#S013 | 傳說(shuō)中的“必勝”公式

heii2 2021-02-14

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文/辰哥

之前給大家講過(guò)賠率和概率相關(guān)的理念，那么自然就會(huì)有人想到如何能夠?qū)⑵淞炕鰜?lái)，在什么情況下用什么策略或者說(shuō)倉(cāng)位能夠達(dá)到最優(yōu)效果，使之成為一套“必勝”之法呢？

在回答這個(gè)之前可以先想想下面這個(gè)問(wèn)題：

圖片中有abc三條路線(xiàn)，大家都從頂點(diǎn)出發(fā)沒(méi)有任何外力情況下，哪一條路線(xiàn)小球會(huì)最先到達(dá)右下角的終點(diǎn)？

相信很多人都知道了，a路線(xiàn)代表的是兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，c路線(xiàn)代表的是最長(zhǎng)也是最容易實(shí)現(xiàn)的距離，這都不會(huì)是最先到達(dá)終點(diǎn)的路線(xiàn)，只有b路線(xiàn)才是最優(yōu)解。

因?yàn)樗浞掷昧酥亓?shì)能加速度，從而平衡了速度和距離的矛盾，使小球最快速地抵達(dá)終點(diǎn)。

因此，類(lèi)比所有的“賭博類(lèi)”游戲中我們可以得出一個(gè)結(jié)論：

所謂的最優(yōu)解，往往都是賠率和概率的平衡。

第一位將這套理論完全量化出來(lái)的，就是大名鼎鼎的“凱利公式”。

凱利的全名叫約翰·拉里·凱利，二戰(zhàn)的時(shí)候在美國(guó)海軍當(dāng)飛行員，戰(zhàn)后在得克薩斯大學(xué)讀了本科和研究生，1953年博士畢業(yè)，最后跌跌撞撞加入了貝爾實(shí)驗(yàn)室。

在實(shí)驗(yàn)室里凱利被認(rèn)為是當(dāng)時(shí)整個(gè)貝爾實(shí)驗(yàn)室里第二聰明的人，因?yàn)榈谝宦斆鞯氖窍戕r(nóng)——開(kāi)創(chuàng)了信息論的教父級(jí)人物。

凱利公式也是他玩出來(lái)的一個(gè)意外。當(dāng)時(shí)凱利正在研究電視信號(hào)的壓縮方法，結(jié)果卻研究起了賭博來(lái)，源頭是一檔電視答題節(jié)目的熱播，名叫《64000美元的問(wèn)題》，節(jié)目本身和賭博其實(shí)不太相關(guān)，最多算是博弈，但由于節(jié)目過(guò)太過(guò)火爆，有人就開(kāi)設(shè)了賭局，賭的是哪個(gè)選手能夠最終獲勝。

凱利經(jīng)過(guò)一番研究就針對(duì)這種簡(jiǎn)單的賭局推算出了一種利潤(rùn)最大化的“必勝”公式。

它的表達(dá)式非常簡(jiǎn)潔，只用小學(xué)數(shù)學(xué)就能看懂：

f=（bp-q）/b。

一般來(lái)講f代表的是最佳下注比例，b代表的是賠率，就是當(dāng)你贏了的時(shí)候，能賺回多少錢(qián)，而p和q呢，分別對(duì)應(yīng)著成功的概率和失敗的概率。

舉個(gè)拋硬幣的例子：

兩個(gè)人玩猜正反，你猜之前先給我一筆錢(qián)，如果拋出來(lái)后的結(jié)果證明你錯(cuò)了，那這筆錢(qián)就歸我；而如果你猜對(duì)了，我就把你之前給我的那筆錢(qián)全額退還，同時(shí)再多給你兩倍，也就是說(shuō)，賠率定到一賠二。

因?yàn)閽佊矌耪疵娉霈F(xiàn)的概率是50%：50%，但你參與的賠率是1∶2，所以顯然游戲規(guī)則是有利于你的。雖然規(guī)則對(duì)你有利，但你也不能一把a(bǔ)ll in，這里面存在本金全部虧損的可能。

這個(gè)時(shí)候，凱利公式就要派上用場(chǎng)了。

硬幣拋出來(lái)只有正反兩面，猜對(duì)猜錯(cuò)一半對(duì)一半，這里成功概率是50%，也就是凱利公式中那個(gè)字母p=50%，而失敗概率q，正好等于1-p，這里同樣也是50%，而這里的賠率b=2，也就是當(dāng)你對(duì)了，能多賺兩倍的本金。

接下來(lái)就可以代入計(jì)算，這里b*p=2*50%=1，再減去q（50%）。而這個(gè)結(jié)果呢，要再除以賠率b，也就是50%/2=25%，這就是我們要求的那個(gè)f，也是玩這個(gè)游戲，每一次應(yīng)該投入的資金比例。

也就是說(shuō)，每次下注只出你當(dāng)前擁有資金的25%，就能夠最大化你的收益。

雖然在在玩的過(guò)程中隨著運(yùn)氣等因素你盈虧會(huì)上下波動(dòng)，不過(guò)只要在成功率和賠率不變的情況下，每次都下注當(dāng)前資金的25%，長(zhǎng)期來(lái)看你的收益會(huì)最大化，獲勝只是時(shí)間的問(wèn)題。

凱利公式還有兩個(gè)隱藏的推論，第一個(gè)是只有勝率100%的賭局才值得all in，否則不存在必勝；第二個(gè)是只有賭局的期望收益率為正數(shù)才能使用凱利公式，否則是不值得投資的更別提必勝。

