變量，同時也引入函數(shù)的思想。

萊布尼茨：1692年，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨最早使用“函數(shù)”這個詞，他用“函數(shù)”表示隨著曲線的變化而改變的幾何量，如切線和點的縱坐標(biāo)等。

約翰·伯努利：1718年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利給出函數(shù)新的解釋：“由變量和常量用任何方式構(gòu)成的量都可以叫作的函數(shù)。”

歐拉：1755年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉給出了函數(shù)的如下定義……

狄利克雷：1837年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷認(rèn)為：“如果對于的每一個值，總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，那么是的函數(shù)?！?/span>

李善蘭：1859年，我國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭將function一詞譯成“函數(shù)”，并給出定義：“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)?！边@里的“函”，是包含的意思。在國外的數(shù)學(xué)書上，習(xí)慣將函數(shù)（即對應(yīng)關(guān)系）記為，而在國內(nèi)的數(shù)學(xué)書上，通常將函數(shù)寫為。

北京師范大學(xué)出版社普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊《函數(shù)概念的起源》：

伽利略：意大利科學(xué)家伽利略第一個提出了函數(shù)或稱為變量關(guān)系的這一概念。

萊布尼茨：“function（函數(shù)）”這個詞作為數(shù)學(xué)術(shù)語，最初是由微積分奠基人之一、德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家萊布尼茨在1673年的手稿中首次使用的。

李善蘭：1859年，我國清代數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)》時，把“function”譯為“函數(shù)”。

在以上不同版本教材的簡介中，萊布尼茨和歐拉都經(jīng)常出現(xiàn)，那么在函數(shù)概念發(fā)展的歷程中，教材中提到的這些人物做出了哪些貢獻(xiàn)，還有哪些關(guān)鍵人物呢？為了對函數(shù)概念有更全面的理解，也方便師生在撰寫函數(shù)發(fā)展過程的小論文時參考，我們以人物為線索，簡要回顧函數(shù)概念發(fā)展的幾種學(xué)說，不同歷史階段更多數(shù)學(xué)家對函數(shù)的理解還可參考[7]。

2.2 變量說

對運動與變化的研究是函數(shù)概念產(chǎn)生的直接原因。16世紀(jì)以來，人們對地球運動、天體運動以及如何測量時間等實際問題的需要，使得自然科學(xué)轉(zhuǎn)向?qū)\動的研究以及對各種變化過程和各個變化著的量之間關(guān)系的研究，因此數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了“變量”的概念。從此，數(shù)學(xué)從漫長的常量數(shù)學(xué)時期進(jìn)展到變量數(shù)學(xué)時期，也就是從研究“數(shù)”變?yōu)榱搜芯俊昂瘮?shù)”。盡管初中教材已經(jīng)出現(xiàn)函數(shù)的概念，但直到高中教材函數(shù)一章的全面介紹，中學(xué)數(shù)學(xué)從真正從對數(shù)的研究轉(zhuǎn)變?yōu)閷瘮?shù)的研究。函數(shù)概念的發(fā)展離不開微積分觀念的發(fā)展，要研究運動變化過程自然離不開“微分”，因此學(xué)生在高中接觸導(dǎo)數(shù)與微積分之后，也正式跨入了近代數(shù)學(xué)的大門。

笛卡兒、費馬、牛頓

眾所周知，笛卡兒與費馬是解析幾何的奠基者，他們引入了坐標(biāo)系，使代數(shù)表達(dá)式和平面上的幾何圖形相對應(yīng)，從而可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來研究。但事實上，他們也是函數(shù)概念的奠基人，他們提出了坐標(biāo)中和具有某種關(guān)系，如費馬所說“每當(dāng)我們找到兩個未知量的等式，我們就有一條軌跡，它描寫的不外乎是一條直線或曲線”，這里出現(xiàn)的軌跡和曲線就是早期函數(shù)的類似物。

