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一、三角函數(shù)的定義： 1. 定義： 在Rt△ABC中，∠C=90°，當(dāng)∠A的大小確定時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比、∠A的鄰邊與斜邊的比、∠A的對(duì)邊與鄰邊的比也是分別確定的；我們把∠A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，統(tǒng)稱為∠A的三角函數(shù). 2.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.  （1）正弦：  （2）余弦：  （3）正切：   溫馨提示：（1）正弦、余弦、正切都是兩條線段的比值，沒(méi)有單位； （2）函數(shù)值大小只與角的大小有關(guān)，與邊的長(zhǎng)短和直角三角形的位置無(wú)關(guān)； （3）sinA是一個(gè)整體符號(hào)，即表示∠A的正弦；當(dāng)銳角是用一個(gè)字母或一個(gè)希臘字母表示時(shí)，通常省去“∠”符號(hào)，但不能寫成sin·A；當(dāng)銳角用三個(gè)字母表示時(shí)，則不能省去“∠”符號(hào)，如sin∠BAC不能寫成sin BAC. 二、特殊角的三角函數(shù)值 1.根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義和直角三角形的有關(guān)性質(zhì),可得到30°,45°,60° 角的三角函數(shù)值,列表如下:  2.30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的記憶方法 （1）圖形記憶法:如圖所示，由三角函數(shù)的定義可得30°、45°、60°角的三角函數(shù)值.  （2）增減規(guī)律記憶法：①sinA的值隨A的增大而增大，依次為1/2、√2/2、√3/2. ②cosA的值隨A的值增大而減小，依次為√3/2、√2/2、1/2. ③tanA的值隨A的值增大而增大，依次為√3/3、1、√3.? 三、銳角三角函數(shù)的性質(zhì) 1.自變量和函數(shù)值的取值范圍： 當(dāng)0°<A<90°時(shí)，0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0. 2.三角函數(shù)常用的推導(dǎo)公式： ①sinA=cos(90°-A) ②sin2A+cos2A=1；sin2A+sin2(90°-A）=1 ③  ④tanA·tan(90°-A)=1 3.求三角函數(shù)值的方法： （1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)求值； （2）借助邊的數(shù)量關(guān)系求值； （3）借助等角求值； （4）根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求值； （5）構(gòu)造直角三角形求函數(shù)值.  四、解直角三角形 1.解直角三角形的概念：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形. 2.直角三角形的邊角關(guān)系： （1）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2； （2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=∠C=90°； （3）邊角之間的關(guān)系:  3.解直角三角形的五種類型 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所對(duì)的邊分別為a,b,c.  五、三角函數(shù)的應(yīng)用 1.解直角三角形在幾何圖形中的應(yīng)用 （1）一般三角形問(wèn)題：通過(guò)作高把銳角三角形或鈍角三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形求解； （2）平行四邊形與梯形問(wèn)題：通過(guò)作高把平行四邊形或梯形轉(zhuǎn)化為含有直角三角形的圖形求解 （3）矩形、菱形與正方形問(wèn)題：通過(guò)連接對(duì)角線把矩形、菱形或正方形轉(zhuǎn)化為含有直角三角形的圖形求解 2.解直角三角形與圓在實(shí)際問(wèn)題中的綜合運(yùn)用 ?。?）利用切線和連接切點(diǎn)與圓心的半徑構(gòu)造直角三角形； （2）利用圓的弦與垂直于弦的半徑構(gòu)造直角三角形. 3.解直角三角形的應(yīng)用——仰角、俯角問(wèn)題 如圖，當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí)，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的是仰角，視線在水平線下方的是俯角. 4. 解直角三角形的應(yīng)用——方向角問(wèn)題 如圖，過(guò)觀測(cè)點(diǎn)O作一條水平線(一般向右為東)和一條鉛垂線(一般向上為北),則觀測(cè)點(diǎn)O與目的地的連線與表示南北方向的鉛垂線的夾角叫做方向角. 4.坡度問(wèn)題 坡角：坡面與水平面的夾角記做α，稱為坡角. 坡度：坡面的垂直高度h與水平寬度l的比稱為坡度.坡度常用字母表示為i=h：l=tanα. |
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