前兩天的中考數(shù)學(xué)：圖形的認(rèn)識(shí)，這篇推送沒(méi)有多少人閱讀，估計(jì)是標(biāo)題和封面圖片看起來(lái)太簡(jiǎn)單了，讓大家誤以為是個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容，所以很多同學(xué)沒(méi)有將其當(dāng)做壓軸題去點(diǎn)擊閱讀，其實(shí)那是一道幾何壓軸題。有興趣的同學(xué)，可以在歷史消息中查找一下那篇推送。

    今天的題目是2014年的中考?jí)狠S題，前幾期插入了點(diǎn)別的，所以今天繼續(xù)本省的往年中考?jí)狠S題！

    今天的分享給大家提供了兩種解題方法，除去和答案上一致的一種方法外，還提供了老師平時(shí)最喜歡用的方法-平移法，具體請(qǐng)往下閱讀。

    審題之后，直接就能解決前兩問(wèn)了，解析式中兩個(gè)未知系數(shù)，兩個(gè)坐標(biāo)代入就行了，第二問(wèn)的線段長(zhǎng)度，利用縱坐標(biāo)表示的線段的比例求解即可；

（1）大家自己代入A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求解析式吧；

（2）有了拋物線和直線的解析式，利用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，可以分別表示出點(diǎn)P、E、F的坐標(biāo)，點(diǎn)P是在x軸上方的，所以在y軸左側(cè)的話，EF＞PE，所以只能是y軸右側(cè)部分，然后右側(cè)部分出現(xiàn)了直線CD和x軸的交點(diǎn)，那么就會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)E和F的上下位置互換問(wèn)題，所以就要分為兩種情況了，第一種即從高到底的順序依次為P、E、F，第二種即從高到低的順序?yàn)镻、F、E，那么利用縱坐標(biāo)之差來(lái)表示出線段PE、EF，然后利用倍數(shù)關(guān)系解出m即可，每種情況下都能解出兩個(gè)m值，但要注意m是大于0小于5的，所以不符合的舍去；

    如果同學(xué)們分不清楚情況的話，可以這么來(lái)：點(diǎn)P始終是在最上方，而點(diǎn)E和點(diǎn)F的上下位置可能顛倒，那么就可以將線段EF的長(zhǎng)度用坐標(biāo)表示的時(shí)候加上絕對(duì)值符號(hào)，這樣不管m是正還是負(fù)，對(duì)于情況討論都不影響，因?yàn)橛辛私^對(duì)值，就已經(jīng)包含了兩種情況，所以對(duì)于考慮不夠全面的同學(xué)，建議優(yōu)先使用代數(shù)法。

（3）這一問(wèn)剛看完題的時(shí)候，老師的第一反應(yīng)是直線垂直的斜率關(guān)系，但是那是高中的內(nèi)容，所以目前只能以初中的知識(shí)來(lái)給大家分享，那么我們知道點(diǎn)P會(huì)在∠DCy的平分線上，至于為什么在角平分線上，我們知道CE=CE'且EE'被PC垂直平分，所以PC是角平分線，角平分線和拋物線的交點(diǎn)就是點(diǎn)P。

    但是角平分線的直線的解析式我們不知道怎么去求解，只有一個(gè)點(diǎn)C，所以到了這一步我們需要如何做呢？或許就需要換個(gè)思路去想想。

方法一：幾何圖形法

    先將圖形補(bǔ)充完整，然后再看如何入手，如下圖

    CE=CE'，圖形有了，然后呢？好像只有一個(gè)四邊形，沒(méi)辦法，多連點(diǎn)輔助線看看吧。連接EE'，它們的連線與PC相交的點(diǎn)就是EE'的中點(diǎn)了，我們假設(shè)為點(diǎn)Q，如下圖

    除此之外，我們看圖形可以發(fā)現(xiàn)四邊形E'CEP的對(duì)角線垂直，而且很像是菱形（PE=CE'，可由全等證明，然后又平行，鄰邊還相等），確實(shí)是菱形，那么PE就可以和CE相等了，為什么要用它倆呢？因?yàn)橛蠵和E的橫坐標(biāo)，可以很方便表示出來(lái)兩個(gè)線段的長(zhǎng)度，PE的長(zhǎng)度容易表示，CE的長(zhǎng)度也容易表示，所以可以建立方程解決。

    不過(guò)肯定會(huì)有同學(xué)仍然不知道CE這種位置的線段長(zhǎng)度怎么根據(jù)坐標(biāo)去表示，如下圖吧，

    我們從點(diǎn)E向y軸作垂線EM，那么根據(jù)△COD∽△CME，可知CD：CE=OD：ME，ME的長(zhǎng)度知道，那么就可以表示出CE了，或者利用三角函數(shù)值求取也是一樣的，到了高中就可以直接利用直線的斜率來(lái)求了，那都是題外話了，回到本題中，而PE的長(zhǎng)度根據(jù)上一問(wèn)就已經(jīng)表示出來(lái)了，然后CE=PE，解方程。

