我想問大家一個問題。

牛頓是“發(fā)明”了萬有引力定律，還是“發(fā)現(xiàn)”了萬有引力定律？愛因斯坦是“發(fā)明”了相對論，還是“發(fā)現(xiàn)”了相對論？

好多朋友都習(xí)慣使用“發(fā)現(xiàn)”，但是，更加正確的觀點應(yīng)該是：發(fā)明。

因為無論是萬有引力定律，還是相對論，抑或是其他理論，都不是真正的“客觀實在”，只是我們?nèi)祟惏l(fā)明的一種描述自然規(guī)律的方式，或者說，我們對自然規(guī)律的一種假設(shè)。

甚至于，有些被我們摒棄的理論，也并不是因為她錯了，而是跟她的替代者相比，她太復(fù)雜了。

比如，地心說。以運動相對的觀點來看，我們完全可以認為太陽是圍繞地球在運轉(zhuǎn)的，這只不過是觀察角度的不同而已。但是，跟日心說比起來，以地心說為出發(fā)點描繪的天體運動軌跡實在是太復(fù)雜了，實在是沒有這個必要，這就是我們選擇日心說的原因。

我再問大家一個問題。

勾股定理，是發(fā)明，還是發(fā)現(xiàn)？

這一次的答案，應(yīng)該是“發(fā)現(xiàn)”。因為數(shù)學(xué)定理，是不依賴任何外部條件，絕對的客觀存在，一經(jīng)證明，就擁有絕對的正確性。這一點有別于科學(xué)理論，從邏輯上講，科學(xué)理論只有“未證偽”，而不能“被證明”。

在這宇宙里，到目前為止，我們發(fā)現(xiàn)的唯一的絕對客觀存在，只有數(shù)學(xué)！

這件事令人著迷，她似乎暗示了數(shù)學(xué)在這個宇宙中超然的地位。

越是觀察微觀世界，我們越是驚嘆于數(shù)學(xué)的有效性，我們甚至還沒有對量子物理做出完備而合理的解釋，就已經(jīng)建立了精確有效的數(shù)學(xué)?！@件事情本身就耐人尋味。

比如粒子的自旋，她究竟是什么，我們尚不清楚，但是她肯定不是粒子的自轉(zhuǎn)——首先粒子不是一個球形，其次，如果粒子是在自轉(zhuǎn)，她的表面速度將超過光速，這顯然是違反相對論的。所以這個自旋并不是自轉(zhuǎn)，她是一個粒子的內(nèi)在性質(zhì)，專業(yè)的說法是“內(nèi)稟性質(zhì)”。就像一個粒子的質(zhì)量和電荷一樣。

但是為什么她要叫自旋這個名字呢？以電子為例，當我們在磁場中對電子進行測量，我們發(fā)現(xiàn)電子會在磁場中發(fā)生偏轉(zhuǎn)，就如同電子本身也具有南北磁極，這個現(xiàn)象跟電子在自轉(zhuǎn)類似——我們知道帶電物體的自轉(zhuǎn)，是會產(chǎn)生磁場的。所以所謂自旋，就是：看起來像在自己旋轉(zhuǎn)。

但是你要知道，她真的沒有轉(zhuǎn)。

可能你會問了，她不就是有磁極嗎？磁鐵也有磁極，這有什么稀奇的？

自旋可不僅僅是有磁極這么簡單，在電子通過磁場的實驗中，我們發(fā)現(xiàn)，電子好像知道我們測量的方向一樣，并只在我們測量的方向，表現(xiàn)出南北極。

如下圖所示，電子通過垂直方向上的磁場，按照經(jīng)典物理的理論，電子入射時磁極方向與垂直磁場的夾角應(yīng)該是隨機的，因此電子通過磁場以后，應(yīng)該大致平均分布在一條直線上。但是事實上卻并非如此，電子神奇的分布在上下兩端，這說明其入射的時候的磁極方向，只在垂直方向上。事實上，無論你的磁場在哪個方向上，入射的電子的磁極，都會在這個方向上，就好像電子事先知道了你的測量方式并提前做了準備一般——你可能已經(jīng)聽說過了量子世界怪力亂神的林林總總，想必不會為此感到驚訝了，是的，這很量子。

到目前為止，量子自旋緣何如此，尚無定論，但是，其數(shù)學(xué)模型，卻驚人的有效。這里我們對其數(shù)學(xué)模型作一個簡化，讓大家來感受一下。

當一個電子通過磁場時，其磁極可能有如下圖所示的兩種情況。

我們用向量來表示其量子狀態(tài)。

這個向量表示電子的磁極為 N-S。我們從下圖可以看出還存在另外一種情況 S-N，我們用向量表示為

這一步?jīng)]有什么難度，就是一種表達方式而已。因為我們知道量子在進入磁場前，并不知道其在哪個方向上，那么其實她的狀態(tài)是兩種量子態(tài)的疊加，我們寫作：