牛頓首次用專門術(shù)語genita（拉丁文）描述了從一個量中得到的另一個量。牛頓稱他的變量為流數(shù)。牛頓為函數(shù)概念的發(fā)展作出的最大貢獻(xiàn)在于他使用了冪級數(shù)，冪級數(shù)對函數(shù)概念的后續(xù)發(fā)展非常重要。

萊布尼茨

北師大版新教材中稱“function（函數(shù)）”這個詞作為數(shù)學(xué)術(shù)語最初是由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在1673年的手稿中首次使用的，而人教A版新教材、蘇教版新教材均稱萊布尼茨于1692年最早使用“函數(shù)”這個詞。事實上，這兩個事實是不矛盾的。

萊布尼茨在1673年的一篇手稿《反切線或函數(shù)方法》（Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus）中首先使用了“function”的拉丁文，但這個詞并不表示函數(shù)的含義。術(shù)語“function”首次出現(xiàn)在印刷品上是萊布尼茨在1692年發(fā)表的論文《De linea ex lineis numero infinitis ordinatim ductis》，這篇文章中也包含了許多現(xiàn)在常用的其他數(shù)學(xué)術(shù)語[8]。在1694年萊布尼茨的另一篇論文中也出現(xiàn)了函數(shù)，他用函數(shù)表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的幾何量，如曲線上點的坐標(biāo)、弦、切線、法線等。

萊布尼茨的函數(shù)的定義過分限制在幾何領(lǐng)域。事實上，作為微積分的奠基人，牛頓和萊布尼茨當(dāng)時所研究的微積分并不是現(xiàn)代意義下基于函數(shù)的微積分，而是基于幾何學(xué)的微積分。

約翰·伯努利

之后，萊布尼茨的學(xué)生約翰·伯努利（J. Bernoulli，1667-1748）使用了函數(shù)這個術(shù)語。1698年7月，萊布尼茨在給約翰·伯努利的信中寫道：“我很高興你在我的意義下使用函數(shù)這個術(shù)語”。伯努利在1698年8月的回信中說：“為了表示某個不定量的函數(shù)，我喜歡使用相應(yīng)的大寫字母或希臘字母，這樣我們就可以同時看到這個函數(shù)所依賴的不定量。”在同一封信中，他使用了符號和。之后，函數(shù)的概念逐漸脫離幾何。

1718年，伯努利首次明確給出函數(shù)的正式定義：“一個變量的函數(shù)是指由這個變量和常數(shù)以任意一種方式構(gòu)成的量”。他試驗過幾種表示的函數(shù)的符號，其中用數(shù)學(xué)符號表示函數(shù)是最接近現(xiàn)代記法的一種?！白兞俊币辉~也是這時引入的。伯努利的這個定義脫離了幾何語言，但他沒有解釋“以任意一種方式構(gòu)成”的含義。

歐拉

下一位關(guān)鍵人物是歐拉，他是約翰·伯努利的學(xué)生。在約翰·伯努利的基礎(chǔ)上，歐拉在18世紀(jì)30年代發(fā)表的一篇論文中用表示的任意函數(shù)，之后在1748年出版的《無窮分析引論》中使用了伯努利的定義，并且首次用“解析式”[9]來定義函數(shù)，把一個變量的函數(shù)看作由該變量和一些常數(shù)以任何方式構(gòu)成的解析表達(dá)式，如，。歐拉在這本書的前言中說數(shù)學(xué)分析就是研究變量及其函數(shù)的一門學(xué)科，并且他認(rèn)為微積分是關(guān)于函數(shù)的，而不是關(guān)于曲線的。這是歐拉的“解析式”定義。

1755年，歐拉在他的《微分學(xué)原理》中給出了新的函數(shù)定義：“如果某些量以如下方式依賴于另一些量，即當(dāng)后者變化時，前者本身也發(fā)生變化，則稱前一些量是后一些量的函數(shù)”。這是歐拉的“依賴關(guān)系”定義。