    要注意，P的位置可能在y軸左側(cè)也可能在右側(cè)，所以m的正負(fù)未知，所以就需要建立兩個(gè)方程了，大家自己解方程吧。

    該方法在利用圖形解題的時(shí)候，很容易忽視點(diǎn)P在y軸左側(cè)的情況，由于人對(duì)既定圖形的直觀印象，很多時(shí)候大家都會(huì)忽略掉一些沒(méi)有展示出來(lái)的情況，所以一定要考慮全面。

方法二：直線平移法

    那么，如果沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這個(gè)菱形的存在的話，又該如何解答呢？畢竟大家在做題的時(shí)候不一定都會(huì)先把圖形補(bǔ)充完整。

    我們可以用直線平移法來(lái)解決，也是老師最喜歡用的方法，如果有同學(xué)不會(huì)直線平移法，那就老老實(shí)實(shí)掌握第一種方法吧，看下圖，

    我們?cè)趛軸上C的上方取CD'=CD，那么△DCD'就是等腰三角形了，畫(huà)角平分線CN，想必到這里有同學(xué)就發(fā)現(xiàn)這個(gè)CN就是前面的直線PC了，而直線EE'肯定是平行于DD'的，也可以理解為直線DD'平移到點(diǎn)E的位置時(shí)就是EE'了，所以只要得到CN的解析式，就能得到點(diǎn)P了，

    因此，這個(gè)方法不用怎么畫(huà)圖就能幫助同學(xué)們找到切入點(diǎn)，打開(kāi)思路。但是，需要的是大家的思考能力和觀察能力，所以平時(shí)解題時(shí)，精力不能集中的同學(xué)一定不要一邊只盯著圖形一邊思考，那事實(shí)上和睡著了沒(méi)有區(qū)別，

    那么CD'=CD，點(diǎn)D'的坐標(biāo)很簡(jiǎn)單吧，然后N是DD'的中點(diǎn)，坐標(biāo)也OK吧？

    有點(diǎn)C和點(diǎn)N的坐標(biāo)，很容易就能求出直線CN的解析式，

    讓其與拋物線相交，得到了兩個(gè)交點(diǎn)就是點(diǎn)P了；

    注意，現(xiàn)在還沒(méi)有完事兒呢？如果有同學(xué)計(jì)算出結(jié)果了，會(huì)發(fā)現(xiàn)和上一種方法的結(jié)果相比，少了一種，那么還有哪種情況呢？既然m的正負(fù)未知，那么點(diǎn)P就可能在y軸左側(cè)，而上面的結(jié)果已經(jīng)包含了一種，所以很多同學(xué)在這里就容易忽略掉第三種可能。

    我們知道點(diǎn)E和E'一個(gè)在直線上，一個(gè)在y軸上，而PC肯定是角平分線，那么∠ECy可以是鈍角，也可以是銳角，既然PC能是鈍角的平分線，為什么不能是銳角的平分線呢？

    所以

    如上圖紫色直線，這個(gè)情況下的角平分線與拋物線的交點(diǎn)不也是點(diǎn)P的位置嗎？不明白的同學(xué)可以自己畫(huà)個(gè)大點(diǎn)的圖好好研究研究，

    那么這種情況的直線CP如何去求呢？

    很明顯，CP//DD'，也就是DD'平移過(guò)來(lái)的，所以k值一樣，

    有同學(xué)會(huì)問(wèn)，老師你怎么知道它們平行呢？

    紫色的角平分線和藍(lán)色線不是垂直嗎？然后DD'也和藍(lán)色線垂直，所以它們兩個(gè)平行，也就是DD'平移過(guò)來(lái)的。

    再將C坐標(biāo)代入即可得到CP的解析式，然后結(jié)合拋物線建立方程求解即可，無(wú)疑結(jié)果同樣有兩個(gè)，但是點(diǎn)P是在x軸上方的，所以下方那個(gè)坐標(biāo)舍去即可；

    最終，點(diǎn)P的位置就是三種了。

    這道題答案上給出的方法是利用菱形來(lái)解決，但是如果大家沒(méi)有補(bǔ)充圖形的話，很難發(fā)現(xiàn)有菱形的存在，所以老師給出了第二種方法；

    在解決二次函數(shù)壓軸題時(shí)，平移法屬于常用的解決方法，不必太過(guò)于依賴圖形而畫(huà)很多輔助線，尤其是這個(gè)圖形的字母挨那么近，但是，前提是需要依賴同學(xué)們的想象能力和理解能力，畢竟有圖形的時(shí)候，很多同學(xué)還一籌莫展呢，更別說(shuō)脫離圖形去自己發(fā)揮想象了。

    所以，思考的深度不同，就會(huì)有不同的學(xué)習(xí)方法。