撰文丨馬里奧 · 利維奧（Mario Livio） 

翻譯丨郭凱聲

科學(xué)家能夠推導(dǎo)出描述亞原子現(xiàn)象的公式，工程師可以計(jì)算出航天器的飛行軌跡，皆得益于數(shù)學(xué)的魅力。伽利略第一個(gè)站出來力挺“數(shù)學(xué)乃科學(xué)之語(yǔ)言”這一觀點(diǎn)，而我們也接受了他的看法，并期望用數(shù)學(xué)的語(yǔ)法來解釋實(shí)驗(yàn)結(jié)果，乃至預(yù)測(cè)新的現(xiàn)象。不管怎么說，數(shù)學(xué)的神通都令人瞠目。

看看蘇格蘭物理學(xué)家麥克斯韋（James Clerk Maxwell）那個(gè)著名的方程組吧。麥克斯韋方程組的4個(gè)方程，不僅囊括了19世紀(jì)60年代時(shí)所有已知的電磁學(xué)知識(shí)，而且還預(yù)測(cè)了無線電波的存在，此后又過了差不多20年，德國(guó)物理學(xué)家赫茲（Heinrich Hertz）才通過實(shí)驗(yàn)探測(cè)到電磁波。能夠?qū)⑷绱撕Ａ康男畔⒁詷O其簡(jiǎn)練、精準(zhǔn)的方式表述出來的語(yǔ)言，可謂鳳毛麟角。無怪乎愛因斯坦會(huì)發(fā)出這樣的感嘆：“數(shù)學(xué)本是人類思維的產(chǎn)物，與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)無關(guān)，緣何卻能與具有物理現(xiàn)實(shí)性的種種客體吻合得如此完美，令人叫絕呢？”

1960年，諾貝爾獎(jiǎng)得主、物理學(xué)家尤金·魏格納（Eugene Wigner）以“有用得說不通”來闡述數(shù)學(xué)的偉大，而作為一位活躍的理論天體物理學(xué)家，我在工作中也感同身受。無論我是想要弄清名為Ia型超新星（Ia supernovae）的恒星爆炸產(chǎn)生自哪種前身天體系統(tǒng)，還是推測(cè)當(dāng)太陽(yáng)最終變成紅巨星時(shí)地球的命運(yùn)，我使用的工具以及所建立的模型都屬于數(shù)學(xué)范疇。數(shù)學(xué)對(duì)自然界的詮釋是如此不可思議，令我在整個(gè)職業(yè)生涯中為之神魂顛倒。

這道難題的核心，在于數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家及認(rèn)知科學(xué)家多少世紀(jì)以來一直爭(zhēng)論的一個(gè)話題：數(shù)學(xué)究竟是如愛因斯坦所堅(jiān)信的那樣，是人們發(fā)明出來的一套工具，還是本來就已經(jīng)存在于抽象世界中，不過被人發(fā)現(xiàn)了而已？愛因斯坦的觀點(diǎn)源自于所謂形式主義（Formalism）學(xué)派，許多偉大的數(shù)學(xué)家，包括大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）、格奧爾格·康托爾（Georg Cantor），以及布爾巴基學(xué)派的數(shù)學(xué)家，都與愛因斯坦看法一致。但其他一些杰出精英，如戈弗雷·哈羅德·哈代（Godfrey Harold Hardy）、羅杰·彭羅斯（Roger Penrose）以及庫(kù)爾特·哥德爾（Kurt G?del），則持相反觀點(diǎn)，他們信奉柏拉圖主義（Platonism）。

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這場(chǎng)有關(guān)數(shù)學(xué)本性的辯論如今仍然火爆，似乎難以找到明確的答案。我認(rèn)為，如果只是單純地糾結(jié)于數(shù)學(xué)是被發(fā)明還是被發(fā)現(xiàn)的這個(gè)問題，或許會(huì)忽視另一個(gè)更為糾結(jié)復(fù)雜的答案：兩者都起著關(guān)鍵作用。我推想，將這兩方面因素結(jié)合起來，應(yīng)該能解釋數(shù)學(xué)的魅力。發(fā)明與發(fā)現(xiàn)并非勢(shì)不兩立；雖然消除它們之間的對(duì)立并不能完全解釋數(shù)學(xué)的神奇效能，但鑒于這個(gè)問題實(shí)在是太深?yuàn)W，即使僅僅是朝著解決問題的方向邁出一小步，也算是有所進(jìn)展了。