總之，歐拉是第一位突出函數(shù)概念的數(shù)學(xué)家，歐拉還對函數(shù)進(jìn)行了分類，使用了“代數(shù)”函數(shù)、“超越”函數(shù)，“單值”函數(shù)、“多值”函數(shù)等術(shù)語，他定義的函數(shù)關(guān)系可以用諸如多項式、正弦、對數(shù)表達(dá)的解析式或解析式的積分來表示。歐拉的定義涉及到刻畫兩個變量之間的變化關(guān)系，人們通常稱歐拉的定義為函數(shù)的“變量說”。歐拉對函數(shù)發(fā)展的更多貢獻(xiàn)可參考[10]。

歐拉及同時代的其他數(shù)學(xué)家都要求函數(shù)是通過一個解析式表達(dá)出來的，根據(jù)他們的觀點，

不能稱之為一個函數(shù)。在這一時期，持用解析式來定義函數(shù)的觀點的著名數(shù)學(xué)家還有很多，以下簡述其中幾位。

丹尼爾·伯努利在研究弦振動方程時，獲得了一個稱為三角級數(shù)（即后來的Fourier級數(shù)）形式的解，伯努利從物理的眼光相信所有的函數(shù)都可以表示為三角級數(shù)的形式。

拉格朗日在《解析函數(shù)論》（1797年）中稱一個或幾個量的函數(shù)是指任意一個適于計算的表達(dá)式，這些量以任意方式出現(xiàn)于表達(dá)式中……一般地，我們用字母或放在一個變量的前面以表示該變量的任意一個函數(shù)，即表示依賴于這個變量的任何一個量，它按照一種給定的規(guī)律隨著那個變量一起變化。拉格朗日在這本書中以冪級數(shù)為出發(fā)點，將函數(shù)概念限制為解析函數(shù)。

德摩根在1837年的《代數(shù)學(xué)》中將函數(shù)定義為以任意方式包含x的表達(dá)式。1851年，羅密士在《解析幾何與微積分基礎(chǔ)》中稱“若一個變量等于含有另一個變量的代數(shù)式，則稱第一個變量為第二個變量的函數(shù)”。英國傳教士偉烈亞力（A. Wylie，1815-1887）和清代數(shù)學(xué)家李善蘭（1810-1882）翻譯的《代數(shù)學(xué)》和《代微積拾級》（即《解析幾何與微積分基礎(chǔ)》）正是這兩本書，它們采用的都是函數(shù)的“解析式”定義，因此他們將變量翻譯為變數(shù)，包含變數(shù)的表達(dá)式翻譯為“函數(shù)”，意為“一個式子中含有數(shù)字符號”，其中“函”與“含”意義相同。李善蘭將函數(shù)符號“”用“函”表示，從而函數(shù)用漢字化符號表示成“地=函（天）”?！洞鷶?shù)學(xué)》中函數(shù)定義為：“凡式中含天，為天之函數(shù)”（中國古代以天地人物表示未知數(shù)），《代微積拾級》中稱“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)，則此為彼之函數(shù)”，這就是中文數(shù)學(xué)名詞“函數(shù)”的由來。當(dāng)代數(shù)學(xué)大家丘成桐認(rèn)為《代數(shù)學(xué)》和《代微積拾級》是清末西方代數(shù)學(xué)譯著中最重要的兩本譯著，因為它們給中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)帶來了西方符號表示理論體系和系統(tǒng)化的微積分理論[11]。

人教A版教材稱“在中國，清代數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年和英國傳教士偉烈亞力合譯的《代微積拾級》中首次將'function’譯做'函數(shù)’”，而北師大版新教材稱“1859年，我國清代數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)》時，把'function’譯為'函數(shù)’”。那么李善蘭究竟是在《代數(shù)學(xué)》還是《代微積拾級》中最早把function翻譯成函數(shù)的？事實上，這兩本書可能是同時進(jìn)行翻譯的，并且都是在1859年于墨海書館出版的。因此，更確切的說法可能是：1859年，我國清代數(shù)學(xué)家李善蘭和英國傳教士偉烈亞力在合譯《代數(shù)學(xué)》與《代微積拾級》時首次將“function”譯為“函數(shù)”。徐品方、張紅在《數(shù)學(xué)符號史》中使用了這種說法[5]。

