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相似：從比例線段到梅涅勞斯定理

 昵稱47813312 2021-05-12

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相似是初中幾何重要且難度較大的內(nèi)容，相似側(cè)重研究線段之間的比例關系，本文從一個例題的證明出發(fā)，探究圖形中存在的線段比例關系．
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01
例題探究
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例題呈現(xiàn)

如圖，△ABC中，D為BC邊的中點，延長AD至E，延長AB交CE的延長線于P，若AD=2DE，求證：AP=3AB．

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思路分析：條件為兩個比例，AD：DE=2:1，BD：DC=1:1，求證AB：AP=1:3．
已知比例求比例，考慮作平行線得“A”字型或“8”字型，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化比例．

重點考慮：過哪個點作哪條線的平行線？

【思路1】考慮到問題是求證AB:AP=1:3，等價于AB:BP=1:2，不妨過點B作平行線．

思路1：過點B作平行線

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思路1：過點B作平行線

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【思路2】考慮到條件中的兩個比例均與點D有關，不妨過點D作平行線．

思路2：過點D作平行線

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思路2：過點D作平行線

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【思路3】除了B、D之外，剩下的A、P、E、C同樣可以試著作平行線，這四個點均為條件或問題中比例線段的一個端點．

思路3：過點A作平行線

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思路3：過點A作平行線

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思路3：過點C作平行線

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思路3：過點C作平行線

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思路3：過點P作平行線

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思路3：過點P作平行線

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思路3：過點E作平行線

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思路3：過點E作平行線

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【思路4】既然已經(jīng)有這么多作法了，不妨猜想，在本題中，是否過任意一點作任意一邊平行線均可解決問題？實際上，只差作AC的平行線了．
但輕易不作AC平行線，與其他線段相比，AC顯得最多余，甚至拿掉AC也是一個完整的題目．

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思路4：作AC的平行線

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思路4：作AC的平行線

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思路4：作AC的平行線

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思路4：作AC的平行線

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02
梅涅勞斯定理
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【思路5】涉及到關于三角形中的比例線段，不妨考慮下Menelaus定理．

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思路5：menelaus定理

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運用梅涅勞斯定理解題，關鍵是要找準三角形和截線，本題涉及到比例的三條線分別為AP、BC、AE，構(gòu)成的三角形為△ABD，∴△ABD被PEC所截，得比例關系．

回到上面的問題，我們在思考為什么在例題中我們從不同的角度作輔助線均可解決問題？如果從不同的位置作輔助線均能證明梅涅勞斯定理，也算是一種回答．

03
定理證明
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我們把圖中的6個點分為兩類：
（1）頂點：A、B、C；
（2）截點：D、E、F．

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把圖中的4條線也分為兩類：
（1）三角形的邊：AB、BC、AC；
（2）截線：DEF．

那么，考慮3種情況即可：
（1）過頂點作邊的平行線；
（2）過頂點作截線的平行線；
（3）過截點作邊的平行線．

法1：過頂點作邊的平行線

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法2：過頂點作截線的平行線

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法3：過截點作邊的平行線

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過程雖略顯麻煩，但結(jié)果依然是肯定的，事實上，如果條件中有具體比例，則計算算不上復雜，對于定理的證明而言，不著急過截點作平行線．

舉了以上3種情況，代表著過任意點作任意線的平行線均能證明定理，則必能解決比例計算的問題．

問題到這里就可以結(jié)束了，但結(jié)果還不能讓人滿意，為什么三角形被直線所截，會有如此的比例關系？能否有更加直觀的解釋或證明？

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也正因為此本文擱置甚久，直到我遇見了……

04
西姆松定理
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定理：如圖，點P在△ABC的外接圓上，過點P分別向△ABC三邊作垂線，則三個垂足共線．（即D、E、F共線）

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或許涉及到比例的線段之間是這樣一種位置關系吧，或許探究還可以繼續(xù)，但我覺得我可以說服自己了，就這樣吧．

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