發(fā)明與發(fā)現(xiàn)并重

數(shù)學(xué)“不合理”的神奇功效通過兩種截然不同的方式體現(xiàn)出來，依我看其中一種可稱為主動(dòng)方式，另一種可稱為被動(dòng)方式。有時(shí)，科學(xué)家會(huì)針對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象專門打造一些方法來進(jìn)行定量研究。例如，牛頓創(chuàng)立微積分學(xué)，就是為了了解運(yùn)動(dòng)與變化的規(guī)律，其方法就是把運(yùn)動(dòng)和變化的過程分解為一系列逐幀演化的無窮小片斷。這類主動(dòng)的發(fā)明，自然非常有效率，因?yàn)樗鼈兌际轻槍?duì)需要定向打造的。

不過，它們?cè)谀承┣闆r下所達(dá)到的精度更讓人嘖嘖稱奇。以量子電動(dòng)力學(xué)（quantum electrodynamics）這個(gè)專門為描述光與物質(zhì)相互作用而建立起來的數(shù)學(xué)理論為例。當(dāng)科學(xué)家運(yùn)用此理論來計(jì)算電子的磁矩時(shí)，理論值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果幾乎完全吻合，誤差僅有十億分之幾。

還有更令人驚訝的事實(shí)。有時(shí)，數(shù)學(xué)家在開創(chuàng)一個(gè)個(gè)完整的研究領(lǐng)域時(shí)，根本沒想過它們會(huì)起的作用。然而過了幾十年，甚至若干世紀(jì)后，物理學(xué)家才發(fā)現(xiàn)，正是這些數(shù)學(xué)分支能夠圓滿詮釋他們的觀測(cè)結(jié)果。這類能體現(xiàn)數(shù)學(xué)“被動(dòng)效力”的實(shí)例不可勝數(shù)。

比如，法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅華（évariste Galois）在19世紀(jì)初期建立群論時(shí)，只是想要弄清高次代數(shù)方程可否用根式求解。廣義地說，群是一類由特定范圍的若干元素（例如整數(shù)）組成的代數(shù)結(jié)構(gòu)，它們能夠進(jìn)行特定的代數(shù)運(yùn)算（例如加法），并滿足若干具體的條件（其中一個(gè)條件是存在單位元，拿整數(shù)加群來說，單位元就是0，它與任何整數(shù)相加，仍然得到這個(gè)整數(shù)本身）。

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但在20世紀(jì)的物理學(xué)中，這個(gè)相當(dāng)抽象的理論竟然衍生出了最有成效的基本粒子分類方法（基本粒子是物質(zhì)的最小結(jié)構(gòu)單元）。20世紀(jì)60年代，物理學(xué)家默里·蓋爾曼（Murray Gell-Mann）和尤瓦爾·尼曼（Yuval Ne'eman）各自證明，一個(gè)名為SU（3）的特殊的群反映了所謂強(qiáng)子這類亞原子粒子的某項(xiàng)特性，而正是群與基本粒子之間的這一聯(lián)系，最終為描述原子核是如何結(jié)合的現(xiàn)代理論奠定了基礎(chǔ)。

對(duì)結(jié)的研究，是數(shù)學(xué)顯示被動(dòng)效力的又一個(gè)精彩實(shí)例。數(shù)學(xué)上的結(jié)與日常生活中的結(jié)頗為相似，只是沒有松開的端頭。19世紀(jì)60年代，開爾文爵士希望用有結(jié)的以太管來描述原子。他的模型搞錯(cuò)了方向，跟實(shí)際情況基本掛不上鉤，但數(shù)學(xué)家們?nèi)宰巫尾痪氲貙?duì)結(jié)繼續(xù)進(jìn)行了數(shù)十年的分析，只不過是把它當(dāng)作一個(gè)非常深?yuàn)W的純數(shù)學(xué)問題來研究。

