師：（回顧）圓心在原點的圓的參數(shù)方程是什么？其參數(shù)的幾何意義是什么？

生：

師：在推導該參數(shù)方程時我們使用到了三角函數(shù)中的哪一個等式？

生：

師：試利用（*）猜測橢圓的一個參數(shù)方程。

師：很好，這是一個很好的類比思路。那這里的參數(shù)θ的幾何意義與圓的一樣嗎？

學生作圖后，發(fā)現(xiàn)不一樣

師：我們?nèi)绾卧跈E圓中構(gòu)造θ角？

學生思考后無思路。

師：我們不妨從簡單入手，也就是讓θ為銳角，然后觀察式子 ：

類似于圓，我們在直角三角形中來構(gòu)造θ。

師：如圖，作出x。要構(gòu)造θ，需要在OM的基礎上，構(gòu)造直角三角形，使其斜邊為a，鄰邊為OM.那斜邊在哪里？對應的直角三角形又在哪里？

生：以a為半徑，過圓心O作圓，并延長MP，交于點R。斜邊為RO,直角三角形為RT△ROM.

師：很好，那這樣對應的θ是哪一個角？

生：∠ROM

師：嗯。這是一個大膽的猜測。下面我需要來進一步驗證它是否正確。 用同樣的方式我們來看

中的θ是否也為∠ROM？

師：哪位同學來說一下你的思路？

生：首先，我們需要在圖中找到y(tǒng)，也就是過P作y軸的垂線PN,則ON=y為對邊。然后，需要找到b所對應的線段（斜邊）。它們都在以θ為銳角的直角三角形中。但是我不知道怎么找斜邊？

師：思考在之前我們是怎么找到斜邊OR的？

生：曉得了。我們可以以O為圓心，b為半徑作圓。與NP交于點S。只要證明點S在OR上就可以了。

師：為什么？

師：方向?qū)α?。那如何證明點S在OR上呢？

生：用坐標法。算出直線OR的方程及點S的坐標。證明點S的坐標滿足直線OR的方程即可。

師：很好，還有沒有更好的方法呢？這留給大家下去完成。

師：上面我們探究得到了θ角的幾何意義。那哪位同學來給我們總結(jié)一下——如何找出θ角呢 ?

生：以O為圓心，a和b為半徑作兩同心圓。在大圓上任取一點R,連結(jié)OR，交小圓于點S，分別過點R、點N作x軸、y軸的垂線，交橢圓于點P. 則∠ROM為橢圓上點P對應參數(shù)θ。

完畢！

本課特點：從圓的參數(shù)方程出發(fā)，猜測橢圓的一個參數(shù)方程，并逐步探究出橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)θ的幾何表示。進一步給出嚴格證明。最后，再回歸橢圓，引導學生總結(jié)出如何快速作出θ角的方法。

專欄

數(shù)學課本中的公式、定理歷史溯源