其中c1和c2，是一個跟概率相關(guān)的數(shù)字，其平方就是進入了磁場以后，坍縮為某個量子狀態(tài)的概率，并且 ，我們稱之為“概率振幅”，當然你不用太過關(guān)心這個，只要知道她的平方是概率就行了。

我們?nèi)绻宰鴺讼档挠^點來看待上式，那么上式實際上就是一個標準的平面直角坐標系，(0,1) 和 (1,0 )對應(yīng)了x和y軸。我們可以把量子狀態(tài)(c1,c2)看成是這個坐標系下的坐標。

當電子通過磁場時，電子的量子狀態(tài)會發(fā)生坍縮，變成一個確定的磁極方向，即

或者

接下來，如果我們讓這個電子再通過水平方向的磁場，會如何呢?

我們用數(shù)學(xué)的眼光來看待她，因為磁場的變化，電子在進入水平磁場前，其在水平方向上的量子態(tài)，需要表達為在新的坐標系下的坐標（向量）。那么，這個僅僅是一個坐標變換的問題。

我直接給出答案，如果一個坐標系旋轉(zhuǎn)角度 a，原來的坐標在新的坐標系下的映射為

如果你感興趣可以自行推導(dǎo)。

其矩陣乘法的表達方式為。

那么，從垂直磁場進入水平磁場，我們的坐標系旋轉(zhuǎn)了多少角度呢？你可能會說，從垂直變水平，不就是旋轉(zhuǎn)了90度嗎？這里需要說明一下，你看我們磁極南北極的夾角是多少度？是180度。而我們用來用來表示其狀態(tài)的標準基，或者說我們的坐標系的x軸和y軸，其夾角是90度。所以這就有個簡單的對應(yīng)關(guān)系就是，坐標系旋轉(zhuǎn)角度 = 磁場旋轉(zhuǎn)的角度的1/2。

這個1/2，我們稱之為：自旋的量子數(shù)。根據(jù)基本粒子種類的不同，自旋的量子數(shù)也不一樣，比如，光子的自旋表現(xiàn)為光子的偏振，而偏振兩個方向是成90度的，所以對應(yīng)到坐標系，坐標角度 = 偏振角度。也就是說，光子自旋的量子數(shù)為1。我們把自旋量子數(shù)為1/2 和 1/2 奇數(shù)倍的粒子，稱為費米子，把自旋量子數(shù)為 1 和 1 的倍數(shù)的粒子，稱為玻色子。

回到我們的坐標系變換問題上來，所以，磁場雖然旋轉(zhuǎn)了90度，對應(yīng)的坐標系旋轉(zhuǎn)角度，應(yīng)該為 45度，即 。我們把她代入我們的映射的公式，坐標 (1,0) 在經(jīng)過了坐標變換以后，變成：

還記得這個坐標意味著什么嗎？這意味著“概率振幅”，她的平方，即 1/2，就是坍縮成這個量子狀態(tài)的概率。

所以，我們的計算結(jié)果，在數(shù)學(xué)上告訴我們，一個已經(jīng)坍縮為確定狀態(tài)的電子，我們再換一個與之測量方向垂直的方向來進行測量，她會再次的變?yōu)橐粋€量子疊加態(tài)，其最終在測量方向上坍縮的概率，N-S 與 S-N ，各為 1/2 。

真實情況真是如此嗎？是的，正是如此！試驗的結(jié)果與數(shù)學(xué)模型的預(yù)言完全一致。

這套基于線性代數(shù)的模型，非常成功的描述了量子的狀態(tài)，如果你考慮到我們對量子自旋的本質(zhì)尚不明了，這樣的成功就著實令人驚訝了。

你已經(jīng)看到了數(shù)學(xué)的魔力了，在當今，你越走進理論物理的深處，你越接近純粹的數(shù)學(xué)，這在古典物理的時代，是難以想象的。現(xiàn)在，多少科學(xué)家窮盡了一生的精力去尋找一個沒有內(nèi)在性質(zhì)只有相關(guān)關(guān)系的、絕對的基本粒子，然而有一個候選者，卻一直在我們的身邊——只是這個看法如此的反直覺，以至于我們難以接受——她就是數(shù)學(xué)本身。

是的，我的意思是：基本粒子，很可能，就是數(shù)學(xué)本身。

這個宇宙，很可能就是一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)而已。[注]

[注]

關(guān)于宇宙是一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的觀點，出自于麻省理工學(xué)院宇宙學(xué)家馬克斯泰格馬克。他認為：宇宙中的一切，都是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的一部分。所有物質(zhì)的特性包括空間本身，歸根結(jié)底，都只是一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。