令人驚訝的是，后來結(jié)理論竟然為我們提供了對(duì)弦論（string theory）和圈量子引力（loop quantum gravity）的若干重要見解，它們正是我們眼下為構(gòu)建一個(gè)能夠使量子力學(xué)和廣義相對(duì)論和諧統(tǒng)一的時(shí)空理論的最好嘗試。英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代（Hardy）在數(shù)論領(lǐng)域的發(fā)現(xiàn)與此也有異曲同工之妙。哈代為推動(dòng)密碼學(xué)研究立下了汗馬功勞，盡管他本人先前曾斷言，“任何人都還沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)論可以為打仗這回事派上什么用場(chǎng)”。

此外，1854年，黎曼（Bernhard Riemann）率先描述了非歐幾何——這種幾何具有某些奇妙特性，例如平行線可能相交。半個(gè)多世紀(jì)后，愛因斯坦正是借助于非歐幾何創(chuàng)立了廣義相對(duì)論。

一種模式浮現(xiàn)出來：人們對(duì)周圍世界的各種元素——包括圖形、線條、集合、群組等——進(jìn)行抽象概括后，發(fā)明出各種數(shù)學(xué)概念，有時(shí)出于某種具體目的，有時(shí)則純粹為了好玩。他們接下來會(huì)努力尋找這些概念之間的聯(lián)系。這一發(fā)明與發(fā)現(xiàn)的過程是人為的，與柏拉圖主義標(biāo)榜的那種發(fā)現(xiàn)不同，因此，我們創(chuàng)立的數(shù)學(xué)歸根結(jié)底取決于我們的知覺過程以及我們能構(gòu)想出的心理場(chǎng)景。例如，我們?nèi)祟惥哂兴^“感數(shù)”（subitizing）的天賦，可以一眼識(shí)別出數(shù)量，毫無疑問，這種本能催生了數(shù)字的概念。

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我們非常擅長(zhǎng)于感知各個(gè)物體的邊緣，并且善于區(qū)分直線與曲線，以及形狀不同的圖形，如圓和橢圓等?；蛟S，正是這些本能促進(jìn)了算術(shù)與幾何學(xué)的興起和發(fā)展。同理，人類無數(shù)次反復(fù)經(jīng)歷的各種因果關(guān)系，對(duì)于邏輯的創(chuàng)立至少也起了部分作用，并產(chǎn)生以下認(rèn)識(shí)：根據(jù)某些陳述，我們可以推斷出其他一些陳述的正確性。

選擇與進(jìn)化

邁克爾·阿提亞（Michael Atiyah）是20世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，他曾通過一項(xiàng)非常巧妙的假想實(shí)驗(yàn)來揭示我們掌握的數(shù)學(xué)概念是如何受知覺影響的——甚至連數(shù)字這類最基本的概念也不例外。德國(guó)數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker）有一句名言：“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其余都是人做的工作?！?/span>

但我們可以想象，如果世界上有智力的不是人類，而是一種生活在太平洋底與世隔絕的奇異水母，在它們周圍，從海水的流動(dòng)到海水溫度與壓力，都是連綿不斷的。在這樣一個(gè)找不到什么獨(dú)特個(gè)體，也就是不存在任何離散性元素的環(huán)境里，數(shù)字的概念有機(jī)會(huì)破繭而出嗎？如果沒有什么東西可以讓你去數(shù)，那還會(huì)有數(shù)字存在嗎？

同水母一樣，我們也要采用能夠適合于自己所在環(huán)境的數(shù)學(xué)工具——毫無疑問，數(shù)學(xué)正是因此而顯得神通廣大?？茖W(xué)家并非隨心所欲地選擇分析工具，而是根據(jù)它們是否能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果來作出選擇的。當(dāng)網(wǎng)球發(fā)球機(jī)吐球時(shí)，你可以用自然數(shù)1、2、3依次標(biāo)示向外蹦出的球。不過，消防員噴水救火時(shí)，要想對(duì)水流作出有意義的描述，就得用體積或重量之類的概念了。

