湖北省陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué)     鄒生書

立體幾何中的存在性問(wèn)題常見(jiàn)的有平行、垂直、距離和夾角這些?？疾凰サ闹攸c(diǎn)內(nèi)容,命題設(shè)置常以解答題的形式出現(xiàn).存在性問(wèn)題特別是存在性探索題,具有新穎性、開(kāi)放性、探索性和創(chuàng)造性等特點(diǎn),有利于考查學(xué)生的探索能力、創(chuàng)新意識(shí)和綜合素質(zhì),深受命題者的青睞.這類問(wèn)題的一個(gè)共同特點(diǎn)是要確定動(dòng)點(diǎn)的位置使得問(wèn)題具有某種數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系等屬性，而解決這類問(wèn)題的難點(diǎn)和關(guān)鍵最后都?xì)w結(jié)為如何確定動(dòng)點(diǎn)的這個(gè)特殊位置。若用向量方法處理,尤其是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用待定系數(shù)法求解存在性問(wèn)題則思路簡(jiǎn)潔明了,解法程序化操作方便.下面我們通過(guò)典型例題解讀立體幾何中確定點(diǎn)位置的一個(gè)好方法——λ大法，與讀者朋友交流分享。

1.平行垂直有關(guān)的存在性問(wèn)題

平行與垂直是立體幾何的兩種重要的位置關(guān)系,其中線線的平行與垂直是基礎(chǔ),線面平行和垂直是重點(diǎn)考查內(nèi)容,應(yīng)引起高度關(guān)注.

例1（武漢市2012屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)第19題）

如圖, ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF//DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成的角為60°.

（Ⅰ）求證:AC⊥平面BDE;

（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值;

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)M位置,使得AM//平面BEF,并證明你的結(jié)論.

點(diǎn)評(píng)：本解法通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系將要確定點(diǎn)M的位置使AM//平面BEF,轉(zhuǎn)化為向量AM與平面BEF的法向量垂直,即將“線面平行”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“直線的方向向量與平面的法向量垂直”問(wèn)題來(lái)解決.這里設(shè)DM=λDB(0≤λ≤1)是通法.另外,由于點(diǎn)M在正方形ABCD的對(duì)角線上,故還可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t,t,0)(0≤t≤3),是解決本題的特殊設(shè)法.

解：(1)取B₁C₁的中點(diǎn)O，連接OA₁,OE.依題意知OA₁,OE, B₁C₁兩兩垂直。以O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示。

的坐標(biāo),是問(wèn)題解決的關(guān)鍵，然后用平面的法向量與平面內(nèi)的這一向量垂直，便可以求出λ的值，從而求出線段AF的長(zhǎng)度.

2.與夾角有關(guān)的存在性問(wèn)題

夾角問(wèn)題主要有線線角、線面角和面面角,其中線線角是基礎(chǔ),線面角和面面角是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容.

例4（2012年湖北省八市高三三月聯(lián)考理科第18題）

一個(gè)四棱錐的三視圖如圖2所示.

（Ⅰ）求證PA⊥BD;

(Ⅱ)在線段PD上是否存在一點(diǎn)Q,使二面角Q-AC-D的平面

點(diǎn)撥：線線角、線面角和面面角是立體幾何中與角有關(guān)的主要問(wèn)題,利用向量法解決此類問(wèn)題可以避開(kāi)抽象、復(fù)雜的尋找角的過(guò)程,只要能夠準(zhǔn)確理解和熟練應(yīng)用下列公式就可以使此類問(wèn)題巧妙獲解.

 3.與距離有關(guān)的存在性問(wèn)題