今天這道題原本以為是以前遇到過的一道個人經(jīng)歷中最難的那道幾何證明題，后來發(fā)現(xiàn)不是，不過難度系數(shù)也挺高了。

這道題對多數(shù)同學(xué)來說，中等難度起步，到第三問的時候就屬于高難部分了。當(dāng)大家審題后，不難發(fā)現(xiàn)，第一問還是很快就能解答出來的，

    第二問的證明過程可能對于很多同學(xué)來說具有一定的復(fù)雜性；

    第三問的話，如果思考過程中沒有邏輯性，只要沒寫過這道題，恐怕就不會在一時半會將其解答出來。

    （1）AC的長度有了，那么在Rt△ABC中，有60°角，那么就可以求出來AB了；H是AC中點，那么AH就可以已知了，在Rt△ADH中，∠DAH=90°-∠BAC=30°，所以可以求出AD的長度，在Rt△DAB中，根據(jù)勾股定理就可以求得BD了；

    （2）根據(jù)圖形可以很明顯看出HF和EF分別在兩個三角形中，那是不是只需要證明其全等即可？大家只需要去尋找條件，看是否成立。

        點F是BD中點，所以AF=DF，一個條件了；

        Rt△DAE和Rt△ADH，可以很輕松證全等吧，所以可得DH=AE，第二個條件了；

        那么第三個條件肯定就需要角相等了，這個條件估計會有一些同學(xué)看不出來，其實還是要善于思考，根據(jù)剛才的兩個小直角三角形全等，可以得到∠ADH和∠DAE是相等的，那么又有DF=AF，所以∠ADF=∠DAF，因此它倆減去一個相等的角，剩下∠FDH=∠FAE，第三個條件了；

        那么接下來全等就行了；

    （3）以下紅色字體部分是為同學(xué)們提供的思維切入方法，對同學(xué)們可能會有所幫助。

        這一問證明等邊三角形，大家都知道，方法有兩種，要么三邊相等，要么兩邊相等且有60°角，那么這道題怎么解決呢？我們先來看△CEF，既然要證明是等邊，那么我們就認(rèn)為它是等邊的，那么這個三角形的頂點C被吊起來，它是不是可以來回旋轉(zhuǎn)呢？

        那么我們讓它順時針旋轉(zhuǎn)到CE和AC重合時，CF轉(zhuǎn)過的那角度是不是就和∠ACE相等呢？然后我們把新的CE延長一下，和AB交于點M，這樣再連接FM的話是不是看著就產(chǎn)生了一個和△ACE很像的三角形呢？

        如上圖所示，但是問題是咱們還沒證明△CEF是等邊呢，然而我們找到了點M這個有利條件，就剛才咱們假設(shè)的而言，如果△ACE和△MCF是全等，那么AC和CM就是相等的，那我們是不是可以倒回去，制造一個AC=CM出來呢？

        根據(jù)已知條件可得，AC是AB的一半，那么如果CM也是AB的一半不就解決了嗎？直角三角形中，等于斜邊一半的，很容易就能想到斜邊的中線，所以，我們就找到了切入點，

        取AB的中點M，連接MF、MC，∵F是BD中點，所以MF是中位線，

        ∵AC⊥AB，∴MF⊥AB，

        同時，△ACM很容易就能得到是等邊三角形，∴∠AMC=60°，AC=CM，那么∠CMF不就是30°嗎？

        再回到題干中，AE是角平分線，所以∠CAE=30°；

        這下有兩個條件了吧？再找一個條件就OK了。

        有同學(xué)會說，再找一個角就行了，如果我們能找到另一個角相等，那么不就是說三個角都是相等了嗎，那∠ACM=60°，豈不是∠ECF也是60°了？問題是會有這么容易嗎？所以很明顯找角相等已經(jīng)不太現(xiàn)實了，那么只能找邊相等了，已知一個角一條邊了，那么再找邊的話，只能SAS，也就是AE和FM了；

        其實說起FM，估計大家都能想起它是中位線，所以FM是AD的一半，那么AE呢？∠MAE是60°嘛，所以在Rt△DAE中，AE所對的角是30°，因此AE是AD的一半，所以AE=FM；

        現(xiàn)在全等的條件足夠了，那么△ACE≌△MCF；

        ∴可以得到CE=CF，∠ACE=∠MCF（這個時候才能得到它倆相等）

        ∠ACE+∠ECM=60°，所以∠MCF+∠ECM=60°，

        所以∠ECF=60°，又是等腰，

        ∴△CEF是等邊三角形。

    這道題給大家的解析過程，由于牽涉到一些問題假設(shè)，方便同學(xué)們理解，所以內(nèi)容比較長，想要掌握這道題的同學(xué)一定要認(rèn)真看一看，尤其是點M這個切入點如何能想到，這些對大家考試解題是很有用處的。