同樣道理，各種亞原子粒子在粒子加速器中碰撞時(shí)，物理學(xué)家也是用能量及動(dòng)量之類的指標(biāo)，而不是用最終到底有多少粒子來評(píng)估碰撞。最終粒子數(shù)只能給出有關(guān)原始粒子碰撞過程的部分信息，因?yàn)樵谶@一過程中可能還有其他粒子產(chǎn)生。只有最出色的模型才能歷經(jīng)時(shí)間的考驗(yàn)。而那些失意的模型，比如笛卡爾用宇宙物質(zhì)旋渦來描述行星運(yùn)動(dòng)的嘗試，就夭折了。反觀成功的模型，則會(huì)隨著新信息的出現(xiàn)而逐步改進(jìn)。

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例如，當(dāng)人們對(duì)水星這顆行星的進(jìn)動(dòng)獲得了極其精確的測(cè)量結(jié)果后，就必須用愛因斯坦的廣義相對(duì)論來徹底改造牛頓的引力理論，才能對(duì)最新測(cè)量結(jié)果作出圓滿解釋。任何一種行之有效的數(shù)學(xué)概念，壽命都是很長(zhǎng)的。比如，早在公元前250年左右，阿基米德就已經(jīng)證明了球體表面積的公式，而直到今天，這個(gè)公式也跟當(dāng)年一樣站得住腳。因此，任何時(shí)代的科學(xué)家都有一個(gè)極其龐大的數(shù)學(xué)公式寶庫(kù)供其搜索，從中找出最適合的方法來使用。

科學(xué)家不僅在尋求答案，他們常常也挑選適合于用數(shù)學(xué)處理的問題。然而，有一大批現(xiàn)象不可能作出精確的數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)，有時(shí)甚至原則上就是不可預(yù)測(cè)的。例如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，許多變量——比方說民眾心理素質(zhì)的詳細(xì)情況——不適宜作定量分析。

任何理論的預(yù)測(cè)價(jià)值，均取決于各變量之間基礎(chǔ)關(guān)系是否恒定。我們的分析也無法徹底解讀會(huì)產(chǎn)生混沌的系統(tǒng)（在這類系統(tǒng)中，只要初始條件有極其微小的變化，都可能導(dǎo)致最終結(jié)果完全不同，因而無法進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)）。數(shù)學(xué)家們創(chuàng)立了統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率論來彌補(bǔ)上述缺陷，但眾所周知，奧地利邏輯學(xué)家?guī)鞝柼亍じ绲聽栐缫炎C明，數(shù)學(xué)本身是存在著固有局限性的。

自然界的對(duì)稱性

數(shù)學(xué)能如此成功地詮釋自然法則，精心挑選問題與答案僅是原因之一。這樣的法則首先必須存在，數(shù)學(xué)才有用武之地。對(duì)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家來說，幸運(yùn)的是我們這個(gè)宇宙看起來是被一些亙古不變的自然法則所支配的。決定宇宙最初結(jié)構(gòu)的引力，同樣也左右著今天的星系。為了解釋這種以不變應(yīng)萬變的現(xiàn)象，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家發(fā)明了對(duì)稱性的概念。

物理學(xué)定律似乎都蘊(yùn)含著相對(duì)于空間和時(shí)間的對(duì)稱性。無論在何時(shí)何地，從什么角度來查看這些定律，它們都是不變的。此外，物理學(xué)定律對(duì)于所有觀察者都是一視同仁的，無論這些觀察者是處于靜止?fàn)顟B(tài)，還是在做勻速運(yùn)動(dòng)或加速運(yùn)動(dòng)。

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因此，無論我們?cè)谀睦镒鰧?shí)驗(yàn)，中國(guó)也好，美國(guó)也好，乃至在仙女座大星云也好，也無論我們是今天做這個(gè)實(shí)驗(yàn)，還是10億年后由另外某個(gè)人來做實(shí)驗(yàn)，都可以用同樣的物理學(xué)定律來解釋實(shí)驗(yàn)結(jié)果。如果宇宙不具有這種對(duì)稱性，那我們想要破解大自然宏偉設(shè)計(jì)的努力——也就是根據(jù)我們的觀測(cè)結(jié)果建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型——可就要無功而返了，因?yàn)槟菢游覀兙偷冕槍?duì)時(shí)空中的每個(gè)點(diǎn)，不斷反復(fù)實(shí)驗(yàn)。

