【解題研究】（2021吉林長春22）折疊·全等·特殊三角形·特殊角

本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識；本題熟練掌握正方形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)，證出∠EAF＝45°是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．

逐問分析

操作一：由正方形的性質(zhì)得∠BAD＝90°，再由折疊的性質(zhì)得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，即可求解；

操作二：由折疊的性質(zhì)得：∠AEB＝∠AEF，∠AEF＝∠CEF，于是∠AEB＝∠AEF＝∠CEF，再利用平角，即可求解；

（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得AN＝FN，再證∠NAP＝∠NFE＝30°，由ASA即可得出結(jié)論；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得AP＝FE，PN＝EN，再證∠AEB＝60°，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得BE

=\frac{\sqrt{3}}{3}\

AB＝1，AE＝2BE＝2，AN

=\sqrt{3}\

=\sqrt{3}\

a，AP＝2PN＝2a，由AN+EN＝AE得出方程，求解即可．

題目解答

操作一：

解：45；

解法提示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠C＝∠BAD＝90°，

由折疊的性質(zhì)得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，

∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF

=\frac{1}{2}\

∠BAD＝45°，

即∠EAF＝45°；

操作二：

解：60；

解法提示：

∠AEB＝∠AEF，∠AEF＝∠CEF，

∴∠AEB＝∠AEF＝∠CEF，

∵∠AEB+∠AEF+∠CEF＝180°，

∴∠AEF＝60°；

（1）∵∠EAF＝45°，∠ANF＝∠ENF＝90°

∴△ANF是等腰直角三角形，

∴AN＝FN，

∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，

∴∠NAP＝∠NFE，

在△ANP和△FNE中，

{\left\{{\begin{matrix}{∠ANP=∠FNE}\\{AN=FN}\\{∠NAP=∠NFE}\end{matrix}}\right.}\

，

∴△ANP≌△FNE（ASA）；

（2）2

\sqrt{3}-

2．

解法提示：

由（1）得：△ANP≌△FNE，

∴AP＝FE，PN＝EN，

∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°，

∴∠NEF＝∠CEF＝60°，

∴∠AEB＝60°，

∵∠B＝90°，

∴∠BAE＝30°，

∴BE

=\frac{\sqrt{3}}{3}\

AB＝1，

∴AE＝2BE＝2，

設PN＝EN＝a，

∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，

∴AN

=\sqrt{3}\

=\sqrt{3}\

a，AP＝2PN＝2a，

∵AN+EN＝AE，

∴

\sqrt{3}\

a+a＝2，解得：a

=\sqrt{3}-

1，

∴AP＝2a＝2

\sqrt{3}-

2．

解后反思

通過對本題的解答，我們應靈活處理題目中的折疊、并注意挖掘特殊角和全等證明方法．

1．關(guān)于折疊

處理折疊問題要把握兩點：

①對應角相等、對應邊相等；②對應點所連的線段被折痕垂直平分；

2．關(guān)于特殊角

特殊角的挖掘往往是解題的關(guān)鍵，尋找解題思路時要善于挖掘特殊角，本題涉及的特殊角有45°，60°，30°，90°等；

3．如何證全等

證明全等或構(gòu)造全等是幾何題很重要的內(nèi)容，學習數(shù)學時要倍加重視．全等有五種判定方法，分別是SAS， ASA，AAS，SSS和HL，尋找思路時要明確已知或已證邊角條件，若要證全等還需什么條件，然后結(jié)合已知、已證、圖形獲取的信息集中解決，另外平時的學習、備考要注意積累這方面的經(jīng)驗．

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來自：一個大風子 > 《初中》

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