【原】Matlab馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)換動(dòng)態(tài)回歸模型估計(jì)GDP增長(zhǎng)率

拓端數(shù)據(jù) 2021-02-04

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本文估計(jì)實(shí)際GDP增長(zhǎng)率的兩狀態(tài)Markov區(qū)制轉(zhuǎn)換動(dòng)態(tài)回歸模型。

創(chuàng)建模型進(jìn)行估計(jì)

通過(guò)指定轉(zhuǎn)移矩陣和兩個(gè)區(qū)制的AR（0）（僅常數(shù)）子模型的兩狀態(tài)離散時(shí)間馬爾可夫鏈，為樸素估計(jì)量創(chuàng)建馬爾可夫轉(zhuǎn)換動(dòng)態(tài)回歸模型。標(biāo)記狀態(tài)。

mc(NaN(2),'StateNames',["增長(zhǎng)" "衰退"]);

加載和預(yù)處理數(shù)據(jù)

加載GDP數(shù)據(jù)集。

Data 包含1947：Q1-2005：Q2期間實(shí)際GDP的季度數(shù)據(jù)。估計(jì)周期為1947：Q2-2004：Q2。

通過(guò)以下方式將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為年度序列：

在估計(jì)期內(nèi)將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為季度比率
將季度比率年度化

diff(Data(2:230))./Data(2:229); % 季度比率100*((1 + qrate).^4 - 1); % 年度比率

估計(jì)模型

模型擬合Mdl 年利率序列 arate。

estimate(Mdl,Mdl0,arate);

EstMdl 是估計(jì)的（完全指定的）馬爾可夫轉(zhuǎn)換動(dòng)態(tài)回歸模型。 EstMdl.Switch 是估計(jì)的離散時(shí)間馬爾可夫鏈模型（dtmc 對(duì)象）， EstMdl.Submodels 是估計(jì)的單變量VAR（0）模型（varm 對(duì)象）的向量。

顯示估計(jì)的特定于狀態(tài)的動(dòng)態(tài)模型。

varm with properties:

Description: "ARIMA(0,0,0) Model (Gaussian Distribution)"SeriesNames: "Y1"NumSeries: 1P: 0Constant: 4.90146AR: {}Trend: 0Beta: [1×0 matrix]Covariance: 12.087

1-Dimensional VAR(0) Modelvarm with properties:

Description: "ARIMA(0,0,0) Model (Gaussian Distribution)"SeriesNames: "Y1"NumSeries: 1P: 0Constant: 0.0084884AR: {}Trend: 0Beta: [1×0 matrix]Covariance: 12.6876

1-Dimensional VAR(0) Model

顯示估計(jì)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

2×2

0.9088 0.09120.2303 0.7697

估計(jì)后的EM算法

在估計(jì)馬爾可夫轉(zhuǎn)換動(dòng)態(tài)回歸模型中考慮模型和數(shù)據(jù) 。

創(chuàng)建部分指定模型進(jìn)行估計(jì)。

創(chuàng)建完全指定的模型，其中包含估計(jì)過(guò)程的初始參數(shù)值。

加載并預(yù)處理數(shù)據(jù)。

diff(Data(2:230))./Data(2:229);100*((1 + qrate).^4 - 1);

使模型擬合數(shù)據(jù)。當(dāng)估計(jì)過(guò)程終止時(shí)，繪制對(duì)數(shù)似然比與迭代步驟。

Plot(Mdl,Mdl0);

使模型擬合模擬數(shù)據(jù)

使用來(lái)自已知數(shù)據(jù)生成過(guò)程（DGP）的模擬數(shù)據(jù)評(píng)估估計(jì)準(zhǔn)確性。本示例使用任意參數(shù)值。

為DGP創(chuàng)建模型

為轉(zhuǎn)換區(qū)制創(chuàng)建一個(gè)完全指定的兩狀態(tài)離散時(shí)間馬爾可夫鏈模型。

P = [0.7 0.3; 0.1 0.9];

