平安夜兩個(gè)班學(xué)生的周測(cè)試卷經(jīng)過晚上的加班，照例于今天（圣誕節(jié)）上午就跟學(xué)生們見面了，其中有關(guān)“M型”相似出現(xiàn)了幾次，這也是我平時(shí)課堂上跟學(xué)生講解過多次的重點(diǎn)內(nèi)容，下面就結(jié)合周測(cè)，對(duì)“M型”相似再做整理歸納，希望對(duì)同學(xué)們有所啟發(fā)。

“M型”相似

已知如圖，∠B=∠C=∠EDF，求證：△BED∽△CDF

分析：由外角定理可知∠EDC=∠B+∠BED，而∠EDC=∠EDF+∠FDC，∠EDF=∠B，故而∠BED=∠FDC。又因?yàn)椤螧=∠C，從而△BED∽△CDF得證。

除了相似，我們進(jìn)一步可得等積式BE·CF=BD·CD（左邊乘以右邊等于左邊乘以右邊），這個(gè)結(jié)論在我們做題時(shí)亦有大用。

特別地，當(dāng)點(diǎn)D為BC中點(diǎn)時(shí)，連接EF我們可以得到如下結(jié)論：△BED∽△CDF∽△DEF

分析：△BED∽△CDF之前已證，可得BE/CD=DE/DF，將CD用BD替換（D是中點(diǎn)），比例式變形可得BE/DE=BD/DF，而∠B=∠EDF，故而得△BED∽△DEF，從而結(jié)論得證。

除此之外，我們還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)D為BC中點(diǎn)時(shí)還可得到ED平分∠BEF，F(xiàn)D平分∠EFC，若過D向BE、EF、FC作垂線段，則其長度相等，△BED、△CDF、△DEF的面積比也就等于BE：CF：EF

下面來看昨晚的周測(cè)題

21、（8分）如圖，正方形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),DE⊥EF

（1）求tan∠BEF的值       （2）求證：△DAE∽△DEF

分析：此題中∠A=∠B=∠DEF，是典型的“M型”相似的模型。本題第一問求tan∠BEF的值，也即求BF/BE，可由△DAE∽△EBF得到AD/BE=AE/BF，變形得BF/BE=AE/AD=1/2，即tan∠BEF=1/2。本題第二問事實(shí)上就是“M型”相似的特殊情況，當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)△DAE∽△EBF∽△DEF，其證法上面已做講解。

附加題：

如圖，在△ABC中，AB=AC=10，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于點(diǎn)E，且cosα=0.8．下列結(jié)論：①△ADE∽△ACD；②當(dāng)BD=6時(shí)，△ABD與△DCE全等；

③△DCE為直角三角形時(shí)，BD為8或12.5； ④0＜CE≤6.4．

下列結(jié)論正確的是：                 .

分析：上述四項(xiàng)均正確。過點(diǎn)D作BC邊上的高，由cosα=0.8，AB=10易得BC=16，這是題中隱含的條件。AB=AC即∠B=∠C，故而∠ADE=∠B=∠C=α，這又是“M型”相似的模型。①易證；②當(dāng)BD=6時(shí)，算出CD=10，全等也得出來了；③△DCE為直角三角形時(shí)，分D、E為直角頂點(diǎn)兩種情況，相對(duì)應(yīng)∠BAD=90°和∠BDA=90°兩種情況，再加上cosα=0.8易得；至于④，事實(shí)上CE長度的變化依賴于BD的變化，題中所給D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，我們可以利用之前的等積式結(jié)論AB·CE=BD·CD，設(shè)BD=x,CE=y，則10y=x(16-x)，變形即得y與x的函數(shù)關(guān)系式，其中x的范圍為0<x<16，求最值即可。

由這兩道周測(cè)題即可初窺“M型”相似模型的應(yīng)用之廣泛，希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)能夠勤思考、多總結(jié)，多動(dòng)筆，將所學(xué)落在實(shí)處，變?yōu)樽约旱摹?/span>