做數(shù)學(xué)上正期望的事兒，巴菲特就一直堅(jiān)持這種理念，他曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：

'用虧損概率乘以可能虧損的數(shù)量，再用收益概率乘以可能收益的數(shù)量，最后用后者減去前者，這就是我們一直試圖做的方法'。

在計(jì)算中你會(huì)發(fā)現(xiàn)凱利公式雖然看起來(lái)是有fbpq四個(gè)字母比較復(fù)雜，但其中的f只是一個(gè)符號(hào)，代表我們最后需要計(jì)算的那個(gè)結(jié)果，而p是成功概率，q是失敗概率，一般來(lái)講它倆加起來(lái)正好等于1，知道了一個(gè)另一個(gè)相當(dāng)于也告訴你了。

所以真正的未知量只有兩個(gè)，一個(gè)是賠率，另一個(gè)就是成功或者失敗的概率。

凱利公式還有個(gè)稍微復(fù)雜一點(diǎn)點(diǎn)的變體是下面這個(gè)：

f=(p*rW-q*rL)/（rLrW）

與上面一樣，f為最優(yōu)下注比例，p為贏的概率，反之1-p是輸?shù)母怕?，rW是贏時(shí)凈收益率，rL是虧損時(shí)凈損失率。

你會(huì)發(fā)現(xiàn)相比于最開(kāi)始第一個(gè)的簡(jiǎn)單公式f=（bp-q）/b，不過(guò)是第二個(gè)公式里rL（凈損失率）=100%的情形，即輸?shù)那闆r下本金全部虧光。

在實(shí)際投資中，如果不是本金全部損失的模型比如股票中，后面那個(gè)稍顯復(fù)雜公式更為實(shí)用。

我們隨便舉點(diǎn)例子定量算算賠率和概率里面的秘密。

1）若rW賺時(shí)賺1倍、rL虧時(shí)虧1倍不變（rL=100%第一個(gè)和第二個(gè)公式結(jié)果一致）∶

當(dāng)賺的概率P=50%，則f=0.5/1-（1-0.5）/1=0，結(jié)論是沒(méi)法玩;

當(dāng)賺的概率P=80%，則f=0.8/1-（1-0.8）/1=0.6，結(jié)論是60%倉(cāng)位。

2）若rL虧時(shí)虧1倍、賺的概率P=60%不變（rL=100%第一個(gè)和第二個(gè)公式結(jié)果一致）∶

當(dāng)rW賺時(shí)賺2倍，則f=0.6/1-0.4/2=0.4，結(jié)論是40%倉(cāng)位;

當(dāng)rW賺時(shí)賺4倍，則f=0.6/1-0.4/4=0.5，結(jié)論是50%倉(cāng)位。

3）若適當(dāng)改一下賺錢(qián)的凈收益率以及虧錢(qián)的凈損失率時(shí)（rL≠100%只能用第二個(gè)公式）∶

p=80%，rW=30%，rL=10%，得出f=7.3，相當(dāng)于可以加7.3倍杠桿（730%倉(cāng)位）;

p=60%，rW=20%，rL=10%，得出f=4，相當(dāng)于可以加4倍杠桿（400%倉(cāng)位）;

p=60%，rW=10%，rL=10%，得出f=2，相當(dāng)于2倍杠桿（200%倉(cāng)位）;

p=60%，rW=100%，rL=100%，得出f=0.2，相當(dāng)于用20%倉(cāng)位。

看到這大致有個(gè)結(jié)論∶

只要當(dāng)次交易大概率是賺錢(qián)．如果單次賠率對(duì)本金傷害低（比如虧損凈損失率只有10%），那么就適合加杠桿；而如果單次賠率對(duì)本金傷害高（如盈虧100%，對(duì)了翻倍錯(cuò)了輸光），則適合降低倉(cāng)位根據(jù)計(jì)算的結(jié)果穩(wěn)健行事。

一般來(lái)講，高賺錢(qián)概率p要比高賠率b更加重要。

這樣整個(gè)過(guò)程，都是基于理性計(jì)算后的考量，排除掉運(yùn)氣的干擾，拉長(zhǎng)時(shí)間看，你的投資成功將會(huì)成為理所應(yīng)當(dāng)?shù)氖聝骸?/span>

在確定性足夠強(qiáng)的游戲中比如絕大部分的賭桌或者撲克游戲，成功率和賠率都是比較好計(jì)算的，但是如果放在類(lèi)似于股票這類(lèi)不會(huì)完全輸光本金但在人性博弈中充滿(mǎn)不確定性的投資中很多東西都無(wú)法完全定量的，只能根據(jù)不同的環(huán)境適時(shí)調(diào)整取一個(gè)大致的數(shù)值。

即使如此，凱利公式作為能夠?qū)⒃径ㄐ缘氖挛锒炕谖覀儗?shí)際操作中也具有足夠大的參考意義。

正應(yīng)了前文所說(shuō)的那句話(huà)：

所謂“必勝”法門(mén)，往往都是賠率和概率之間的平衡。

（PS：絕大部分的事物不僅僅是感性在主導(dǎo)，能夠定量理性分析往往才能獲得最大成功可能。這是我們“道體術(shù)”系統(tǒng)法則術(shù)類(lèi)第十三篇文章，喜歡的童鞋點(diǎn)個(gè)“星標(biāo)”和“在看”支持一下吧，最后祝大家情人節(jié)快樂(lè)。）

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來(lái)自： heii2 > 《理財(cái)》

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