對(duì)于每個(gè)狀態(tài)，為過(guò)程創(chuàng)建一個(gè)完全指定的AR（1）模型。

% 常數(shù)C1 = 4;C2 = -1;

% 自回歸系數(shù)AR1 = 0.5;AR2 = 0.3;

% 方差V1 = 3;V2 = 2;

% AR 子模型arima('Constant',C1,'AR',AR1,'Variance',V1);

為DGP創(chuàng)建完全指定的Markov轉(zhuǎn)換動(dòng)態(tài)回歸模型。

模擬來(lái)自DGP的路徑

從DGP生成10條長(zhǎng)度為1000的隨機(jī)路徑。

rng(1); % 重現(xiàn)性N = 10;n = 1000;simulate(DGP,n,'Numpaths',N);

Data 是模擬的1000 x 10矩陣。

創(chuàng)建估計(jì)模型

創(chuàng)建一個(gè)部分指定的馬爾可夫轉(zhuǎn)換動(dòng)態(tài)回歸模型，該模型具有與數(shù)據(jù)生成過(guò)程相同的結(jié)構(gòu)，但是指定了未知的轉(zhuǎn)移矩陣和未知的子模型系數(shù)。

創(chuàng)建包含初始值的模型

創(chuàng)建一個(gè)完全指定的馬爾可夫轉(zhuǎn)換動(dòng)態(tài)回歸模型，該模型具有與相同的結(jié)構(gòu) Mdl，但是將所有可估計(jì)的參數(shù)都設(shè)置為初始值。

P0 = 0.5*ones(2);dtmc(P0);

ms(mc0,[mdl01,mdl02]);

估計(jì)模型

使模型擬合每個(gè)模擬路徑。對(duì)于每條路徑，在EM算法的每次迭代中繪制對(duì)數(shù)似然圖。

figurehold on

for i = 1:N

estimate(Data(:,i),'Plot',true);

end

hold off

評(píng)估準(zhǔn)確性

計(jì)算每個(gè)估計(jì)參數(shù)的蒙特卡洛平均值。

將總體參數(shù)與相應(yīng)的蒙特卡洛估計(jì)進(jìn)行比較。

DGPvsEstimate = 6×2

5.0000 5.0260-2.0000 -1.96154.0000 3.97102.0000 1.99030.4000 0.40610.2000 0.2017

P = 2×2

0.7000 0.30000.1000 0.9000

PEstimate = 2×2

0.7065 0.29350.1023 0.8977

預(yù)采樣數(shù)據(jù)

考慮估計(jì)馬爾可夫轉(zhuǎn)換動(dòng)態(tài)回歸模型中的數(shù)據(jù)，但假設(shè)關(guān)注期間為1960：Q1–2004：Q2。另外，考慮向每個(gè)子模型添加一個(gè)自回歸項(xiàng)。

創(chuàng)建部分指定的馬爾可夫轉(zhuǎn)換動(dòng)態(tài)回歸模型進(jìn)行估計(jì)。指定AR（1）子模型。

arima(1,0,0);ms(mc,[mdl; mdl]);

由于子模型是AR（1），因此每個(gè)子模型都需要進(jìn)行一次預(yù)采樣觀察以初始化其動(dòng)態(tài)分量以進(jìn)行估計(jì)。

創(chuàng)建包含用于估計(jì)過(guò)程的初始參數(shù)值的模型。

P0 = 0.5*ones(2);mc(P0,'StateNames');

加載數(shù)據(jù)。將整個(gè)集合轉(zhuǎn)換為年化利率序列。

使用與年率序列相關(guān)的日期來(lái)確定預(yù)采樣和估計(jì)采樣周期。由于轉(zhuǎn)換應(yīng)用了一階差分，因此必須從原始樣本中刪除第一個(gè)觀察日期。

dates = datetime(dates(2:end),'ConvertFrom','datenum',...'Format','yyyy:QQQ','Locale','en_US');estPrd = datetime(["1960:Q2" "2004:Q2"],'InputFormat','yyyy:QQQ',...'Format','yyyy:QQQ','Locale','en_US');

