【原】壓軸題打卡73：相似有關(guān)的綜合問題分析
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已知△ABC中，∠ACB=90°（如圖），點P到∠ACB兩邊的距離相等，且PA=PB．（1）先用尺規(guī)作出符合要求的點P（保留作圖痕跡，不需要寫作法），然后判斷△ABP的形狀，并說明理由；（2）設(shè)PA=m，PC=n，試用m、n的代數(shù)式表示△ABC的周長和面積；（3）設(shè)CP與AB交于點D，試探索當(dāng)邊AC、BC的長度變化時，CD/AC+CD/BC的值是否發(fā)生變化，若不變，試求出這個不變的值，若變化，試說明理由．（1）先根據(jù)角平分線及線段垂直平分線的作法作出P點，過點P分別作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足為E、F，由全等三角形的判定定理得出Rt△APE≌Rt△BPF，再由全等三角形的性質(zhì)即可判斷出△ABP是等腰直角三角形；（2）在Rt△PAB中，由∠APB=90°，PA=PB，PA=m，可得出AB=√2m，由Rt△APE≌Rt△BPF，△PCE≌△PCF，可得AE=BF，CE=CF，故CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，在Rt△PCE中，∠PEC=90°，∠PCE=45°，PC=n，可知CE=PE=√2n/2，即CA+CB=2CE=√2n，由△ABC的周長為=AB+BC+CA即可得出其周長，再根據(jù)S△ABC=S△PAC+S△PBC﹣S△PAB即可得出其面積；（3）過點D分別作DM⊥AC、DN⊥BC，垂足為M、N，由角平分線的定義及銳角三角函數(shù)的定義可知DM=DN=CDsin45°=√2CD/2，由平行線分線段成比例定理可知DN/AC=DB/AB，DM/BC=AD/AB，再把兩式相加即可得出結(jié)論．本題考查的是相似形綜合題，涉及到角平分線及線段垂直平分線的作法及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的面積公式，涉及面較廣，難度較大．
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