用函數(shù)的解析式定義有很大的局限性，比如某些變量之間的對應(yīng)關(guān)系無法用解析式表達(dá)。更多關(guān)于解析式定義的內(nèi)容，我們推薦讀者閱讀[9]。

2.3 對應(yīng)說

1755年，歐拉就給出了函數(shù)的“依賴關(guān)系”定義，這種定義也逐漸演變?yōu)椤皩?yīng)說”。之后，傅里葉擺脫了歐拉單一解析式定義的束縛，柯西、狄利克雷和黎曼等給出了函數(shù)的現(xiàn)代定義。

傅里葉

法國數(shù)學(xué)家傅里葉（J. Fourier，1768-1830）在研究熱傳導(dǎo)方程的解時，得到結(jié)論：在不同的區(qū)間一個三角級數(shù)的和可用不同的算式表達(dá)。他認(rèn)為函數(shù)是否由單一解析式給出并不重要，他在1822年《熱的解析理論》中給出函數(shù)的如下定義：“函數(shù)代表一系列的值或縱坐標(biāo)，它們中的每一個都是任意的。對于無限多個給定的橫坐標(biāo)的值，有同樣多個縱坐標(biāo)?！覀儾患俣ㄟ@些縱坐標(biāo)要服從一個共同的規(guī)律”。

柯西

法國數(shù)學(xué)家柯西（A. Cauchy，1789-1857）指出了拉格朗日用冪級數(shù)定義函數(shù)的局限，他研究了函數(shù)

并證明在處的各階導(dǎo)數(shù)均為0，但按照泰勒級數(shù)給出的函數(shù)

不是原來的函數(shù)。1823年，柯西用關(guān)系給出了函數(shù)的定義：“在某些變量之間存在著一定的關(guān)系，只要其中某一變量的值給定了，其它變量的值可隨之而確定時，則將最初的變量叫自變量，其它各變量就叫做函數(shù)”。

狄利克雷

1837年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（L. Dirichlet，1805-1859）改進(jìn)了傅里葉的定義，給出了函數(shù)的以下定義：“如果對于給定區(qū)間上的每一個的值，有唯一有限的的值同它對應(yīng)，那么就是的一個函數(shù)。至于在整個區(qū)間上是否按照一種規(guī)律依賴于，或者依賴于是否可用數(shù)學(xué)運算來表達(dá)，那都是無關(guān)緊要的”。

由此，函數(shù)可以理解為一個規(guī)則，變量的值固定了，按照這個規(guī)則確定了（或?qū)?yīng)著）唯一的一個值。函數(shù)的這個定義打破了十八世紀(jì)占統(tǒng)治地位的函數(shù)只能由一個解析式來表達(dá)的想法，狄利克雷在研究傅里葉級數(shù)的收斂性問題時出現(xiàn)了狄利克雷函數(shù)

這樣定義的對應(yīng)關(guān)系在狄利克雷的意義下成為函數(shù)。狄利克雷的函數(shù)定義已經(jīng)接近中學(xué)教科書中的函數(shù)概念[12]。

自狄利克雷的工作之后，出現(xiàn)了大量的“病態(tài)”函數(shù)，分析學(xué)的特征也出現(xiàn)了變化。17世紀(jì)以來，分析學(xué)被認(rèn)為可以應(yīng)用于“所有”函數(shù)，從狄利克雷開始，分析學(xué)轉(zhuǎn)向研究特定的函數(shù)類，如連續(xù)函數(shù)、可微函數(shù)、可積函數(shù)、單調(diào)函數(shù)等。而一些數(shù)學(xué)家也開始研究一些不規(guī)則的函數(shù)，如魏爾斯特拉斯在1872年給出的著名的處處不可微的連續(xù)函數(shù)。

