——談一類參數(shù)取值范圍高考題的解法

含有參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍問題，是高考的熱點和難點問題，解法因題而異多種多樣。其中有一類題目條件設(shè)置巧妙，試題隱藏一個相同信息：不等式等號恰好在區(qū)間端點處成立，這一隱而不露的條件是命題人精心設(shè)計的點睛之筆，也是解題者解決問題的突破口和思維的起點，啟發(fā)解題者思考：若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則不等式恒成立，從而求出參數(shù)的取值范圍，這個取值范圍就是不等式恒成立的充分條件，有趣的是這個參數(shù)的取值范圍同時又是必要條件，當然這需要證明。這類試題重點考查考生的探究能力以及運算求解和推理論證能力，需要考生有良好的心理素質(zhì)和數(shù)學素養(yǎng)，能靜下心來挖掘題目隱藏條件，從蛛絲馬跡中尋找解題的突破口，設(shè)計解題思路猜測試題結(jié)果。2016年高考全國卷II文科第20題，以及2016年高考四川卷文科第21題和理科第21題，就是這樣的一類試題，本文用“先充分后必要”的方法給出解答，供參考。

2016年高考全國卷II文科第20題如下：

  第2問是函數(shù)不等式恒成立，求參數(shù)取值范圍的試題，最容易想到的方法是分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為一個新函數(shù)的最值問題。

可見這一道在高等數(shù)學與高中數(shù)學銜接處命題且有高等數(shù)學背景的試題。那么，怎樣用高中知識來解這道試題呢。不等式恒成立，求參數(shù)取值范圍的試題，當分離參數(shù)法失效時，應(yīng)該考慮等價轉(zhuǎn)化思想，將不等式變形轉(zhuǎn)化為新的不等式恒成立問題，還可借助數(shù)形結(jié)合思想，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題。根據(jù)不等式的等價變形情況，本題有三種等價變形，并且變形后的不等式均可用“先尋找不等式成立的充分條件，再證其為必要條件”的方法進行處理求解，解法如下。

無獨有偶，2016年高考四川卷文科第21題和理科第21題也是這類問題，兩題實際上是同一個問題，不同的是文科題目在恒成立問題之前，加了一道不等式證明題，實際上是增設(shè)了一個臺階，降低了試題難度。恒成立問題也可用“先充分后必要”的方法求解，下面給出文科題目與解法。

數(shù)學全國卷命題人對這類不等式恒成立問題似乎情有獨鐘，在歷年高考中屢見不鮮，如2006年高考全國卷Ⅱ理科第20題，2007年高考全國卷Ⅰ理科第20題，2008年高考全國卷Ⅱ理科第22題，2010年高考新課標全國卷理科第21題，2010年高考全國卷Ⅱ理科第22題，在其他省市的高考卷中也時常見到，這些試題均可從隱藏條件入手用“先探求充分條件，再證其為必要條件”的方法求解，解題的難易及成功與否主要取決于等價變形后新的不等式。