?【文末有福利】連續(xù)型隨機變量及實例詳解

taotao_2016 2021-02-03

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如果隨機變量X的所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點，那么稱之為連續(xù)型隨機變量。例如，一批電子元件的壽命、實際中常遇到的測量誤差等都是連續(xù)型隨機變量。

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連續(xù)型隨機變量X無法像離散型隨機變量一樣，給出其取每一個點時的概率,那么換一種思路，來研究隨機變量落入一個區(qū)間的概率 ,當區(qū)間接近無窮小時，這時我們使用概率密度來表示概率值。什么是概率密度？

假設(shè)有一組零件，由于各種因素的影響，其長度是各不相同的。具體數(shù)值如下。

[171.671,172.04,171.67,172.40,172.70,172.164,171.71,172.68,172.13,171.97,172.266,171.81,172.15,172.45,172.20,172.600,172.24,171.39,172.17,171.2]

按前面離散型隨機變量的思路，要將數(shù)據(jù)分組，對應(yīng)每個組計算出其相應(yīng)的概率值，并繪制概率分布直方圖，如下圖所示。

連續(xù)型隨機變量分組后的概率分布直方圖

圖中的橫坐標是隨機變量值，縱坐標是隨機變量落入該值范圍內(nèi)的概率。直方圖的邊緣看起來有點粗糙，但當我們把樣本數(shù)據(jù)和分組數(shù)同時增加時，輪廓就會越來越細致，接近于如圖所示的曲線，這條曲線對應(yīng)的函數(shù)就稱為概率密度函數(shù)。由此思路，得到概率密度的數(shù)學描述如下。

考慮連續(xù)隨機變量落入?yún)^(qū)間區(qū)間的概率，由概率分布函數(shù) 的定義可知，令，則設(shè)

如果該極限存在，則稱為在點處的概率密度。

概率密度反映出概率在點處的密集程度，可以設(shè)想一根的質(zhì)量不均勻的金屬桿，總質(zhì)量為1，概率密度相當于桿上各點處的質(zhì)量密度。

根據(jù)導數(shù)的定義可知：

從上式中可得結(jié)論：若在處連續(xù)，則概率密度函數(shù) 是分布函數(shù) 的導函數(shù)。

設(shè) 為連續(xù)型隨機變量，在任意區(qū)間(a,b]上的概率可以表示為：

其中就叫作X的概率密度函數(shù)。

下圖形象描繪出概率密度函數(shù) 和概率之間的關(guān)系。概率被看成曲線下的面積，用數(shù)學公式描述就是一個積分形式。

概率密度函數(shù)和概率P

連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)，也可寫成：

概率密度函數(shù)和分布函數(shù)具有以下性質(zhì)。

（1）非負函數(shù)：。

（2）規(guī)范性：。

（3）對于任何常數(shù)a<b，有：

假設(shè)某零件誤差量在區(qū)間(－4,4)均勻分布，計算誤差量為1~3的概率。

解：設(shè)隨機抽取一個零件的誤差量為X，隨機變量X在區(qū)間(－4,4)上均勻分布，X落在該區(qū)間任意點的概率相同，即概率密度為一常量。

設(shè) ，，即

可得：概率密度函數(shù)

在區(qū)間[1,3]之間的概率。

下圖中顯示均勻分布對應(yīng)的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)。

均勻分布對應(yīng)的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)

在Python中輸出正態(tài)分布概率密度函數(shù)和對應(yīng)的概率分布函數(shù)。

解：如果一個隨機變量X具有概率密度函數(shù)

則稱隨機變量X為正態(tài)分布隨機變量，并記為。

下面代碼模擬實現(xiàn)了一個均值為0和方差σ²為1的正態(tài)分布。

【代碼如下】

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport scipy.stats as statsdef test_norm_pmf():# 正態(tài)分布是一種連續(xù)分布，其函數(shù)可以在實線上的任何地方取值# 正態(tài)分布由兩個參數(shù)描述：分布的平均值μ和方差σ2 mu = 0 # meansigma = 1#standard deviationx = np.arange(－5,5,0.1)     #生成隨機數(shù)x#得到對應(yīng)的概率值yy = (1/(np.sqrt(2*np.pi*sigma*sigma)))*np.exp(－(((x－mu)**2)/(2*sigma*sigma)))fig, (ax0, ax1) = plt.subplots(ncols=2, figsize=(10, 5))ax0.plot(x, y)ax1.plot(x,stats.norm.cdf(x,0,1))ax0.set_title('Normal: $\mu$=%.1f, $\sigma^2$=%.1f' % (mu,sigma))ax0.set_xlabel('x')ax0.set_ylabel('Probability density', fontsize=15)ax1.set_title('Normal: $\mu$=%.1f, $\sigma^2$=%.1f' % (mu, sigma))ax1.set_xlabel('x')ax1.set_ylabel('Cumulative density', fontsize=15)fig.subplots_adjust(wspace=0.4)plt.show()test_norm_pmf()

【運行結(jié)果】

如下圖所示。