使模型擬合估計(jì)樣本數(shù)據(jù)。指定預(yù)采樣觀測(cè)值，并在估計(jì)過(guò)程終止時(shí)在每次迭代時(shí)繪制對(duì)數(shù)似然度。

訪問(wèn)預(yù)期的平滑狀態(tài)概率和對(duì)數(shù)似然

在估計(jì)馬爾可夫轉(zhuǎn)換動(dòng)態(tài)回歸模型中考慮模型和數(shù)據(jù) 。

創(chuàng)建部分指定的模型進(jìn)行估計(jì)。

創(chuàng)建完全指定的模型，其中包含估計(jì)過(guò)程的初始參數(shù)值。

加載并預(yù)處理數(shù)據(jù)。

使模型擬合數(shù)據(jù)。當(dāng)算法終止時(shí)，返回預(yù)期的平滑狀態(tài)概率和對(duì)數(shù)似然。

[EstMdl,SS,logL] = estimate(Mdl,Mdl0,arate);

SS 是預(yù)期平滑狀態(tài)概率的228 x 2矩陣；行對(duì)應(yīng)于估計(jì)樣本中的周期，列對(duì)應(yīng)于方案。 logL 是最終的對(duì)數(shù)似然。

顯示估計(jì)樣本中最后一個(gè)時(shí)期的預(yù)期平滑狀態(tài)概率，并顯示最終對(duì)數(shù)似然。

ans = 1×2

0.8985 0.1015

logL = -639.4962

執(zhí)行約束估計(jì)

將模擬數(shù)據(jù)擬合到具有VARX子模型的Markov轉(zhuǎn)換動(dòng)態(tài)回歸模型。指定用于估計(jì)的相等約束。

為DGP創(chuàng)建模型

為轉(zhuǎn)換區(qū)制創(chuàng)建一個(gè)完全指定的三態(tài)離散時(shí)間馬爾可夫鏈模型。

P = [0.8 0.1 0.1; 0.2 0.6 0.2; 0 0.1 0.9];mc = dt(P);

對(duì)于每種狀態(tài)，為響應(yīng)過(guò)程創(chuàng)建一個(gè)完全指定的VARX（1）模型。為所有子模型指定相同的模型常數(shù)和滯后1 AR系數(shù)矩陣。對(duì)于每個(gè)模型，為一個(gè)外生變量指定不同的回歸系數(shù)。

% 常數(shù)C = [1;-1];

% 自回歸系數(shù)AR = {[0.6 0.1; 0.4 0.2]};

% 回歸系數(shù)Beta1 = [0.2;-0.4];

% VAR 子模型dgp = varm('Constant',C,'AR',AR,'Covariance',5*eye(2));

為DGP創(chuàng)建完全指定的Markov轉(zhuǎn)換動(dòng)態(tài)回歸模型。

ms(mc,[dgp1; dgp2; dgp3]);

模擬來(lái)自DGP的數(shù)據(jù)

通過(guò)從均值0和方差100的高斯分布中生成1000個(gè)觀測(cè)值來(lái)模擬外生序列的數(shù)據(jù)。

rng(1); % 重現(xiàn)性X = 10*randn(1000,1);

從DGP生成長(zhǎng)度為1000的隨機(jī)路徑。為子模型回歸指定模擬的外部數(shù)據(jù)。

Data = simulate(DGP,1000,'X',X);

Data 是模擬的1000 x 1向量。

創(chuàng)建估計(jì)模型

創(chuàng)建一個(gè)部分指定的馬爾可夫轉(zhuǎn)換動(dòng)態(tài)回歸模型，該模型具有與數(shù)據(jù)生成過(guò)程相同的結(jié)構(gòu)，但是指定了未知的轉(zhuǎn)換矩陣和未知的回歸系數(shù)。指定常數(shù)和AR系數(shù)矩陣的真值。

ms(mcEst,[mdl; mdl; mdl]);

由于常數(shù)和AR系數(shù)矩陣的值被指定在 Mdl， estimate 將它們作為用于估計(jì)等式約束。