【原】壓軸題打卡74：二次函數(shù)有關(guān)的綜合問(wèn)題分析

中考數(shù)學(xué)寶典 2021-02-15

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已知二次函數(shù)y=x²+bx+c（b，c為常數(shù)）．

（Ⅰ）當(dāng)b=2，c=﹣3時(shí)，求二次函數(shù)的最小值；

（Ⅱ）當(dāng)c=5時(shí)，若在函數(shù)值y=l的情況下，只有一個(gè)自變量x的值與其對(duì)應(yīng)，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式；

（Ⅲ）當(dāng)c=b²時(shí)，若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為21，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式．

參考答案：

解：（Ⅰ）當(dāng)b=2，c=﹣3時(shí)，二次函數(shù)的解析式為y=x²+2x﹣3=（x+1）²﹣4，

∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，二次函數(shù)取得最小值﹣4；

（Ⅱ）當(dāng)c=5時(shí)，二次函數(shù)的解析式為y=x²+bx+5，

由題意得，x²+bx+5=1有兩個(gè)相等是實(shí)數(shù)根，

∴△=b²﹣16=0，

解得，b₁=4，b₂=﹣4，

∴二次函數(shù)的解析式y=x²+4x+5，y=x²﹣4x+5；

（Ⅲ）當(dāng)c=b²時(shí)，二次函數(shù)解析式為y═x²+bx+b²，

圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x=﹣b/2，

①當(dāng)﹣b/2＜b，即b＞0時(shí)，

在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=b時(shí)，y=b²+b·b+b²=3b²為最小值，

∴3b²=21，解得，b₁=﹣√7（舍去），b₂=√7；

②當(dāng)b≤﹣b/2≤b+3時(shí)，即﹣2≤b≤0，

∴x=﹣b/2，y=3b²/4為最小值，

∴3b²/4=21，解得，b₁=﹣2√7（舍去），b₂=2√7（舍去）；

③當(dāng)﹣b/2＞b+3，即b＜﹣2，

在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，y隨x的增大而減小，

故當(dāng)x=b+3時(shí)，y=（b+3）²+b（b+3）+b²=3b²+9b+9為最小值，

∴3b²+9b+9=21．解得，b₁=1（舍去），b₂=﹣4；

∴b=√7時(shí)，解析式為：y=x²+√7x+7

b=﹣4時(shí)，解析式為：y=x²﹣4x+16．

綜上可得，此時(shí)二次函數(shù)的解析式為y=x²+√7x+7或y=x²﹣4x+16．

考點(diǎn)分析：

二次函數(shù)的最值；二次函數(shù)的性質(zhì)；壓軸題．

題干分析：

（Ⅰ）把b=2，c=﹣3代入函數(shù)解析式，求二次函數(shù)的最小值；

（Ⅱ）根據(jù)當(dāng)c=5時(shí)，若在函數(shù)值y=l的情況下，只有一個(gè)自變量x的值與其對(duì)應(yīng)，得到x²+bx+5=1有兩個(gè)相等是實(shí)數(shù)根，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式；

（Ⅲ）當(dāng)c=b²時(shí)，寫(xiě)出解析式，分三種情況減小討論即可．

解題反思：

本題考查了二次函數(shù)的最值：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=﹣b/2a時(shí)，y=（4ac-b2）/4a；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=﹣b/2a時(shí)，y=（4ac-b2）/4a；確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．