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【原】線段和角中的分類討論問題

 妍小青 2021-07-19
線段和角之間往往會(huì)涉及很多分類討論問題，在線段中往往會(huì)涉及“點(diǎn)在直線/線段/射線上”，在角中往往會(huì)涉及“在角的內(nèi)部/外部”，這些條件中往往會(huì)涉及分類討論。因此，在審題時(shí)，要格外仔細(xì)和細(xì)致，防止漏解或多解。

        

 1、如圖1：由于AC=2AB，因此C可能在AB的延長線上或在BA的延長線上。當(dāng)C在AB延長線上時(shí)，BC=3cm；當(dāng)C在BA延長線上時(shí)，BC=9cm.
2、如圖2：由于A、B、C在一直線上，且AB>BC，因此C在AB延長線上或C在線段AB上。當(dāng)C在AB延長線上時(shí)，AC=8cm，當(dāng)C在AB上時(shí)，AC=2cm.
??當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)在直線AB上時(shí)，根據(jù)題意進(jìn)行分類討論，①點(diǎn)在線段AB上；②點(diǎn)在AB的延長線上；③點(diǎn)在BA的延長線上，

     

3、如左圖：當(dāng)M在線段AB上時(shí)，設(shè)AM=x，BM=3x，即AB=4x，即4x=2.8，解得x=0.7，此時(shí)CM=AM+AC=0.7+2.8=3.5;
如右圖：當(dāng)M在線段AC上時(shí)，設(shè)AM=x，BM=3x，即AB=2x，即2x=2.8，解得x=1.4，此時(shí)CM=AC-AM=2.8-1.4=1.4.

1、注意“點(diǎn)在線段AB上”和“點(diǎn)在射線AB”上的區(qū)別，“點(diǎn)在射線AB上”說明點(diǎn)在線段AB上或點(diǎn)在線段AB的延長線上。
2、若點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，則要注意線段之間的倍半關(guān)系。、
3、和線段有關(guān)的計(jì)算，常用方程思想，設(shè)其中一條線段長為x，其他線段長度用含x的代數(shù)式表示，根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列方程求解。

互余的角：∠AOB和∠COB；∠AOB和∠DOE；∠BOC和∠DOC；∠DOC和∠DOE；
相等的角：∠AOB=∠COD；∠COB和∠DOE；∠DOB=∠AOC=∠COE；
（∠AOB+∠COB=90°，∠COB+∠DOC=90°，即∠AOB=∠DOC，同角的余角相等）
互補(bǔ)的角：∠AOB和∠BOE；∠COD和∠BOE；∠DOE和∠AOD；∠BOC和∠AOD；∠AOC和∠COE；∠AOC和∠BOD；∠COE和∠BOD.

1、如圖1：當(dāng)D在OA上方和OA下方時(shí)，進(jìn)行分類討論。當(dāng)D在OA上方時(shí)，∠COD=∠AOC+∠AOD=75°，當(dāng)D在OA下方時(shí)，∠COD=∠AOD-∠AOC=15°。
2、如圖1：當(dāng)C在OB上方和OB下方時(shí)，進(jìn)行分類討論。當(dāng)C在OB上方時(shí)，∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°，當(dāng)C在OB下方時(shí)，∠AOC=∠AOB-∠BOC=30°。

3、如圖：當(dāng)D在AC上方和AC下方時(shí)，進(jìn)行分類討論。當(dāng)D在AC下方時(shí)，此時(shí)∠BAD=∠BAC+∠ACD=90°，當(dāng)D在AC上方時(shí)，∠CAD=70°，則∠BAD=50°。
注意：勿畫AD⊥AC，此時(shí)∠CAD=90°，不與∠CAB互余。
??當(dāng)出現(xiàn)畫角時(shí)，要注意是否存在兩種情況，①在某條邊的上方還是在下方，②在角的內(nèi)部或外部。

 
如左圖：當(dāng)∠BOC在∠AOB外部時(shí)，∠AOC=90°，∠AOP=45°，∠BOP=∠AOB-∠AOP=70-45=25°；當(dāng)∠BOC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，∠AOC=50°，∠AOP=25°，∠BOP=∠AOB-∠AOP=70-25=45。

 

1、注意“在角的內(nèi)部和外部”兩者的區(qū)別，在畫余角或補(bǔ)角時(shí)，未指明位置關(guān)系時(shí)，往往存在兩種可能，一種是直角(一直線)，一種則滿足和為90或180°(未成直角或一直線關(guān)系).
2、當(dāng)出現(xiàn)角平分線時(shí)，角平分線之間存在角之間的倍半關(guān)系，同時(shí)注意條件的使用，注意互補(bǔ)和互余之間角的數(shù)量關(guān)系，正確進(jìn)行角的和差關(guān)系的運(yùn)算。

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