要理解矩陣乘積，首先得理解矩陣。

一、什么是矩陣

在線性代數(shù)里，矩陣的身影隨處可見甚至我們一直在算矩陣，可矩陣到底是什么東西，矩陣乘積又為什么這么規(guī)定呢，而且這樣一種怪異的乘法規(guī)則在實(shí)踐中也不會(huì)出現(xiàn)什么問題......

事實(shí)上，矩陣代表了一個(gè)特定的線性變換。

我們知道線性變換是操縱空間的一種手段，這種變換不用去觀察，只需要幾個(gè)數(shù)字就能描述清楚，那就是變換后基向量的坐標(biāo)列，以這些坐標(biāo)為列所構(gòu)成的矩陣為我們提供了一種描述線性變換的語(yǔ)言，所以說矩陣就是線性空間里線性變換的描述。

二、矩陣與線性變換

而對(duì)于一個(gè)線性變換，只要你選定一組基，那么就可以找到一個(gè)矩陣來描述這個(gè)線性變換。換一組基，就得到一個(gè)不同的矩陣。所有這些矩陣都是這同一個(gè)線性變換的描述，但又都不是線性變換本身。當(dāng)然，這一句話里面還隱藏了一個(gè)信息：矩陣還可以作為一組基的描述，比如我們最常見的單位矩陣I，它的列向量就可以看作一組基，而且不要忘記我們也會(huì)把矩陣稱為列向量組或者行向量組。

向量是線性空間的基本研究對(duì)象，按理說要把向量表示出來，就要把它放在一個(gè)坐標(biāo)系中去度量它，然后把度量的結(jié)果（向量在各個(gè)坐標(biāo)軸上的投影值）按一定順序列在一起，這就成了我們平時(shí)所見的向量表示形式。你選擇的坐標(biāo)系（基）不同，得出來的向量的表示就不同。向量還是那個(gè)向量，選擇的坐標(biāo)系不同，其表示方式就不同。因此，按道理來說，每寫出一個(gè)向量的表示，都應(yīng)該聲明一下這個(gè)表示是在哪個(gè)坐標(biāo)系中度量出來的。表示的方式是Ma，也就是說有一個(gè)向量，在M矩陣表示的坐標(biāo)系中度量出來的結(jié)果為a。M矩陣表示出來的那個(gè)坐標(biāo)系，由一組基組成，而那組基也是由向量組成的，同樣存在這組向量是在哪個(gè)坐標(biāo)系下度量而成的問題。也就是說，表述一個(gè)矩陣也應(yīng)該要指明其所處的基準(zhǔn)坐標(biāo)系。所謂M其實(shí)是IM，也就是說，M中那組基的度量是在I坐標(biāo)系中得出的。

三、矩陣乘積

根據(jù)上述視角來看，M×N不是什么矩陣乘法，而是聲明了一個(gè)在M坐標(biāo)系中量出的另一個(gè)坐標(biāo)系N，其中M本身是在I坐標(biāo)系中度量出來的。從變換角度來講，矩陣乘積表示兩個(gè)線性變化先后作用。如果把N看作是坐標(biāo)系的一組基，那么M×N也可以理解成對(duì)組成坐標(biāo)系N的每一個(gè)向量施加M變換。

我們知道，矩陣既可以描述變換還可以描述坐標(biāo)系。舉個(gè)例子來看，比如要把點(diǎn)(1,1)變到點(diǎn)(3,4)去，可以有兩種做法。

第一，坐標(biāo)系不動(dòng)，點(diǎn)動(dòng)，把(1,1)點(diǎn)挪到(3,4)去。

第二，點(diǎn)不動(dòng)，坐標(biāo)系動(dòng)，讓x軸的度量（單位向量）變成原來的1/3，讓y軸的度量（單位向量）變成原先的1/4，這樣點(diǎn)還是那個(gè)點(diǎn)，可是點(diǎn)的坐標(biāo)就變成(3,4)了。

方式不同，結(jié)果是一樣的。第一種方式刻畫的就是矩陣用來描述變換，第二種方式刻畫的就是矩陣可以用來描述坐標(biāo)系。

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