河北省秦皇島開發(fā)區(qū)燕山大學(xué)附屬中學(xué) 楊 茉

求圓錐曲線中的離心率范圍是同學(xué)們?cè)趫A錐曲線學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的一類問題。面對(duì)此類問題，同學(xué)們往往束手無策，難以順利解決。下面結(jié)合幾個(gè)實(shí)例談?wù)勥@類問題的求解策略，以供參考。

一、建立函數(shù)關(guān)系式求解

根據(jù)題設(shè)條件建立離心率和其他一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后利用求函數(shù)值域的方法求解離心率的范圍。

例1 已知橢圓=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)A 關(guān)于原點(diǎn)O 的對(duì)稱點(diǎn)為B，F(xiàn) 為其右焦點(diǎn)，若AF⊥BF，設(shè)∠ABF=α，且α∈，則橢圓離心率的取值范圍是____。

圖1

解：如圖1，左焦點(diǎn)為F1，連接AF1、BF1，AF ⊥BF，可得四邊形 AF1BF是矩形，所以AO=OF=OB=c，AB=2c。因此，AF=2csinα，BF=2ccosα。又因?yàn)锳F1=BF，AF1+AF=2a，所以2csinα+2ccosα=2a。也即。

因

故填。

點(diǎn)評(píng)：由已知條件建立關(guān)于a，c 的一個(gè)方程，用參數(shù)α 表示離心率e，從而建立以α為變量的三角函數(shù)，然后求三角函數(shù)的值域，從而求出橢圓離心率的取值范圍。

二、利用判別式求解

根據(jù)題中條件隱含的一元二次方程的存在性，利用判別式建立不等式關(guān)系，來求離心率的取值范圍。

例2 設(shè)雙曲線C：-y2=1(a＞0)與直線l：x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，求雙曲線C 的離心率e 的取值范圍。

點(diǎn)評(píng)：將圓錐曲線方程和直線方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量后得到一個(gè)關(guān)于另一個(gè)變量的方程，由已知可得此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用二次方程的判別式可得到參數(shù)的取值范圍，再找出e 與這個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系即可。

三、利用已知的不等關(guān)系求解

根據(jù)圓錐曲線的幾何性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用已知的不等關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為求解不等式。

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是如何建立k 與e之間的關(guān)系，然后再利用k 的取值范圍來解e的取值范圍，同時(shí)還要注意橢圓離心率e 小于1。

故所求離心率e的取值范圍是。

四、利用圓錐曲線的取值范圍建立不等關(guān)系求解

例4 設(shè)橢圓=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，如果橢圓上存在點(diǎn)P，使∠F1PF2=90°，求離心率e 的取值范圍。

點(diǎn)評(píng)：確定橢圓上點(diǎn)P(x，y)與a，b，c的等量關(guān)系，由橢圓的范圍知|x|≤a，|y|≤b，建立不等關(guān)系。如果涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的有關(guān)問題，可用曲線的焦半徑公式求解。

五、利用隱含的不等關(guān)系求解

例5 已知雙曲線=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，左準(zhǔn)線為l，P是雙曲線左支上一點(diǎn)，并且|PF1|是點(diǎn)P 到準(zhǔn)線l的距離d 與|PF2|的等比中項(xiàng)，求離心率e 的取值范圍。

分析：解此題需要用到題中的隱含條件，即根據(jù)已知P 是雙曲線左支上的一點(diǎn)，點(diǎn)P到左、右焦點(diǎn)的距離之和大于或等于焦距，從而找到關(guān)于e 的不等關(guān)系即可求解。