黎曼

1851年，黎曼（B. Riemann，1826-1866）給出的函數(shù)定義是：“假定z是一個變量，它可以逐次取所有可能的實數(shù)值，若對它的每一個值，都有不定量w的唯一的值與之對應(yīng)，則稱w為z的函數(shù)”。

狄利克雷和黎曼的定義中采用了“唯一的一個值與之對應(yīng)”，通常這樣的定義稱為函數(shù)的“對應(yīng)說”，這樣函數(shù)的概念從“變量說”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩?yīng)說”，我國現(xiàn)行高中教科書大多采用這樣的定義[13]。

因此，用“對應(yīng)說”定義函數(shù)，主要關(guān)心的是對應(yīng)的結(jié)果，而不是過程，對應(yīng)法則是手段，對應(yīng)結(jié)果才是目的[14]。相同的對應(yīng)關(guān)系可以有不同的式子來表達(dá)，在這一點上，柯西給出了一個很簡單的例子，也可以用或來表示。我們還可以舉出其他初等例子，比如與是同一個函數(shù)；和是同一個函數(shù)，等等。此外，對于函數(shù)與，由于對應(yīng)法則不同，它們貌似是兩個不同的函數(shù)，但仔細(xì)分析，它們的定義域相同，并且一旦變量的值固定，按照這兩個解析式給出的規(guī)則都確定了相同的值，因此這“兩”個函數(shù)是同一個函數(shù)。

2.4 關(guān)系說

1874年，康托爾開創(chuàng)了集合論，到20世紀(jì)初，集合論的思想與方法滲透到數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域。在建立集合論之后，函數(shù)定義又以集合對應(yīng)的方式進(jìn)行了改寫。

1888年，戴德金把函數(shù)定義為集合間的映射，而映射指一種規(guī)則：在這種規(guī)則下，系統(tǒng)（即集合）中的任意元素對應(yīng)于確定的對象。

1904年，J. Tannery給出了基于集合論的函數(shù)定義：考慮不同的數(shù)組成的一個集合，這些數(shù)可作為賦予字母的值，則稱為一個變量，設(shè)的每一個值對應(yīng)于一個數(shù)，后者可作為賦予字母的值，則我們稱是由集合所確定的的函數(shù)。

1939年，法國布爾巴基學(xué)派在集合論的基礎(chǔ)上，給出的函數(shù)定義如下：設(shè)和是兩個集合，它們可以不同，也可以相同。中的變元x和中的變元y之間的一個關(guān)系稱為一個函數(shù)關(guān)系，如果對于每一個，都存在唯一的，它滿足與x給定的關(guān)系。稱這樣的運算為函數(shù)，它以上述方式將與x有給定關(guān)系的元素和與每一個元素相聯(lián)系。稱y是函數(shù)在元素x處的值，函數(shù)值由給定的關(guān)系所確定。

布爾巴基學(xué)派還給出了函數(shù)用笛卡爾積子集（有序?qū)Γ﹣矶x的方法，這個定義也可以在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）案例2中找到：設(shè)是定義在集合和上的一個二元關(guān)系，稱這個關(guān)系為函數(shù)，如果對于每一個，都存在唯一的，使得。但課程標(biāo)準(zhǔn)在此處未明確二元關(guān)系的定義，實際上集合和上的一個二元關(guān)系指集合和的笛卡爾積的一個子集。這個定義可以用形式化的語言描述如下：設(shè)和為兩個集合，，任意，存在使得，若且蘊含，則稱是集合到集合的函數(shù)。