而在描述亞原子粒子的物理學(xué)定律中，則是另一類更復(fù)雜的對(duì)稱性，即規(guī)范對(duì)稱性占據(jù)主導(dǎo)地位。由于量子世界的模糊性，某一給定粒子既可以是帶負(fù)電的電子，也可以是不帶電的中微子，還可以是二者的疊加態(tài)，除非我們測(cè)量了電荷，明確區(qū)分出它到底是電子還是中微子。

其實(shí)，如果我們把電子換成中微子，或者換成兩者的任何一個(gè)疊加態(tài)，自然界的法則依舊保持同一形式。換成其他基本粒子，情況也仍然如此。沒有這種規(guī)范對(duì)稱性，我們要建立一個(gè)有關(guān)宇宙基本運(yùn)作原理的理論是極其困難的。

同樣，沒有局域性，情況也會(huì)非常棘手（所謂局域性，是指我們這個(gè)宇宙中的任何事物僅受其近鄰環(huán)境的直接影響，而不受遠(yuǎn)處發(fā)生的事件的影響）。有了局域性，我們就可以首先設(shè)法解讀基本粒子之間最基礎(chǔ)的力，然后利用其他各種知識(shí)元素，像拼七巧板一樣嘗試拼出宇宙的數(shù)學(xué)模型來。

現(xiàn)今在為統(tǒng)一各種相互作用的嘗試中，最有希望成功的一種數(shù)學(xué)理論，需要依靠另一種對(duì)稱——超對(duì)稱性（supersymmetry）。在由超對(duì)稱性主導(dǎo)的宇宙里，每種已知粒子都有一個(gè)尚待發(fā)現(xiàn)的伙伴粒子。如果這些伙伴粒子最終被發(fā)現(xiàn)[當(dāng)歐洲原子核研究中心（CERN）的大型強(qiáng)子對(duì)撞機(jī)（LHC）投入全能量運(yùn)行時(shí)，它們可能會(huì)被發(fā)現(xiàn)]，那么這將是具有神奇效力的數(shù)學(xué)的又一項(xiàng)勝利。

在本文開頭，我提出了兩個(gè)互相關(guān)聯(lián)的基本問題：數(shù)學(xué)是人們發(fā)明的還是發(fā)現(xiàn)的？是什么因素賦予了數(shù)學(xué)如此強(qiáng)大的解釋能力與預(yù)測(cè)本領(lǐng)？我相信第一個(gè)問題已經(jīng)有了答案：數(shù)學(xué)是發(fā)明與發(fā)現(xiàn)的精妙融合。一般說來概念是發(fā)明的產(chǎn)物，而即便概念之間所有正確的關(guān)系在被發(fā)現(xiàn)之前就已經(jīng)存在，人們依然需要對(duì)研究哪些關(guān)系進(jìn)行選擇。

現(xiàn)在看來第二個(gè)問題似乎更為復(fù)雜。毫無疑問，正因我們?cè)谑褂脭?shù)學(xué)方法時(shí)對(duì)題材進(jìn)行了精心挑選，于是數(shù)學(xué)給我們留下了非常有效這種印象。但如果本來就沒有什么普遍存在的規(guī)律等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)，那數(shù)學(xué)就完全無用武之地了?，F(xiàn)在你可以這樣問：為何會(huì)存在放之四海而皆準(zhǔn)的自然法則？或者說，為何我們的宇宙被某些對(duì)稱性以及局域性所支配？說實(shí)在的，我不知道答案，我只能說，在一個(gè)不存在上述特性的宇宙中，復(fù)雜性和生命或許永遠(yuǎn)也不會(huì)出現(xiàn)，我們當(dāng)然也就沒有機(jī)會(huì)提出這些問題了。

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