以“關(guān)系”為橋梁，通過集合來定義函數(shù)稱為函數(shù)的“關(guān)系說”?！瓣P(guān)系說”通過附加條件避免了交代“對應(yīng)關(guān)系”，國外的一些中學(xué)教材[15]也有采用。另外，布爾巴基學(xué)派是研究數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的先驅(qū)，最早用集合論語言刻畫了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在20世紀(jì)，將任意集合之間的映射作為函數(shù)的概念逐漸占據(jù)主導(dǎo)地位?，F(xiàn)代范疇論的奠基人麥克萊恩（S. MacLane，1909-2005）1986年在《Mathematics: Form and Function》一書中詳細(xì)探討了函數(shù)的各種“直觀”看法，使用有序數(shù)對給出了一個形式化定義，并用或來表示一般函數(shù)[16]。

“關(guān)系說”定義揭示了函數(shù)的本質(zhì)但過于形式化，不利于初學(xué)者掌握[17]，因此出現(xiàn)了函數(shù)新定義的一些嘗試[13][14]。筆者認(rèn)為，雖然這種定義比較抽象，但對于已經(jīng)熟練掌握高中教科書中函數(shù)概念的學(xué)生來說，適當(dāng)?shù)男问交梢耘囵B(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，尤其是對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，為了學(xué)生今后的發(fā)展，了解函數(shù)的一些更近代定義或許可以為他們打開一扇了解近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的大門。

2.5 教科書中的函數(shù)概念

我們使用現(xiàn)行人教A版高中教科書（2019年新教材）的函數(shù)概念：一般地，設(shè)，是非空的實數(shù)集，如果對于集合中的任意一個數(shù)，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱為從集合到集合的一個函數(shù)，記作。其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。

從上面的敘述可以看出，在高中階段，函數(shù)定義就是結(jié)合了布爾巴基學(xué)派的“關(guān)系說”和源自狄利克雷、柯西、黎曼等的“對應(yīng)說”而形成的，這種表述也稱為函數(shù)的“對應(yīng)關(guān)系說”。

在這個概念中有一點需要說明：非空實數(shù)集指由實數(shù)組成的非空集合。為什么要如此大費口舌呢？原因在于實數(shù)集在教材中是一個特殊的集合，人教A版教材中稱“全體實數(shù)組成的集合稱為實數(shù)集”，于是實數(shù)集特指，顯然是非空的。教材中只有在函數(shù)定義中出現(xiàn)了“非空實數(shù)集”一詞，因此應(yīng)特別指出，以避免初學(xué)者將這一定義中的非空實數(shù)集當(dāng)作。與人教A版舊教材相比，原來的定義為“設(shè)，為非空的數(shù)集”，從數(shù)集到實數(shù)集，盡管只有一字之差，但對于初學(xué)者而言，卻容易引起歧義。為了嚴(yán)謹(jǐn)，我們建議在定義中“設(shè)，為的非空子集”。此外，為了強調(diào)集合的重要性，以及區(qū)分集合和值域，我們也建議給集合一名稱“陪域”（英文codomain），這樣的叫法在英文文獻(xiàn)中廣泛使用。

中學(xué)階段的函數(shù)概念考慮的是非空實數(shù)集合之間的映射，而這一概念在學(xué)生步入大學(xué)初期就會迅速而廣泛地推廣，如多元微積分中的多變量函數(shù)是到的映射，線性代數(shù)中的線性映射研究到的映射，內(nèi)積是到的映射。從歷史上看，函數(shù)最早指微積分中到的函數(shù)，如今用集合概念給出的一般函數(shù)（映射）概念在數(shù)學(xué)中起到了強大的統(tǒng)一作用[16]。因此，對于學(xué)力較好的學(xué)生，可以適當(dāng)補充映射的相關(guān)知識，為學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)的推廣概念奠定基礎(chǔ)。

3 結(jié)語

對函數(shù)概念的簡單回顧可以看出函數(shù)概念是一代代數(shù)學(xué)家經(jīng)過多次抽象的結(jié)果，不同的歷史階段，對函數(shù)的認(rèn)識角度不同，即使是同一數(shù)學(xué)家，在其不同階段對函數(shù)的定義也有差異。函數(shù)是微積分的基本研究對象，但從歷史上看，微積分在函數(shù)概念沒有明確給出之前就建立了，最早的微積分是建立在曲線上的（幾何學(xué)）。函數(shù)概念的提出使得誕生于幾何學(xué)的微積分走上了代數(shù)化的道路，作為繼歐幾里得幾何之后，全部數(shù)學(xué)中一個最大的創(chuàng)造，微積分的發(fā)展又促使人們對函數(shù)有了新的認(rèn)識。

函數(shù)最早是一個幾何概念，當(dāng)用解析式表達(dá)函數(shù)時成為一個代數(shù)概念（或分析概念），從數(shù)學(xué)史上看，用冪級數(shù)定義的函數(shù)（如的冪級數(shù)定義）、用積分定義的函數(shù)（如歐拉定義的Gamma函數(shù)，概率論中正態(tài)分布函數(shù)等）、用微分方程或偏微分方程的解定義的函數(shù)（如Bessel函數(shù)、超幾何函數(shù)等特殊函數(shù)）等對推動數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展起了非常重要的作用，感興趣的讀者可以參考[18][19]；當(dāng)函數(shù)作為“對應(yīng)”的“邏輯”概念出現(xiàn)時，函數(shù)的概念進(jìn)一步得到發(fā)展。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，函數(shù)的概念不斷精確化，并且不斷推廣和發(fā)展，其漫長的演變過程，體現(xiàn)了人們追求真理的執(zhí)著精神。

當(dāng)談到數(shù)學(xué)符號，不得不提及萊布尼茨。萊布尼茨希望找到一個符號系統(tǒng)，并給出這些符號之間的運算規(guī)則或推理演算規(guī)則，使用這種符號演算，就能夠判斷用這種語言寫成的句子何時為真。給出這樣一套理想的符號系統(tǒng)或語言，給出確定的語言演算規(guī)則，把日常問題轉(zhuǎn)化為這種語言，利用演算就可以求解問題的答案，這就是萊布尼茨之夢！萊布尼茨曾說“符號的一般技巧或記法上的技巧是一種絕妙的輔助工具，因為它減輕了想象的職務(wù)，……要是所用的記號簡潔地表達(dá)了而且反映了事物最本質(zhì)的話，那么思想的工作就大大地減少了”。如萊布尼茨把曲線看成是邊數(shù)為無窮的多邊形，每個點的縱坐標(biāo)為，是無窮多邊形的邊的交點確定的橫軸的無窮小的部分，從而表示無窮小面積，因此萊布尼茨的記號解釋為曲線下的面積。萊布尼茨發(fā)明的微分符號和積分符號沿用至今，萊布尼茨的這些符號也把只有少數(shù)專家能懂的微積分理論變成了可以在教科書中講授的清晰明白的內(nèi)容。數(shù)學(xué)史學(xué)家梁宗巨先生認(rèn)為“一套合適的符號，絕對不僅僅是起速記、節(jié)省時間的作用。因為他能精明地、深刻地表達(dá)某種概念、方法和邏輯關(guān)系，對于一個復(fù)雜的公式，如果不用符號而用日常用語來表述，往往十分冗長而模糊不清?！比R布尼茨使用的符號具有極大的優(yōu)越性，這充分體現(xiàn)了一套好的符號體系與演算規(guī)則力量無窮！

然而，從我們所查閱的資料分析可以看出，盡管“function”一詞是萊布尼茨最早引入的，但我們熟悉的函數(shù)符號的創(chuàng)立應(yīng)歸功于歐拉。事實上，歐拉引入的符號在幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、三角學(xué)及分析學(xué)中也隨處可見，如三角學(xué)中使用小寫字母、和表示三角形的邊，使用對應(yīng)的大寫字母、和表示對應(yīng)的角，就源自于歐拉，此外用表示對數(shù)函數(shù)，用表示求和也都源于歐拉?？傊?，我們今天所使用的符號之所以是這個樣子，很大一部分功勞歸功于歐拉和萊布尼茨。

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